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【数学】《一道高考题解法的探究》说课资料




一道高考题的探索
08 年浙江卷(理科)17 题 年浙江卷(理科) 若a
x ≥ 0,

≥ 0, b ≥ 0

,且当

y ≥ 0,

时,恒有ax + by

≤ 1,

则以

a, b



x + y ≤1

坐标的点P ( a, b) 所形成的平面区域的面积等于____ 析题: 析题: 本题知识点:线性规划问题、恒成立问题、区域面积问题 思想方法:化归与转化、分类与整合、数形结合 难点:三类问题的结合,学生很难把握,见得少,而且联系难 此题主要考查学生思维的灵活性、多样性,以及综合运用知识分析、解决问 题的能力。 此题主要从两方面:一是将不等式恒成立问题转化成函数的最值问题;二是 将区域面积转化成字母取值范围问题。解题的切入点是紧扣已知条 件 " ax + by ≤ 1恒成立 ",落脚点是确定 a,b 的取值范围。

解法探究
解法 1 目标函数法 设目标函数 z = ax + by ,当 ab = 0 时,m a x = a 或 b , 故只需 a ≤ 1或b ≤ 1; z 当 ab ≠ 0时,令z = 0 则 若 ?
a y = ? x, 由 b

x, y

的约束条件作出可行域(如图) ,

a > ?1, 则 在 A 点取得最大值,max = b ≤ 1. z b a 若 ? < ?1, 则 在 B 点取得最大值,max = a ≤ 1; z b a z = b ≤ 1. 若 ? = ?1,则 max b

z z

A 1

0 ≤ a ≤ 1,
综上 故所求区域面积 S=1
0 1

B

0 ≤ b ≤ 1,

根据目标函数的几何性质,通过数形结合寻找最优解,这是解决线性规划问题的 常规方法。但本题的目标函数含有两个参数 a,b,需要分类讨论确定函数最值, 有一定的难度。



x y 解法 2 解析法 + ≤ 1 1 如上图,画出点M ( x, y ) 的可行域,因为ax + by ≤ 1 恒成立,即 1 a b 1 1 ≥ 1且 ≥ 1, 否则可行域中总存在不满足题意的点。 在可行域中恒成立,则 a b 0 ≤ a ≤ 1, 故 点 P (a, b) 所形成的平面区域为边长 1 的正方形,其面积 S=1 0 ≤ b ≤ 1,

解析法是处理线性规划问题最常用、有效的方法,在坐标轴上两个截距 的构造,将可行域与恒成立问题统一起来,从而使问题得以解决,截距的构造是 解题的关键。

解法 3 三角换元法
2 2 设 0 ≤ x ≤ cos θ , 0 ≤ y ≤ sin θ ,

当 a ≥ b 时, ax + by ≤ a cos 2 θ + b sin 2 θ = a cos 2 θ + b(1 ? cos 2 θ ) = (a ? b) cos 2 θ + b

≤ a ? b + b = a, zmax = a ≤ 1.
当 a ≤ b 时,

ax + by ≤ a cos 2 θ + b sin 2 θ = a (1 ? sin 2 θ ) + b sin 2 θ = (b ? a ) sin 2 θ + a

≤ b ? a + a = b, zmax = b ≤ 1.
0 ≤ a ≤ 1,

所以

0 ≤ b ≤ 1,

即点 P (a,b) 所形成的平面区域为边长 1 的正方形, 其面积 S=1.

此题的难点也在于变量太多,通过三角换元,可以减少变量,降低题目的难度。 同时借助三角函数的有界性,可以确定点 P 所形成的平面区域。

解法 4

向量法

uuuu uuur r uuur uuuu r uuur ax + by = OM ? ON = a 2 + b 2 ? ON cos θ 设向量 OM = (a, b), ON = ( x, y ), 则 uuur uuuu r uuur (θ 为两向量的夹角) ,当向量 ON 在 OM 上的投影 ON cos θ 最大时, 。 ax + by 取最大值。由 x, y的约束条件作出可行域(如图)

b < 1, a


uuur 当点 N 为可行域的点 B 时, ON cos θ 最大,此时 uuur x b 1, y =当点ax + by ) max = a; A 时, ON cos θ 最大, = 0, ( N 为可行域的点 若 > 1,



a

此时 x = 1, y = 0, ( ax + by ) max = a; 若

A 1
M

b = 1, a

(ax + by ) max = a或b;
故所求区域面积 S=1.

N

0 ≤ a ≤ 1,

B

综上
0 ≤ b ≤ 1,

0 1

此题在没有向量存在的的情境下,很难将 ax + by 看作是两向量的数量积,这是 创新意识诱导下的一种很独特的数学视角。 向量法充分运用向量数量积的代数与 几何特征,借助向量数量积的几何意义,巧妙地将求目标函数最值的代数问题转 化为几何问题,很好地展示了向量在解决数学问题中的重要工具作用。

解法 5

柯西不等式

ax 由柯西不等式得: + by ≤
当且仅当 当且仅当

(a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ),
成立;由图可知,x
2

ay = bx 时, = " "
2 2 2

+ y 2 ≤ 1,

x = 1, y = 0或x = 0, y = 1时,"="成立.
2 2 2

故 ax + by ≤ ( a + b )( x + y ) ≤ a + b ay = bx 当且仅当 x 2 + y 2 = 1 时,两个" = " 同时成立, ∴ 当 当

x = 1, y = 0时,b = 0, x = 0, y = 1时,a = 0,
0 ≤ a ≤ 1,

此时 ( a x

+ b y ) m ax = a ;
max

此时 ( ax + by )

= b.

综上

故所求区域面积 S=1.

0 ≤ b ≤ 1,
用柯西不等式解决 a x + b y 的最值问题是一种新思路、新方法,柯西不等式 历史悠久,形式优美,结构巧妙,它和基本不等式一样都是研究最值问题的有力 工具。柯西不等式的应用灵活多样、技巧性强,它的应用有利于学生开阔数学视 野、培养创新思维,激发学生进一步学习数学的兴趣 。 通过一题多解教学,要让学生在掌握基础知识、基本方法、基本技能的前提 下,学会从多个角度提出新颖独特的解决问题的方法,培养他们解决问题的实践 能力,发展他们的创新思维,使他们具有敏锐的观察力、创造性的想象、独特的

未 知识结构以及活跃的灵感等思维素质。在解题中引导学生打破常规、独立思考、 大胆猜想、质疑问难、积极争辩、寻求变异、放开思路、充分想象、巧用直观、 探究多种解决方案或途径,快速、简捷、准确地解决数学问题, 这些也是探究 性学习的体现。


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