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2007-2008学年第二学期线性代数(A卷)考试


得分

一、单选题(每小题 2 分,共计 20 分)

1. 四阶行列式中某一项 a 1 2 a 3 1 a 2 4 a 4 3 的符号为__________。 2. 设 A , B 为三阶方阵, A ? ? ? 1
A ? B ? __________。
??3 ? A ? 3 ? ??1 ? 2 ? ? ?4 ? 2

? ?

?2

? 3 ? , B ? ? ?1

2? 2

? 3 ? , A ? 2 , B ? 3 ,则

3. 设矩阵

,B

?1 ? ? ?2

2 4

3? ? 6?

,k

? 2

,若 P

? AB

,则 P K

?



4. 设 A , B 是 n 阶 矩 阵 , I 是 n 阶 单 位 矩 阵 , 若 满 足 等 式 B ? A ? B A , 则

?A? I?

?1

?



5. 向量组 ? 1 ? ? 1, 2 , ? 6 ? , ? 2 ? ? 1,1, ? 3 ? , ? 3 ? ? 1,1, 4 ? 是 R3 的一个基,? ? ? 1, 2 ,1 ? ,则 ? 在 ? 1 , ? 2 , ? 3 下的坐标为__________ 。 6.线性方程组 ? x 1 ? x 4 ? 1 的通解是__________。
? ? x2 ? x3 ? 0
t 4 0

?1 ? 7. 设矩阵 A ? ? 1 ?2 ?

2? ? 0 为正定矩阵,则 t 为 ? 9? ?



8. ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? ? k ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 3 均是方程组 A X ? B 的解,则 k ? 9.已知 3 阶奇异矩阵 A 满足: A ? I ? 0 , 2 I ? A ? 0 , 则 A ? 2 I =
2 2 2

。 。 。

10. 二次型 f ? x1 , x 2 , x 3 ? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 2 x1 x 2 ? 4 x1 x 3 ? 4 x 2 x 3 的正惯性指数为

得分

二.选择题(每题 3 分,共 15 分)

1

1. 设 A 、 B 均为 n 阶方阵,若 A B ? O ,且 A ? O ,则

,
r ? A? ? n

(A) B
…………………………………………………

? O

;

(B)

r ? A? ? n

;

(C)
? ? ? 2? ?

r?B? ? n

;

(D)

且r ?B ? ?

n

2. 矩阵(

?1 ? )合同于 ? ? ?

?1

??1 ? (A) ? ? ?

1

? ?1 ? ? ? ; (B) ? ? 1? ? ?

? 2

? ?2 ? ? ? ;(C) ? ? ? 3? ? ?

1

? ??1 ? ? ? ;(D) ? ? 1? ? ?

2

? ? ? ? 1? ?

3. n 元线性方程组 AX

? B 有无穷多解是 A X ? O 有非零解的(

(A)充分必要条件; (B)充分条件; (C)必要条件; 4.设 A , B 都是 n 阶矩阵,且 A B ? O ,则 A 和 B 的秩( ) 。

) 。 (D)无关条件。

(A)必有一个等于零; (B)都小于 n ; (C)必有一个等于 n ; (D)有一个小于 n 。 5. ? 1 , ? 2 , ? 3 是 R 的一个基,则________也可作为 R 的一个基。
3 3



(A) ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 , ? ? 1 ? 2 ? 2 , 2 ? 1 ? 6 ? 2 ? 3 ? 3 (B) ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 , ? 2 ? 1 ? 4 ? 2 ? ? 3 , ? ? 1 ? 2 ? 2



(C) ? 2 ? 1 ? 4 ? 2 ? ? 3 , ? 4 ? 1 ? 8 ? 2 ? 2 ? 3 , 3 ? 1 ? ? 2 (D) ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 , 2 ? 1 ? ? 2 , 3? 1 ? 3? 2 ? 2 ? 3

线
…………………………………………………

得分

三. 计算题(58 分)

1

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

1.计算 D ?

2 3 4

(8 分)

2.设 3 阶方阵 A 、 B 满足条件 A ? B ? BA 且

?? 2 ? A ? 2 ? ? 0 ?

? 4 3 0

0? ? 0 ? 2? ?

,求 B .(12 分)

2

3. ? 1 ? ( 1 ,-1 ,2 ,4 ), ?2 ? ( 0 ,3 ,1 ,2 ), ? ? ( 3 ,0 ,7 ,1 4 ), ? 4 ? ( 1 , ? 1 , 2 ,0 ) ,? 5 ? ( 2 ,1 , 5 , 6 ) 求 3 的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用极大无关组表示。 (10 分) 4. ? 为何值时,下列方程组有唯一解;无解;有无穷多解,并求解。
x1 ? ? x 2 ? 2 x 3 ? 1 ? ? ? 2 x1 ? x 2 ? (? ? 2 ) x 3 ? ? ? x ? ( ? ? 1) x ? ( ? ? 4 ) x ? 1 2 3 ? 1

(14 分)

5. 将二次型 f ? x1 , x 2 , x 3 ? ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 3 x 3 ? 4 x 2 x 3 用正交变换法化为标准型, 并求出相
2 2 2

应的正交变换。 (14 分)

四. 证明题(7 分)

设 n 阶方阵 A 的秩<n-1,则 r ( A ) ? 0
*

3


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