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启东中学2013届高三数学综合训练(2)Word版含答案


启东中学 2013 届高三数学 (综合)训练二
一、填空题
1.若 sin 2? ? 1 ? i( 2 cos? ? 1) 是纯虚数,则 ? 的值为___________

?0 ? x ? ? ? 2 . 在满足 ?0 ? y ? 1 的点( x, y ) 所 表示的平面区域 内任取一个点,则该点 落在曲线 ?y ? x ?
t

? 2 x ? y 的取值范围_______
3.已知 f ( x ) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9, g (?2) ? 3, 则f (2) ? 4.如果 f (tanx) ? sin 2 x ? 5 sin x cos x , 那么 f (5) = .

s 5 . 函 数 y ? ( a c o s x? b s i nx ) c ox 最 大 值 2 , 最 小 值 ?1 , 则 实 数 ab) 2 的 值 为 有 (
___________. 6.对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列

? an ? ? ? 的前 n 项和的公式是________. ? n ? 1? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? 7.若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , ( a ? c ) ? ( b ? c ) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的
最小值为____ 8. 已知平面向量 ? , ? (? ? ? ) 满足 ? ? 2 , ? 与 且 ( t ? R )的最小值是___ 9 . 设 定 义 域 为 R . 的 函 数 f ( x) ? ?

? ?? ? ? ?

??

? ?

??

? ?? ? ? ? ? ? 则( ? ? ? 的夹角为 120°, 1 ?)t ? ? t ?

x?0 ?| lg x |, , 若 关 于 x 的 方 程 2 ? ? x ? 2 x, x ? 0


2 f 2 ( x) ? 2bf ( x) ? 1 ? 0 有 8 个不同的实数根,则实数 b 的取值范围是
10.已知函数 f ( x) ? ?

sin ?x, x ? [0,1] ? ?log2011 x, x ? (1,??)

,若满足 f (a) ? f (b) ? f (c) ,( a, b, c 互

不相等),则 a ? b ? c 的取值范围是_____________. 11.已知函数 f ( x) ? ?

?? x 2 ? 6 x ? e2 ? 5e ? 2, x ? e, ? x ? 2ln x, x ? e

(其中 e 为自然对数的底数,且

2 e ? 2.718 ) ,若 f (6 ? a ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是

12.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设 施 建 设 不 能 开 发 , 且 要 求 用 栏 栅 隔 开 ( 栏 栅 要 求 在 一 直 线 上 ), 公 共 设 施 边 界 为 曲 线

4 f ( x) ? 1 ? x 2 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 M , N ,交曲线于点 P ,则 3 ?OMN ( O 为坐标原点)的面积的最小值为 ▲ .
13.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,过定点(p,0)作两条互相垂直的直线 l1 , l 2 , l1 与抛物线 交于 P、Q 两点,l2 与抛物线交于 M、N 两点,l1 斜率为 k.某同学已正确求得弦 PQ 的中点坐 标为(

p p ? p, ) ,请你写出弦 MN 的中点坐标: 2 k k

.

14.已知动点 P?x, y ?满足 x ? 1 ? y ? a ? 1 , O 为坐标原点,若 PO 的最大值的取值范围 为?

? 17 ? , 17 ?, 则实数 a 的取值范围是 ? 2 ?

二解答题: 15.已知向量 m ? ( 3sin x ? cos x, 1) , n ? (cos x, (1) 求函数 f (x) 的最小正周期; (2) 已知 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f ( (C 为锐角) 2sin A ? sin B ,求 C、 a、b 的值. ,

u r

r

r r 1 ) ,若 f ( x) ? m ? n . 2
C ? 3 ? )? 2 12 2

16.如图,在六面体 ABCDEFG 中,平面 ABC ∥平面 DEFG , AD ? 平面 DEFG ,

AB ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG ,且 AC ? EF ? 1 ,

AB ? AD ? DE ? DG ? 2 .
(1)求证:平面 BEF ? 平面 DEFG ; (2)求证: BF ∥平面 ACGD ; (3)求三棱锥 A ? BCF 的体积.

17. 在边长为 a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形, 再把它的边沿虚线折起 (如 图) ,做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大 容积是多少?

18.如图, 曲线 C1 是以原点 O 为中心、F1 , F2 为焦点的椭圆的一部分, 曲线 C2 是以 O 为顶点、

F2 为 焦点 的抛 物线 的一 部分 , A 是曲 线 C1 和 C2 的 交 点且
?AF2 F1 为钝角,若 AF1 ?

7 5 , AF2 ? , 2 2

(Ⅰ)求曲线 C1 和 C2 所在的椭圆和抛物线方程; (Ⅱ)过 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C1、C2 依 次交于 B、C、D、E 四点,若 G 为 CD 中点、H 为 BE 中点,问

BE ? GF2 CD ? HF2

是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

19.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 且点 P?an , an?1 ? n ? N ? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上. ( 1 ) 求 数 列

?

?

?an ?











; (

2









f ( n) ?

1 2 3 n ?n ? N , 且n ? 2?, 求函数 f (n) 的最小值; ? ? ??? n ? a1 n ? a2 n ? a3 n ? an 1 , S n 表示数列 ?bn ?的前项和。试问:是否存在关于 n 的整式 g ?n ? ,使得 an

(3)设 bn ?

写 S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若存在, 出 g ?n ? 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。

20.已知函数 f ( x) ? ln(x ? a) ? x 2 ? x在x ? 0 处取得极值。 (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? ? 的实数根,求实数 b 的取值范围; (3)证明:对任意正整数 n,不等式 ln

5 x ? b 在区间[0,2]上恰有两个不同 2

n ?1 n ?1 ? 2 都成立。 n n

数学 II(附加题) 21.B. (选修 4—2:矩阵与变换) 已知曲线错误!未找到引用源。,现将曲线错误!未找到引用源。绕坐标原点逆时针旋转 错误!未找到引用源。,求所得曲线错误!未找到引用源。的方程.

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知圆错误!未找到引用源。的圆心坐标为错误!未找到引用源。,半径 为错误!未找到引用源。,试写出圆错误!未找到引用源。的极坐标方程.

22. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1,1) ,P 是动点,且三角形 POA 的三边所在直线的 斜率满足 kOP+kOA=kPA. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; ??? ? ??? ? (2)若 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一个点,且 PQ ? ?OA ,直线 OP 与 QA 交于点 M,问: 是否存在点 P 使得△PQA 和△PAM 的面积满足 S?PQA ? 2S?PSM ?若存在, 求出点 P 的坐 标;若不存在,说明理由.

23. (本小题满分 10 分) 把所有正整数按上小下大, 左小右大的原则排成如图所示的数表, 其中第 i 行共有 2 个 正整数,设 aij ? i, j ? N *? 表示位于这个数表中从上往下数第 i 行,从左往右第 j 个数. (1)求 a69 的值; (2)用 i, j 表示 aij ;
3 (3)记 An ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann ? n ? N *? ,求证:当 n ? 4 时, An ? n ? Cn .

i?1

参考答案
一、填空题: 1. 2 k? ? 6. 2
n ?1

?
4

, 2

2? ? 5 ,3, 6 ,4, 0 _,5 . 8 2? ? 1

? 2 _ 7. _ 5 _ 8.

3 3 _ 9,。 (? , 2 ) 2

10.(2,2012) 11. (-3,2) 12.

2 ,13 ( pk 2 ? p,? pk) 3

14. ?? 3,? ? ? ? ,3? 2 2

? ?

1? ?

?1 ? ? ?
1 2

三、解答题 15.解 :(1) f ( x) ? m ? n ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

r r

?

? 3 1 ? cos 2 x 1 3 1 sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2 2 2 2
∴ f ( x ) 的最小正周期为 ? .

(2)∵

f(

C ? 3 ? ? ? ) ? sin C ? ,? 0 ? C ? ,?C ? 2 12 2 2 3

∵ 2sin A ? sin B .由正弦

定理得 b ? 2a, ① 解①②组成的方程组,得 ?

2 2 ∵ c ? 3, 由余弦定理, 9 ? a ? b ? 2ab cos 得

?
3

, ②

?a ? 3 . ?b ? 2 3

16.解:(1)∵平面 ABC ∥平面 DEFG ,平面 ABC ? 平面 ADEB ? AB , 平面 DEFG ? 平面 ADEB ? DE

? AB // DE . Q AB ? DE ? AB ? DE ,
∴ ADEB 为平行四边形, BE // AD .

? AD ? 平面 DEFG ,? BE ? 平面 DEFG ,
? BE ? 平面 BEF ,∴平面 BEF ? 平面 DEFG .
(2)取 DG 的中点为 M ,连接 AM 、 FM ,则由已知条件易证 四边形 DEFM是平行四边形,∴ DE//FM ,又∵ AB//DE , ∴ AB//FM

∴四边形 ABFM 是平行四边形,即 BF // AM , 又 BF ? 平面 ACGD 故 BF∥平面 ACGD . (3)?平面 ABC ∥平面 DEFG ,则 F 到面 ABC 的距离为 AD.

1 1 2 1 VA? BCF ? VF ? ABC ? ? S? ABC ? AD = ? ( ?1 ? 2) ? 2 ? . 3 2 3 3
3 a?x ? (0 ? x ? a ) , 箱 子 的 容 积 为 3 2 1 1 1 1 3 由 V ' ( x) ? ax ? x 2 ? 0 解 得 V ( x) ? x 2 ? sin 600 ? h ? ax 2 ? x 3 (0 ? x ? a) . 2 8 8 4 8 2 2 2 , x1 ? 0 (舍) x2 ? a , 且当 x ? (0, a) 时, V ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( a, a) 时, V ' ( x) ? 0 , 3 3 3 2 所 以 函 数 V (x) 在 x ? a 处 取 得 极 大 值 , 这 个 极 大 值 就 是 函 数 V (x) 的 最 大 值 : 3 2 1 2 1 2 1 V ( a) ? a ? ( a) 2 ? ? ( a) 3 ? a 3 . 3 8 3 8 3 54 1 3 2 答:当箱子底边长为 a 时,箱子容积最大,最大值为 a . 3 54
17. 解 : 设 箱 底 边 长 为 x , 则 箱 高 为 h ? 18 . 解 :( Ⅰ ) 设 椭 圆 方 程 为

2a ? AF1 ? AF2 ?


7 5 ? ? 6 ,得 a ? 3 2 2

x2 y2 ? ?1 , 则 a2 b2

7 A( x, y), F1 (?c,0), F2 (c,0) , 则 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( ) 2 , 2 3 5 2 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( ) ,两式相减得 xc ? ,由抛物线定义可知 2 2 5 3 3 AF2 ? x ? c ? ,则 c ? 1, x ? 或 x ? 1, c ? (舍去) 2 2 2

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 y 2 ? 4 x 。 9 8

另解: F1 作垂直于 x 轴的直线 x ? ?c , 过 即抛物线的准线, AH 作 垂 直 于 该 准 线 , 作 AM ? x 轴 于 M , 则 由 抛 物 线 的 定 义 得 AF2 ? AH , 所 以

AM ?

AF1 ? F1M
2
2

2

?

AF1 ? AH
2

2

?

AF1 ? AF2
2

2

?7? ?5? ? ? ? ?? ? ? 6 ?2? ?2?

2

2

1 5 1 ?5? F2 M ? ? ? ? 6 ? ,得 F1 F2 ? ? ? 2 ,所以 c=1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 8 2 2 2 ?2?
所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 y 2 ? 4 x 。 9 8

x2 y2 ? ?1 (Ⅱ)设 B?x1 , y1 ?, E( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,直线 y ? k ( x ? 1) ,代入 9 8

得 8(

y ? 1) 2 ? 9 y 2 ? 72 ? 0 ,即 (8 ? 9k 2 ) y 2 ? 16ky ? 64k 2 ? 0 , k

则 y1 ? y 2 ? ?

16k 64k 2 , y1 y 2 ? ? 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2
4 , y 3 y 4 ? ?4 , k

同理,将 y ? k ( x ? 1) 代入 y 2 ? 4 x 得:ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 ,则 y 3 ? y 4 ?

1 | y ? y4 | | y1 ? y 2 | 2 3 ( y1 ? y 2 ) 2 ( y3 ? y 4 ) 2 所以 = ? ? ? | y3 ? y 4 | 1 ( y1 ? y 2 ) 2 ( y3 ? y 4 ) 2 CD ? HF2 | y1 ? y 2 | 2

BE ? GF2

?

( y3 ? y 4 ) 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? ? ( y1 ? y 2 ) 2 ( y3 ? y 4 ) 2 ? 4 y3 y 4

(16k ) 2 4 ? 64k 2 ? (8 ? 9k 2 ) 2 8 ? 9k 2 (16k ) 2 (8 ? 9k 2 ) 2

?4? ? ? k ? ? 2? ?3 为 ?4? ? ? ? 16 ?k?

2

定值.

解:() 点P(an, an ?1 )在直线x ? y ? 1 ? 0上,即an ?1 ? an ? 1, 且a1 ? 1 1?
19. ? 数列?an ? 是以1为首项, 1为公差的等差数列。

? an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2), a1 ? 1也满足 ? an ? n.
(2) f (n) ? ? 1 2 n ? ?? ? , n ?1 n ? 2 2n 1 2 3 n ?1 n n ?1 f (n ? 1) ? ? ? ??? ? ? , n?2 n?3 n?4 2n 2n ? 1 2n ? 2 ? f (n ? 1) ? f (n) ? 0, 5 ? f (n)是单调递增的,故f (n)的最小值是f (2) ? 。 6

(3) bn ? ?

1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? ? ? ? ,? S n ? S n ?1 ? (n ? 2), n 2 3 n n 即nS n ? (n ? 1) S n ?1 ? S n ?1 ? 1,? (n ? 1) S n ?1 ? (n ? 2) S n ? 2 ? S n ? 2 ? 1,??,S 2 ? S1 ? S1 ? 1,

? nSn ? S1 ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ?1 ? n ? 1, ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ?1 ? nS n ? n ? ( S n ? 1) ? n(n ? 2) ? g (n) ? n. 故存在关于n的整式g (n) ? n,使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立
20.解: (1) f ?( x) ?

? f ?(0) ? 0,

1 ? x ? 0 时, f (x) 取得极值, ? 2 x ? 1, x?a 1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0 ,解得 a=1, 故 0?a
(4 分)
2

经检验 a=1 符合题意.

(2)由 a=1 知 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? x,由f ( x) ? ?

5 x ? b, 2

3 x ? b ? 0, 2 3 2 令 ? ( x ) ? ln( x ? 1) ? x ? x ? b, 2 5 则 f ( x ) ? ? x ? b在[0,2] 上恰有两个不同的实数根等价于 2
得 ln( x ? 1) ? x ?
2

? ( x) ? 0 在[0,2]上恰有两个不同的实数根。

(5 分)

? ?( x) ?

1 3 ? (4 x ? 5)(x ? 1) ? 2x ? ? , x ?1 2 2( x ? 1)

(6 分)

当 x ? (1,1)时, ? ?( x) ? 0, 于是? ( x)在(0,1) 上单调递增 当 x ? (1,2)时, ? ?( x) ? 0, 于是? ( x)在(1,2) 上单调递减。

?? (0) ? ?b ? 0, ? 1 3 ? 依题意有 ?? (1) ? ln(1 ? 1) ? 1 ? ? b ? 0, ? ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . 2 2 ? ?? (2) ? ln(1 ? 2) ? 4 ? 3 ? b ? 0, ?
(3) f ( x) ? ln(x ? 1) ? x 2 ? x 的定义域为 {x | x ? ?1}, 由(1)知 f ?( x) ?

? x(2 x ? 3) , x ?1

令 f ?( x) ? 0得, x ? 0或x ? ?

3 (舍去) , 2

?当 ? 1 ? x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增;
当 x>0 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减。

? f (0)为f ( x)在(?1,??) 上的最大值。

? f ( x) ? f (0),故 ln(x ? 1) ? x 2 ? x ? 0 (当且仅当 x=0 时,等号成立) 对任意正整数 n,
取x ?

1 1 1 1 n ?1 n ?1 ? 0 得, ln( ? 1) ? ? 2 , 故 ln ? 2 . n n n n n n

附加题
21,A 解: (1)由旋转坐标公式错误!未找到引用源。 得变换公式为错误!未找到引用源。 ,代入得曲线错误!未找到引用源。的方程为错误! 未找到引用源。 C.解:设错误!未找到引用源。是圆错误!未找到引用源。上任一点,由余弦定理,得错误! 未找到引用源。 整理得圆错误!未找到引用源。的极坐标方程为错误!未找到引用源。 22. 解: (1)设点 P ( x, y ) 为所求轨迹上的任意一点,则由 kOP ? kOA ? kPA 得,

y 1 y ?1 ,整理得轨迹 C 的方程为 y ? x2 ( x ? 0 且 x ? ?1 ). ····· 3 分 ····· ? ? x ?1 x ? 1 2 (2) 设 P( x1 , x12 ) , Q( x2 , x2 ) ,
:学

由 PQ ? ? OA 可知直线 PQ //OA ,则 kPQ ? kOA ,
2 x2 ? x12 1 ? 0 ,即 x2 ? ? x1 ? 1 , ? x2 ? x1 ?1 ? 0 直线 OP 方程为: y ? x1 x ①;

??? ?

??? ?



…………5 分

(? x1 ? 1)2 ? 1 ? ? x1 ? 2 , ? x1 ? 1 ? 1 ∴直线 QA 方程为: y ? 1 ? (? x1 ? 2)( x ? 1) , 即 y ? ?( x1 ? 2) x ? x1 ? 1 ② 1 1 联立①②,得 x ? ? ,∴点 M 的横坐标为定值 ? . …………8 分 2 2 由 S?PQA ? 2S?PAM ,得到 QA ? 2 AM ,因为 PQ //OA ,所以 OP ? 2OM ,
直线 QA 的斜率为:

P 由 PO ? 2OM ,得 x1 ? 1 ,∴ 的坐标为 (1,1) .
∴ 存在点 P 满足 S?PQA ? 2S?PSM , P 的坐标为 (1,1) . ················· 分 ················ 10 23.解: (1) a69 ? 25 ? (9 ? 1) ? 40 (2)因为数表中前 i ? 1 行共有 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 i ?2

??? ?

???? ?

…………2 分

?2

i ?1

? 1 个数,则第 i 行的第一
…………5 分 …………6 分
n ? n ? 1? 2 n ? n ? 1? 2

个数是 2

i?1

,所以 aij ? 2
i ?1

i ?1

? j ?1
n ?1

(3)因为 aij ? 2

? j ? 1 ,则 ann ? 2

? n ? 1? n ? N *? ,

所以 An ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1?? ? 2 n ? 1 ? ? ? 当 n ? 4 时, An ? ?1 ? 1? ? 1 ?
n

?

?

……8 分

n ? n ? 1? 2

0 1 2 3 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 1 ?

3 ? n2 ? Cn .

…………10 分 o.net


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