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2014全国高中数学联赛B卷试题及答案


2014
0 8 . .

(B

)
.

1 2

f (x) y=2

(0, 0), (1, 1)
3 2, 2

(2, 3) f
3 2

3 . f ?1 (2) = 2

/>=2

3 f ?1 (2) = 2 .

ABCD ? A B C D ).

A ? BD ? C

arccos 1 3 (

AC BD

BD

O.

AC ⊥ BD ∠A OC .

AO

CO

1. cos ∠A OC = 3
1 3

AC =





2, A O = C O =

6 2 . √

A ? BD ? C U fU (x) =

arccos 1 3. 2 arctan R 1 x∈U 0 x∈U .

2 2

.

R

A, B x ∈ A ∪ B. A, B .

R A ∪ B = R.

fA (x) + fB (x) ≡ 1 x ∈ R, fA (x) + fB (x) = 1 fA (x), fB (x) A ∪ B = R, A ∩ B = ?. 1 fA (x), fB (x) 1

A, B 1 A ∩ B = ?.

.

4 B π

?ABC
π 3.

A, B, C

cot A, cot B, cot C 2y = x + z . y 0. A+B =π?C

x = cot A, y = cot B, z = cot C x, y, z xy ? 1 = ?z, x+y xy + yz + zx = 1. B 5 {an } an = n = 1, 2 ak+1 = ?ak?1 + n=k+1 6
x2 a2 n √ 2

z 0.


x2 ? 2xy + (1 ? 2y 2 ) = 0.


x A=B=C=
n an ?an?1 π 3

? = 12y 2 ? 4 .

cot B = y
2 2

3 3

B

π 3.

a1 = + 1 (n . 1).

+ 1, a2 =



2 + 1, an+1 + an?1 =
n √ 2

+ 2(n

2) .

an = n k

+1

k +2=? ak ? ak?1 .

k+1 k?1 k √ + 1 + 1 + 2 = √ + 1. √ 2 2 2 .


2 F1 , F2 +y = 1 (a > b > 0) b2 1 1 tan ∠P F1 F2 = 2 , tan ∠P F2 F1 = ?2.

P

. P = P (x0 , y0 ).

?P F1 F2

a=

15 2 .

F1 = F1 (?c, 0), F2 = F2 (c, 0), (c > 0) F1 , P k2 = ? tan ∠P F2 F1 = 2. ? ? y0 = 1 (x0 + c) 2 . ? y0 = 2(x0 ? c)
4 x0 = 5 3 c, y0 = 3 c. 4 2 1 = S?P F1 F2 = 1 2 |F1 F2 |y0 = 3 c √

k1 = tan ∠P F1 F2 =

1 2

F2 , P

c=

3 2 .

P

√ √ 5 3 2 3 , 6 3

.

2a = |P F1 | + |P F2 | =


(x0 +

c)2

+

2 y0

+

(x0 ?

c)2

+

2 y0

√ √ 2 15 15 √ = + = 15. 3 3

a= 7

15 2 .

52 ( ? A ? A . 13 4 5
5 C52 5 45 C13

5 0.01). 5 5 45 ? A
5 C13

J, Q, K, A) A A

0.49 ( ? “ A



. ?) ≈ P (A

? A “ 0.5071 52

. 5 ”

?) ≈ 0.4929. P ( A) = 1 ? P ( A 2

8

g (x) =

x(1 ? x)
π 16 .

[0, 1] x– A

y = xg (x) A . x 1 . 2 xg (x)

x– x–

g (x) . 2x = 1

xg (x) + (1 ? x)g (1 ? x) = xg (x) + (1 ? x)g (x) = g (x), 0

A
1 4π 1 2 2

=

π 16 .

9

{an } a1 = 1, a2 = 5

n an

Sn .

Sn + Sn+1 + Sn+2 = 6n2 + 9n + 7 (n S1 + S2 + S3 = 22 a3 = 9, S3 = 15.

1).

S1 = 1, S2 = 6, S3 = 6 + a3 a4 = 13. Sn an+3 = Sn+3 ? Sn = 12n + 15

Sn+1 + Sn+2 + Sn+3 = 6n2 + 21n + 22

an+1 + an+2 +

an + an+1 + an+2 = 12n + 3, n an+1 + an+2 + an+3 = 12n + 15 a3k+1 12 a1 , a2 , a3 , a4 an = 4n ? 3 (n an = 4n ? 3 n = 1, 2 Sn = 2n(n + 1) ? 3n = 2n2 ? n. n k, (k 2) 1). a3 = 9, a4 = 13, . . . 4 .

2. a3k?1 , a3k 4 an n k

an+3 ? an = 12. a2 = 5, a3 = 9 an a4 = 13.

ak+1 = Sk+1 ? Sk = (Sk+1 + Sk + Sk?1 ) ? 2Sk ? Sk?1 = 6(k ? 1)2 + 9(k ? 1) + 7 ? 4k 2 + 2k ? 2(k ? 1)2 + k ? 1 = 4k + 1 = 4(k + 1) ? 3

3

10 a) b) (

x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 a) a) P (x) = x3

x3 ? 10x + 11 = 0 (?5, 5) 5 ? 10x + 11 (2, 3) P (x) b)

.

arctan x1 + arctan x2 + arctan x3 = π 4. 15 . ) P (?5) = ?64, P (?4) =

?13, P (?3) = 14, P (?2) = 23, P (?1) = 20, P (0) = 11, P (1) = 2, P (2) = ?1, P (3) = 8, . . . (?4, ?3), (1, 2) ?4, 1, 2 (?4, ?3) . b) x1 < x2 < x3
π π 4, 2

. ?3 . x1 < ?1
π arctan x1 ∈ ? π 2,?4 π 4

x2 , x3 > 1
π ?π 4, 4

arctan x2 , arctan x3 ∈

.

arctan x1 + arctan x2

? arctan x3

tan (arctan x1 + arctan x2 ) = tan .
3 x1 + x2 1?x1 x2

π ? arctan x3 4
1?x3 1+x3

=

xi +
i=1 i= j

xi xj ? x1 x2 x3 = 1.

3

xi = 0,
i=1 i=j

xi xj = ?10, x1 x2 x3 = ?11. .

. 11 ?2,
2

Γ:

x2 4

+ y 2 = 1, A(?2, 0), B (0, ?1) Γ
1 3 3

Γ P Γ AD, BE

1

:x=

: y = ?1. P (x0 , y0 ) (x0 > 0, y0 > 0)
1 2 2 3

C, D, E

CP

3

x0 x 4

+ y0 y = 1 (?2, ?1),

C, D, E 4(y0 + 1) x0 + 2 , ?1 , ?2, x0 2y0 .

4

AD x0 (x + 2) + y = 0, 2(2 + x0 + 2y0 ) BE x 2y0 (y + 1) = 0. + 2 2 + x 0 + 2 y0 λ Sλ : Sλ AD BE S?1 P x0 (x + 2) +y+λ 2(2 + x0 + 2y0 ) . AD S?1 x0 2y0 (y0 + 1) + 2 2 + x 0 + 2 y0 = 0. BE C x 2y0 (y + 1) + 2 2 + x0 + 2y0 C = 0. C (?2, ?1) .

λ = ?1.

x0 (x0 + 2) + y0 ? 2(2 + x0 + 2y0 )

x0 (x0 + 2) ? 4y0 (y0 + 1) x0 = ? y0 . 2(2 + x0 + 2y0 ) 2 2 + x 0 + 2 y0 x2 x0 x2 2 2 0 + x0 ? 2y0 ? 2y0 = ? y0 (2 + x0 + 2y0 ) = x0 ? 2y0 + 0 ? 2y0 . 2 2 2 CP AD BE . AD ? CQ x0 (x0 + 2) 2 + x + 4y + x y 2 + 2y0 (2 + x0 + 2y0 )2 ? 2x0 y0 0 0 0 0 = = 2 8y0 (y0 + 1) 4 + x 0 + 4 x 0 + 4 y0 + 2 x 0 y0 2? (2 + x0 + 2y0 )2 ? 2x0 y0 (2 + x0 + 2y0 )(y0 + 1) y0 + 1 = = , (2 + x0 + 2y0 )(x0 + 2) x0 + 2 1? . Q Ceva CP . . BE Q . .

x0 (x0 + 2) 8y0 (y0 + 1) ,? 2 (2 + x0 + 2y0 ) ? 2x0 y0 (2 + x0 + 2y0 )2 ? 2x0 y0

kCQ

CP

EA CB DP x0 + 2 2x0 y0 + 1 x0 (x0 + 2) · · = = · · 2, AC BD P E 2y0 4(y0 + 1) x0 + 2 2(x0 + 2) ? 4y0 ? y0 2y0 P (x0 , y0 ) Γ
x2 0 4 2 =1 + y0

x0 (x0 + 2) x0 (x0 + 2) = = 1. 2 2(x0 + 2) ? 4y0 2(x0 + 2) + x2 0?4 5

EA CB DP · · = 1. AC BD P E Ceva AD, BE CP .

H

R

A, B, C

.

a) b) (

H ?ABC a) b)

?ABC R. 20 )

O1 , O2 , O3

AO2 HO1 BO3 a) AB . b) ?O3 O1 O2 ?ABC . . CH

O2 BO3 H ABO3 O1 CO1 HO3

R AB ?ABC BC, AC R O1 O2

. O1 O3

AO1 .

O2 H

O1 O3 AH, BH

CH BC, AC . O2 O3 . H ?ABC ?ABC R.

AB = O1 O3 . H R.

?O3 O1 O2

f (x) = a



ax + 4, (a = 0) . 6

y = f ?1 (x)

f (x) = u, v



ax + 4 .

1 2 f ?1 (x) = a (x ? 4), x

0

(u, v ).

? ? u2 = av + 4 ? v 2 = au + 4 (u ? v )(u + v + a) = 0. u=v u+v+a = 0 a > 0 u2 = av + 4
√ √

u2 = av + 4

. .

u, v u + v + a > 0. u = v

( . a < 0. u + v + a = 0, u2 = av + 4 |a| <
√ 4 3 2. a 3 , |a| √ √ a+ a2 +16 a+ a2 +16 , 2 2

). u=v u2 = av + 4 u1 = v2 = <0
√ ?a+ ?3a2 +16 , u2 2 √

a+ a2 +16 a+ a2 +16 , . 2 2 √ 2 3a +16 . v1 = ?a? ? 2 √ 2 ?a ? ?3a + 16 0.

=

?3a2 + 16 > 0 a ∈ ? 4 3 3 , ?2 .

?a +



?3a2 + 16 ?a ? , 2 a k 2 a, b



?3a2 + 16 2 ? 4 3 3 , ?2 .


,

?a ?



?3a2 + 16 ?a + , 2



?3a2 + 16 2

.

a+b 2. d |a ? b| a b . (a ? b)|(ak ? bk ) . d k a1 k

. . a1 b1

ak x ? bk y = a ? b .

x, y

0 < |x ? y | a = da1 , b = db1 ak x ? bk y = a ? b

k dk?1 (ak 1 x ? b1 y ) = a1 ? b1

dk?1 |(a1 ? b1 ). (a ? b)|ak (x ? y ). (a1 ? b1 )|dk?1 ak 1. .

a ? b = ak (x ? y ) + (ak ? bk )y 2 | (a + b) a1 b1 |a1 ? b1 | = dk?1 ?ABC a) b) ( a) ?ABC a) b) 20 30 ?ABC 10 (a ? b) a1 ? b1 (x ? y )

(a ? b)|ak (a1 ? b1 )|dk?1 .

|a ? b| = d|a1 ? b1 | = dk √ . 2 3

?ABC 1 1.

11

) 16



3 2

7

10 ?ABC 11

1. 1. .

10



”. . .

10

1 2

?ABC

.

b) 1. . 1 1 . “ . 1

. “ ” “ ”

11 1 . ” “ “ ” . ”

. ?ABC “ ” 8 1 .

11 .

1.





9


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