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河南省开封市2015届高三第二次模拟考试 数学理 Word版含答案


河南省开封市 2015 届高三第二次模拟考试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷( 选择题) 和第Ⅱ卷( 非选择题) 两部分, 其中第Ⅱ卷第( 22) ( 24) 题为选考题,其他题为必考题。考生作答时, 将答案答在答题卡上, 在本试卷上答题无效。考 试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1. 答题前,考生务必先将自己的姓名, 准考证号填

写在答题卡上, 认真核对条形码上的姓名、 准考证号, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案的标号,非选 择题答案使用 0 .5 毫米的黑色中性( 签字) 笔或碳素笔书写, 字体工整,笔迹清楚。 3 .请按照题号在各题的答题区域( 黑色线框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卷面清洁,不折叠, 不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答, 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,…x n 的标准差 锥体体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积, 体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高

其中 R 为球的半径

第 Ⅰ 卷
一、选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1.设全集 U = R,集合 M= {x | y = lg( x2- 1) } , N= { x|0 < x < 2} ,则 N ∩( 瓓 UM ) = A.{ x | - 2 ≤x < 1} B.{ x | 0 < x ≤1} C.{ x | - 1 ≤x ≤1} D.{ x | x < 1} 2.若( 1 + 2 ai )i = 1 - b i ,其中 a 、 b ∈ R,i 是虚数单位,则| a + b i | = A.

1 +i 2

B.5

C.

5 4

D.

5 2

3.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“ ? x ∈R,均有 x2- x + 1 > 0”的否定是:“? x0 ∈R, 使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”;
2

B.在 △ABC 中,“ s i nA > s i nB”是“A > B”成立的充要条件;

C. 线性回归方程 y = bx + a 对应的直线一定经过其样本数据点 ( x 1 , y1) 、 ( x2 , y2) 、 ?, (x n, y n) 中的一个; D.在 2 ×2 列联表中,ad - b c 的值越接近 0 ,说明两个分类变量有关的可能性就越大. 4 . 已知 a > b > 0 ,椭圆 C1 的方程为 的离心率之积为 A.

?

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 ,C1 与 C2 , 双曲线 C 的方程为 2 a 2 b2 a 2 b2

1 ,3 2

3 , 则 C1 、 C2 的离心率分别为 2 2 6 6 B. , C. ,2 2 2 4

D.

1 , 2,3 4

5 .某几何体的三视图如图所示, 正视图、 侧视图、 俯视图都是边 长为 1 的正方形, 则此几何体的外接球的表面积为 A.3π B.4π C.2π D.

5 ? 2

6 .函数 f( x) = s i n(ω x + φ ) ( x ∈R ) ( ω>0,| φ |< 的部分图象如图所示, 如果 x1 、 x2 ∈ ( ? f(x2) , 则 f(x1 + x2) 等于 A.

? ?

? ) 2

, ) ,且 f(x1) = 6 3 3 2
D.1

1 2

B.

2 2

C.

7 .给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的 x 值与 输出的 y 值相等, 则这样的 x 值的个数是 A.1 B.2 C. 3 8 .有 5 盆不同菊花, 其中黄菊花 2 盆、 白菊花 2 盆、 红 菊花 1 盆,现把它们摆放成一排, 要求 2 盆黄菊花必 须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这 5 盆花不同的摆 放种数是 A.12 B.24 C.36 D.48 9 .若 s i nθ + cosθ = 2 , 则 ta n( θ +

D.4

? ) 的值是 3

A.1 B.- 3 - 2 C.- 1 + 3 D.- 2 - 3 10 .三棱锥 S—ABC 中,∠SBA = ∠SCA = 90° , △ABC 是斜边 AB = a 的等腰直角三角形,则以 下结论中: ① 异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90° ; ② 直线 SB ⊥ 平面 ABC ; ③ 平面 SBC ⊥ 平面 SAC; ④ 点 C 到平面 SAB 的距离是

1 a . 2

其中正确结论的个数是 A.1 B.2

C. 3

D.4

?x ? 2 y ? 6 ? 11.设实数 x 、 y 满足 ? 2 x ? y ? 6 , 则 z = m a x{2x + 3y - 1 , x + 2y + 2} 的取值范围是 ? x ? 0, y ? 0 ?
A.[ 2 ,5] B.[ 2 ,9] C.[ 5 ,9] D.[ - 1 ,9] 12 .已知函数 y = f ( x - 1) 的图象关于点( 1 ,0) 对称,且当 x ∈( - ∞,0) 时, . f ( x) + xf' ( x) < 0 成立 ( 其中 f' ( x) 是 f ( x) 的导函数) ,若 a = ( 30 3) · f ( 30
.3

) ,b = ( log π 3) · f (log π 3) ,c = ( log3

1 1 ) ·f (log 3 ) ,b ,c 的大小 9 9
D.a > c > b

关系是 A.a > b > c

B.c > a > b

C .c > b > a

第 Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第( 13) 题 ~ 第( 21) 题为必考题, 每个试题考 生都必 须做答,第( 22) 题 ~ 第( 24) 题为选考题, 考试根据要求做答。 二、 填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分. 二、 填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分.

1 1 dx ,则二项式 ( ax 2 ? ) 6 展开式中的常数项为 . 1 x x 5 3 14 . 在 △ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a ,b ,c , 且 C = π ,s i nA = ,c - a = 5 - 10 , 则 5 4
13 .设 a =

?

e

b=



15 .若函数 f( x) = log a( x +

a ? 4)( a ? 0 且 a ≠1) 的值域为 R, 则实数 a 的取值 x

范围是 . 16 . 已知 a , b , 是单位向量,a · b = 0 , 若向量 c 与向量 a ,b 共面, 且满足| a - b - c | = 1 , 则| c | 的取值范围是 . 三、 解答题: 解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17 .本小题满分 12 分) 等差数列{ an} 中公差 d ≠0 , a1 = 3 ,a1 、 a4 、 a13 成等比数列. (Ⅰ) 求 a n ; (Ⅱ) 设{ an} 的前 n 项和为 S n ,求:

1 1 1 ? ??? 。 S1 S2 Sn

18 .本小题满分 12 分) 某公司开发一新产品有甲、 乙两种型号,现分别对这两种型号产品进行质量检测, 从它 们的检测数据中随机抽取 8 次( 数值越大产品质量越好) , 记录如下: 甲:8 .3 , 9 .0 , 7 .9 , 7 .8 , 9 .4 , 8 .9 , 8 .4 , 8 .3 乙:9 .2 , 9 .5 , 8 .0 , 7 .5 , 8 .2 , 8 .1 , 9 .0 , 8 .5

(Ⅰ) 画出甲、 乙两产品数据的茎叶图; (Ⅱ) 现要从甲、 乙中选一种型号产品投入生产, 从统计学角度, 你认为生产哪种型 号产品合适?简单说明理由; (Ⅲ) 若将频率视为概率, 对产品乙今后的三次检测数据进行预测, 记这三次数据中不 低于 8.5 分的次数为ξ , 求ξ 的分布列及期望 Eξ .

19 .本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC - A1 B1 C1 中,AB ⊥AC,AC ⊥BB1 , AB = A1 B = AC = 1 ,BB1 = 2 . (Ⅰ) 求 证: A1 B ⊥ 平面 ABC ; (Ⅱ) 若 P 是棱 B1 C 1 的中点,求二面角 P - AB - A1 的余弦值.

20 .本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? [ax2 ? (a ?1)2 x ? a ? (a ?1)2 ]e x ( 其中 a ∈ R ) . (Ⅰ) 若 x = 0 为 f ( x) 的极值点, 求 a 的值; (Ⅱ) 在( Ⅰ) 的条件下,解不等式 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? x ? 1)
2

1 2

21 .本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: x2= 2 py( p > 0) 的焦点为 F , 抛物线上一点 A 的横坐标为 x 1( x1 > 0) , 过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D , 交 y 轴于点 Q ,交直线 l ∶y =

p 于点 M, 2

当| FD| = 2 时,∠AF D = 60° . ( Ⅰ) 求证: △AFQ 为等腰三角形, 并求抛物线 C 的方程; ( Ⅱ) 若点 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上, 过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点 P , 交直线 l 于点 N , 求 △P MN 面积的最小值, 并求取到最小值时的 x1 值.

22 . ( 本小题满分 10 分) 选修 4 - 1 : 几何证明选讲 如图,△ABC 为直角三角形,∠ABC = 90° , 以 AB 为直径 的圆交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点, 连 OD 交圆 O 于 点 M. (Ⅰ) 求证: O, B, D, E 四点共圆; (Ⅱ) 求证:2 DE2= DM· AC + DM· AB .

23 .本题满分 10 分) 选修 4—4 : 坐标系与参数方程

4 ? x ? 1? t ? ? 5 (t 为参数) , 若以 O 为极点,x 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 3 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?
轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ= 2cos(θ+ ( Ⅰ) 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长; ( Ⅱ) 若 M ( x , y) 是曲线 C 上的动点, 求 xy 的最大值.

? ) 4

24 .本小题满分 10 分) 选修 4—5 : 不等式选讲 已知函数 f ( x) = | x - 1 | ( Ⅰ) 解不等式 f ( 2 x) + f ( x + 4) ≥8 ; ( Ⅱ) 若| a| < 1 , | b | < 1 , a ≠0 , 求证:

f (ab) b ? f( ) a a


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