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广东版(第01期)-2014届高三数学(理)试题分省分项汇编:专题09 圆锥曲线(解析版) Word版含解析


一.基础题组 1.【广东省惠州市 2013 届高三第一次模拟考试(理) 】设抛物线的顶点在原点,准线方程为
x ? -2, 则抛物线的方程是(
A. y 2 ? 8x ) C. y 2 ? ?4x D. y 2 ? 4 x

B. y 2 ? ?8x

2.【广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考(理) 】双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长为 4,
离心率为 3,则该双曲线的标准方程为 ,渐近线方程为 .

2 3.【广东省韶关市 2014 届高三摸底考试(理) 】若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 3



4. 【广东省东莞市 2013 届高三模拟考试一 (理) 】 已知抛物线 x 2 ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的
距离是 5 ,则点 P 的横坐标是_____.

5.【广东省珠海一中等六校 2014 届高三第一次联考(理) 】已知双曲线 C 的焦点、实轴端
点恰好是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴端点、焦点,则双曲线 C 的渐近线方程是 25 16

____________________.

二.能力题组
2 1.【广东省佛山市南海区 2014 届高三 8 月质检(理) 】已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 双曲线 7 9

| AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为(



A.4

B.8

C.16

D.32

2.【广东省广州市越秀区 2014 届高三入学摸底考试(理) 】若双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1相切, 则双曲线的离心率为 ( a 2 b2
A. )

4 3

B.

2 3 3

C.2

D. 2

3. 【广东省珠海一中等六校 2014 届高三第一次联考 (理) 】 若动圆的圆心在抛物线 x 2 ? 12 y
上,且与直线 y ? 3 ? 0 相切,则此圆恒过定点( A. (0, 2) B. (0, ?3) ) D. (0, 6)

C. (0,3)

三.拔高题组 1.【广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考(理) 】在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到
两点 (- 3, 设点 P 的轨迹为曲线 C , 直线 l 过点 E (- 1, 0) 且 0) ,( 3 , 0) 的距离之和等于 4 , 与曲线 C 交于 A , B 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理由. 【答案】 (1) 【解析】

3 x2 (2)存在 D . AOB 面积的最大值为 + y2 =1; 2 4

所以 S ?AOB 的最大值为

3 .………………………………………………………………14 分 2

考点:1.椭圆的标准方程及性质;2.直线与椭圆相交问题;3.不等式的性质.

2.【广东省惠州市 2013 届高三第一次模拟考试(理) 】已知中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,
离心率为

3 2 的椭圆过点( 2 , ) . 2 2

(1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P 、 Q 两点,满足直线 OP , PQ , OQ 的斜率 依次成等比数列,求 ?OPQ 面积的取值范围.

x2 ? y 2 ? 1. 所以,椭圆方程为 4

……………6 分

(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) , P( x1, y1), Q( x 2, y 2) ,……………7 分

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 ,……………8 分 2 ? ? y ?1 ?4

3.【广东省韶关市 2014 届高三摸底考试(理) 】在平面直角坐标系 xOy 中,已知点
1 A(? 2,0) , B( 2,0) , E 为动点,且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为 ? . 2
(1)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M , N .若点 P 在 y 轴上,且

PM ? PN ,求点 P 的纵坐标的取值范围.

(2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 .

? ? 8k 2 ? 8 ? 0 . …………………………8 分

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

4k 2 , . 2k 2 ? 1

k 2k 2 设 MN 的中点为 Q ,则 xQ ? , , yQ ? k ( xQ ? 1) ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
所以 Q(

2k 2 k , ? 2 ) . ………………………………………10 分 2 2k ? 1 2k ? 1

由题意可知 k ? 0 ,

4.【广东省十校 2014 届高三第一次联考(理) 】 如图, 已知椭圆 C :
的离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

3 , 以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T :( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) , 设圆 T 与 2

椭圆 C 交于点 M 与点 N .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R, S ,

O 为坐标原点,
求证: OR ? OS 为定值.

由(*)式, y1 ?

3 8 3 13 2 ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 5 5 5 25

方法二:设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) ,不妨设 sin ? ? 0 , P(2 cos? , sin ? ) , 其中 sin ? ? ? sin ? .则直线 MP 的方程为: y ? sin ? ? 令 y ? 0 ,得 x R ?

2(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) , sin ? ? sin ?

sin ? ? sin ? ( x ? 2 cos ? ) , 2 cos ? ? 2 cos ?

5.【广东省珠海市 2014 届高三 9 月摸底考试(理) 】已知点 A、B 的坐标分别是 (0, ?1) 、
1 (0,1) ,直线 AM 、BM 相交于点 M ,且它们的斜率之积为 ? . 2
(1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D (0, 2) 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F ,试求 ?OEF 面积的 取值范围( O 为坐标原点) .

6.【广东省广州市越秀区 2014 届高三入学摸底考试(理) 】已知椭圆
C: x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,P 为椭圆 C 上任意一 a 2 b2
1 . 3

点,且 cos ?F 1PF 2 的最小值为 (1)求椭圆 C 的方程;

(2)动圆 x2 ? y2 ? t 2 ( 2 ? t ? 3) 与椭圆 C 相交于 A、B、C、D 四点,当 t 为何值时,矩 形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积.

(2)设 A( x0 , y0 ) ,则矩形 ABCD 的面积 S ? 4 x0 y0 .

考点:1.椭圆的定义;2.余弦定理;3.二次函数

7.【广东省东莞市 2013 届高三模拟考试一(理) 】设椭圆
点分别为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶 a 2 b2

A ? ?2,0? ,B(2, 0) ,离心率 e ?

3 .过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 2

在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点,试判 断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论. 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)根据椭圆的几何性质求出椭圆标准方程中的 a 、b ; (2)用设点、建立两 个动点之间坐标的关系和代入已知曲线方程的方法求出动点轨迹方程; (3) 先利用 A, C , R 三 点共线建立 R 与 A、C 的坐标关系,再根据 D 为线段 RB 的中点求出 D 的坐标表达式,进 一步求出直线 CD 的方程, 最后根据曲线 E 圆心到直线 CD 的距离与半径的大小情况判断其 位置关系.
2 2

x2 ? y 2 ? 1 ;(2) x 2 ? y 2 ? 4 ;(3)详见解析. 4

8.【广东省珠海一中等六校 2014 届高三第一次联考(理) 】如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1的 36 20

左顶点、右焦点分别为 A, F ,直线的方程为 x ? 9 , N 为上一点,且在 x 轴的上方, AN 与 椭圆交于 M 点. (1)若 M 是 AN 的中点,求证: MA ? MF . (2)过 A, F , N 三点的圆与 y 轴交于 P, Q 两点,求 | PQ | 的范围.

试题解析: (1)证:由题意得 A(?6,0), F (4,0) , xN ? 9 又 M 点在椭圆上,且在 x 轴上方,得 yM ?

? xM ?

3 2
………………………3 分

5 3 2

15 5 3 5 5 3 ,? ), MF ? ( , ? ) 2 2 2 2 75 75 ? MA ? MF ? ? ? ?0 4 4 ? MA ? MF ? MA ? (?
………………………6 分

考点:1.两直线的位置关系;2.圆的方程;3.直线截圆的弦长的计算

9.【广东省汕头市金山中学 2014 届高三摸底考试(理) 】已知 F1 、 F2 是双曲线
4 y2 C:x ? ? 1 的两个焦点,若离心率等于 的椭圆 E 与双曲线 C 的焦点相同. 5 15
2

(1)求椭圆 E 的方程;

M 的方程为: (2)如果动点 P(m, n) 满足 PF 1 ? PF 2 ? 10 ,曲线

x2 y2 ? ? 1 .判断直线 2 2

l : m x ? ny ? 1 与曲线 M 的公共点的个数,并说明理由;当直线 l 与曲线 M 相交时,求直
线 l : m x ? ny ? 1 截曲线 M 所得弦长的最大值.

不妨设 F1 (?4,0) 、 F2 (4,0) ∵椭圆 E 与双曲线 C 的焦点相同. ∴设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? a2 b2 ? c?4 ?c?4 ? c 4 ? ∵根据已知得 ? ,解得 ? a ? 5 ? ?b 2 ? 9 ? 2 a 25 2 ? ?b ? a ? c x2 y2 ? ? 1; ∴椭圆 E 的方程为 25 9 (2)直线 l : mx ? ny ? 1 与曲线 M 有两个公共点,
理由是:

E 上的点, 动点 P ? m, n ? 满足 PF 1 ? PF 2 ? 10 ,? 点 P ? m, n ? 是椭圆

?

9 m2 n2 ? ? 1 ,? n 2 ? 9 ? m2 ,? 0 ? m2 ? 25 , 25 25 9 曲线 M 是圆心为 ? 0, 0 ? ,半径为 r ? 2 的圆,

圆心 ? 0, 0 ? 到直线 l : mx ? ny ? 1 的距离

1 1 1 ? ? ? 2, 16 9?0 3 m2 ? n2 9 ? m2 25 ? 直线 l : mx ? ny ? 1 与曲线 M 有两个公共点, 设直线 l : mx ? ny ? 1 截曲线 M 所得弦长为 t , d? ?

1

1 2 在 0 ? m ? 25 上递增, 16 2 9? m 25 1 14 2 当 m ? 25 , m ? ?5 , n ? 0 时,即 l : x ? ? 时, t 最大为 . 5 5 t ? 2 r2 ? d 2 ? 2 2 ?

考点:1.椭圆的方程;2.直线与圆的位置关系;3.直线截圆所得的弦长

10.【广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试(理) 】在平面直角坐标系 x o y
P(a, b)(a ? b ? 0) 为动点, F 1 , F 2 分别为椭圆
腰三角形. (1)求椭圆的离心率 e ;

中,点

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点.已知△ F 1 P F 2 为等 a2 b2

(2)设直线 P F 2 与椭圆相交于 A , B 两点, M 是直线 P F 2 上的点,满足 A , M B M ? ? 2 求点 M 的轨迹方程.

联立得交点 A,B 的坐标,再表示 AM , BM 代入 AM ? BM ? ?2 中,整理得点 M 的轨 迹方程.

由 c ? 0 得 x ? 0 .因此,点 M 的轨迹方程是 18x2 ?16 3xy ?15 ? 0( x ? 0) . …14 分 考点:1.两点间距离公式;2.斜率公式.


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