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《4.1第一节 平面向量的概念及其线性运算》 教案


平面向量的概念及其线性运算
适用学科 适用区域 数学 新课标 鱼向量有关的基本概念、向量记法与表示 知 识 点 向量的加法运算及其几何意义、向量加法交换律与结合律 向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义 向量的数乘运算律、两个向量共线的判定定理及其应用、用向量处理共线问题 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 教学目标 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 教学重点 教学难点 三角函数的定义及应用,三角函数值符号的确定 三角函数的定义及应用 适用年级 课时时长 高三 60 分钟

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教学过程
课堂导入 以前台胞春节期间来大陆探亲,乘飞机先从台北到香港,再从香港到上海.2008 年 7 月 4 日,两岸直航包机启航.若 台北到香港的位移用向量 a 表示,香港到上海的位移用向量 b 表示,台北到上海的位移用向量 c 表示. 想一想,向量 a、b、c 有何关系?

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复习预习 1.我们已经学习过位移、速度、力等,你能总结出它们的特点吗?特点为________________________________. 2.在学习三角函数线时,我们已经学习过有向线段了,你还记得吗? 所谓有向线段就是________________________,三角函数线都是_____________.

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知识讲解 考点 1 向量的有关概念 名称 定义 既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度 (或称模) 长度为零的向量叫做零向量,其方向是任意的,零向量记作 0 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量又叫共线 向量.规定:0 与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量

向量

零向量 单位向量

平行向量

相等向量 相反向量

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考点 2

向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律:a+b=b+a 加法 求两个向量和的运算 (2)结合律:(a+b)+c=a +(b+c) 减法 求 a 与 b 的相反向量-b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)|λa|=|λ||a| 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运 算 (2)当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同; 当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 λ =0 时,λa=0 a-b=a+(-b)

λ(μ a)=(λ μ) a (λ+μ)a=λa+μ a λ(a+b)=λa+λb

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考点 3

共线向量定理

向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ,使得 b=λa.

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例题精析 【例题 1】 【题干】设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;

③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3

)

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【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若

a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命 题.综上所述,假命题的个数是 3.

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【例题 2】

??? ? 1 【题干】如图,在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D,使 DB= OB.设 OA =a, 3 ??? ? ???? ???? OB =b,用 a,b 表示向量 OC , DC .

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???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】 OC = OB + BC = OB +2 BA = OB +2( OA - OB ) ??? ? ??? ? =2 OA - OB =2a-b. ???? ???? ???? ???? 2 ??? ? DC = OC - OD = OC - OB

3

2 =(2a-b)-3b 5 =2a-3b.

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【例题 3】

??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? 【题干】已知 a,b 不共线,OA =a,OB =b,OC =c,OD =d,OE =e,设 t∈R,如果 3a=c,2b=d,

e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数 t 的值,若不存在,请 说明理由.

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??? ? ??? ? 【解析】由题设知, CD =d-c=2b-3a, CE =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条直线上的充 ??? ? ??? ? 要条件是存在实数 k,使得 CE =k CD ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,

整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
? ?t-3+3k=0, 因为 a,b 不共线,所以有? ?t-2k=0, ?

6 解之得 t=5. 6 故存在实数 t=5使 C,D,E 三点在一条直线上.

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课堂运用 【基础】

???? ???? ??? ? ??? ? ???? ???? 1.如图,已知 AB =a, AC =b, BD =3 DC ,用 a,b 表示 AD ,则 AD =(
3 A.a+4b 1 1 C.4a+4b 1 3 B.4a+4b 3 1 D.4a+4b

)

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??? ? ??? ???? ? ???? ??? ? 解析:选 B ∵ CB = AB - AC =a-b,又 BD =3 DC ,
??? ? 1 ??? ? 1 ? ???? ???? ??? 1 1 3 ∴ CD =4 CB =4(a-b),∴ AD = AC + CD =b+4(a-b)=4a+4b.

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a b 2.已知向量 p=|a|+|b|,其中 a、b 均为非零向量,则|p|的取值范围是( A.[0, 2] C.(0,2] B.[0,1] D.[0,2]

)

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解析:选 D

a b 与 均为单位向量,当它们同向时,|p|取得最值 2,当它们反向时,|p|取得最小值 0.故|p|∈[0,2]. |a| |b|

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???? ? 3.(2013· 保定模拟)如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两点,且 AM

???? ??? ? ???? x· y =x AB , AN =y AC ,则 的值为( x+y

)

A.3 C .2

1 B.3 1 D.2

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解析:选 B (特例法)利用等边三角形,过重心作平行于底面 BC 的直线,易得

1 = . x+y 3

x· y

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【巩固】

???? ???? ???? ? ??? ? ???? 4.在?ABCD 中, AB =a, AD =b, AN =3 NC ,M 为 BC 的中点,则 MN =________(用 a,b 表示).

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???? ???? ???? ???? 解析:由 AN =3 NC 得 4 AN =3 AC =3(a+b),
???? ? 1 AM =a+ b, 2

???? ? 3 1 ? 1 1 ? 所以 MN =4(a+b)-?a+2b?=-4a+4b. ? ?
1 1 答案:-4a+4b

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? ???? ???? ???? ??? ? ???? ???? ? 5.(2013· 淮阴模拟)已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使得 AB + AC =m AM 成立,则 m
=________.

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???? ? 2 ???? ??? ? 解析:由题目条件可知,M 为△ABC 的重心,连接 AM 并延长交 BC 于 D,则 AM = AD ,因为 AD 为中线,则 AB 3

???? ???? ???? ? + AC =2 AD =3 AM ,所以 m=3.
答案:3

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【拔高】 6.如图所示,在五边形 ABCDE 中,点 M、N、P、Q 分别是 AB、CD、BC、DE 的中点,K 和 L 分别是 MN 和 PQ 的
??? ? 1 ??? ? 中点,求证: KL =4 AE .

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? ???? ??? ? ??? 证明:任取一点 O, KL = OL - OK .
∵K、L 为 MN、PQ 的中点.

???? 1 ???? ? ???? ??? ? 1 ??? ? ???? ∴ OK =2( OM + ON ), OL =2( OP + OQ ).
又∵M,N,P,Q 分别为 AB,CD,BC,DE 中点,

???? ? 1 ??? ? ??? ? ???? 1 ???? ???? ∴ OM =2( OA + OB ), ON =2( OC + OD ),
??? ? 1 ??? ? ???? ? ???? 1 ???? ??? OP =2( OB + OC ), OQ =2( OD + OE ).

? ???? 1 ???? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ∴ KL = OL - OK =2[-( OM + ON )+( OP + OQ )] ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? 1 =4[-( OA + OB + OC + OD )+( OB + OC + OD + OE )]
??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 = (- OA + OE )= AE . 4 4

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7.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线.

??? ? ??? ? ??? ? (1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线;

??? ? ??? ? ??? ? (2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值.

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??? ? ??? ? 解:(1)证明:∵ AB =e1-e2, BC =3e1+2e2,
??? ? CD =-8e1-2e2, ???? ??? ? ? ? ??? 1 1 ??? ∴ AC = AB + BC =4e1+e2=-2(-8e1-2e2)=-2 CD , ???? ??? ? ∴ AC 与 CD 共线.

???? ??? ? 又∵ AC 与 CD 有公共点 C,∴A、C、D 三点共线. ???? ??? ? ? ??? (2) AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,
? ???? ??? ? ???? ??? ? ?3=2λ, ∵A、 C、 D 三点共线, ∴ AC 与 CD 共线, 从而存在实数 λ 使得 AC =λ CD , 即 3e1-2e2=λ(2e1-ke2), 得? ? ?-2=-λk, 3 4 解得 λ=2,k=3.

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课程小结
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0” ,否则λ 可能不存在,也可能有无数个. (2)证明三点共线问题, 可用向量共线来解决, 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时, 才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所 在直线平行,必须说明这两条直线不重合.

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