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三角形五心性质概念整理(超全)


重心
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3、重心到三角形 3 个顶点距离平方的和最小。
证明方法: 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为(x,y) 则该点到三顶点距离平 方和为: (x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(

y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2 =3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32 =3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2 显然当 x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时 上式取得最小值 x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2 最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数, 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]; 空间直角坐标系——横坐标: (X1+X2+X3)/3, 纵坐标: (Y1+Y2+Y3)/3, 纵坐标: (Z1+Z2+Z3) /3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC 中,若 MA 向量+MB 向量+MC 向量=0(向量) ,则 M 点为△ABC 的重心, 反之也成立。 7、设△ABC 重心为 G 点,所在平面有一点 O,则向量 OG=1/3(向量 OA+向量 OB+ 向量 OC)

内心
设△ABC 的内切圆为☉I(r),∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,p=(a+b+c)/2.

1、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径 r. 2、∠BIC=90°+∠BAC/2. 3、 在 RtΔ ABC 中,∠A=90°,三角形内切圆切 BC 于 D, 则 S△ABC=BD×CD 4、点 O 是平面 ABC 上任意一点,点 I 是△ABC 内心的充要条件是: 向量 OI=[a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)]/(a+b+c). 5、在△ABC 中,若三个顶点分别是 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 那么△ABC 内心 I 的坐标是: (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c) , ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)) . 6、(欧拉定理)△ABC 中,R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径,O 和 I 分别为其 外心和内心,则 OI2=R2-2Rr. 7、△ABC 中:a,b,c 分别为三边,S 为三角形面积,则内切圆半径 r=2S/(a+b+c) 8、 的顶点。 双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支

9、△ABC 中,内切圆分别与 AB,BC,CA 相切于 P,Q, R, 则 AP=AR=(b+c-a)/2, BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2, r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 10、三角形内角平分线定理: △ABC 中,I 为内心,∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB 的内角平分线分别交 BC、AC、AB 于 Q、R、P,则 BQ/QC=c/b,BP/PA=a/b, CR/RA=a/c。

内切圆的半径 (1)在 RtΔ ABC 中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2. (2)在 RtΔ ABC 中,∠C=90°,r=ab/(a+b+c) (3)任意△ABC 中 r=(2*S△ABC)/C△ABC (C 为周长)

外心
设⊿ABC 的外接圆为☉G(R),角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,p=(a+b+c)/2.

性质 1:(1)锐角三角形的外心在三角形内; (2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合; (3)钝角三角形的外心在三角形外. (4)等边三角形外心与内心为同一点。 性质 2:∠BGC=2∠A,(或∠BGC=2(180°-∠A)). 性质 3:∠GAC+∠B=90° 证明:如图所示延长 AG 与圆交与 P(B、C 下面的那个点) ∵A、C、B、P 四点共圆 ∴∠P=∠B ∵∠P+∠GAC=90° ∴∠GAC+∠B=90°

性质 4:点 G 是平面 ABC 上一点,点 P 是平面 ABC 上任意一点,那么点 G 是⊿ABC 外心的充要条件是: (1)向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(tanA+tanB+tanC). 或(2)向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+(cosC/2sinAsinB)向量 PC. 性质 5:三角形三条边的垂直平分线交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.外 心到三顶点的距离相等。 性质 6:点 G 是平面 ABC 上一点,那么点 G 是⊿ABC 外心的充要条件 (向量 GA+向

量 GB)·向量 AB= (向量 GB+向量 GC)·向量 BC=(向量 GC+向量 GA)·向量 CA=0.

三角形外接圆半径:
R=abc/(4S△ABC)

垂心
1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂 心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说, 三角形的内心是它旁心三角形的垂心; 3、 垂心 H 关于三边的对称点,均在△ABC 的外接圆 上。 4、 △ABC 中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且 AH·HD=BH·HE=CH·HF。 5、 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点 为一—垂心组)。 6、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆。 7、 在非直角三角形中,过 H 的直线交 AB、AC 所在直线分别于 P、Q,则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 8、 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍。 9、 设 O,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则 ∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA。 10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。 11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心; 锐角三角形的内接三角形(顶点在原 三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。

12、 西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接 圆上。 13、 设锐角⊿ABC 内有一点 P,那么 P 是垂心的充分必要条件是 PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA 。

向量 PA*向量 PB=向量 PB*向量 PC=向量 PC*向量 PA (ABC 为三角形三个顶点,P 为垂心)

旁心
性质 1 :三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点,该点即 为三角形的旁心。 性质 2:旁心到三角形三边的距离相等。 性质 3:三角形有三个旁切圆,三个旁心。旁心一定在三角形外。 性质 4:直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。


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