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云师大附中2016届适应性月考(文科数学)8


2016 年 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} , B ? {x |
2

1 ? 1} ,则 A ? B ? () x ?1

A. (?1,1

] B. (?1,1) C. ? D. [?1, 2] 2.已知复数 z ? m2 ? 1 ? (m ? 1)i (其中 m ? R, i 是虚数单位)是纯虚数,则复数 m ? i 的共 轭复数是() A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?i 3.已知 A, B, O 三点不共线,若 | AB |?| OA ? OB | ,则向量 OA 与 OB 的夹角为() A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4 .已知 a, b ? R, a ? b ,则下列结论正确的是()
2 2 ?3 ?3 A. a ? b B. a 2 ? b 2 C. a ? b D. a 3 ? b 3

1

1

1

1

5.已知圆 C 过坐标原点,面积为 2? ,且与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 相切,则圆 C 的方程是() A. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 B. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 或 ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2 2 2 2 2

C. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 或 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 D. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2
2 2 2 2 2 2

6.已知某正四面体的内切球体积是 1,则该正四面体的外接球的体积是() A.27 B.16 C.9 D.3

7.一个空间几何体的三视图及尺寸如图 1 所示,则该几何体的体积是() A.

?
3

? 2 3 B.

? 2? ? 3 C. ? ? 2 3 D. ? 3 3 3

1

8.运行如图 2 所示的程序框图, 如果在区间 [0, e] 内任意输入一个 x 的值, 则输出的 f ( x ) 值 不小于常数 e 的概率是() A.

1 1 1 1 B. 1 ? C. 1 ? D. e e e e ?1

9.已知 a , b 为正实数,则 " A.充分不必要条件 件

a ? 1" 是 " aea ? beb (e ? 2.7182?)" 的() b
C.既不充分也不必要条件 D.充分必要条

B.必要不充分条件

, a ?3 , c o s ( 10.在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若b ? 5
的面积为() A.

B ) ?A ?

7 , 则 ?ABC 9

15 5 2 B. C. 5 2 D. 2 2 2 3

11.已知函数 f ( x) ?

4 ? x 2 ,则 ?x1, x2 ? R, x1 ? x2 ,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 的取值范围是() | x1 ? x2 |

2

A. [0, ??) B. [0,1] C. (0,1) D. [0,1) 12.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 4n ? 3 ,且 ?n ? N , an ? 2n2 ? 0 ,则 a3 的取值范围是
*

() A. [?2,15] B. [?18,7] C. [?18,19] D. [2,19]

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.二项式 (3 x ? 14.已知 sin ? ?

1 5 ) 展开式各项系数和为. x

? 4 ,且 ? 为锐角,则 cos ? . 2 5

?x ? y ? 3 ? 0 3x ? y ? 15.已知实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 的取值范围是. x ? y ? y?2 ?
16.已知抛物线 C : y 2 ? 4x 上一点 M (4, ?4) ,点 A, B 是抛物线 C 上的两动点,且

???? ???? MA ? MB ? 0 ,则点 M 到直线 AB 的距离的最大值是.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ?? 3n?1 an ? n , n ? N .
*

(1)求数列 {an } 的通项; (2)设数列 {bn } 满足 3 n ?
b

b 3 ,求数列 { n } 的前 n 项和 Sn . an an

18. (本小题满分 12 分) 国内某大学有男生 6000 人,女生 4000 人,该校想了解本校学生的运动状况,根据性别采取 分层抽样的方法从全校学生中抽取 100 人,调查他们平均每天运动的时间(单位:小时) , 统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是 [0,3] ,若规定平均每天运动的时间不少于 2 小时的学生为“运动达人” ,低于 2 小时的学生为“非运动达人”. 根据调查的数据按性别 与“是否为‘运动达人’ ”进行统计,得到如下 2 ? 2 列联表:
3

(1)请根据题目信息,将 2 ? 2 列联表中的数据补充完整,并通过计算判断能否在犯错误概 率不超过 0.025 的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’ ”有关; (2)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查该校的 3 名男生,设调查的 3 人中运动 达人的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) 及方差 D( X ) .

19. (本小题满分 12 分) 如图 3,在底面为菱形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点,

AB ? 2 , ?ABC ?

?
3

.

(1)求证: PB / / 平面 AEC ; (2)若三棱锥 P ? AEC 的体积为 1,求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且 | F 1F 2 |? 2 ,点 a b

P(2,

2 5 ) 在椭圆上. 5

4

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,圆 O : x2 ? y 2 ? a2 , B1 (0, ?b) , B2 (0, b) , E 为椭圆 C 上异于顶 点的任意一点,点 F 在圆 O 上,且 EF ? x 轴, E 与 F 在 x 轴两侧,直线 EB1 , EB2 分别与

x 轴交于点 G , H ,记直线 FG, FH 的斜率分别为 k1 , k2 ,问: k1k2 是否为定值?若是,求
出该定值;若不是,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax ? b 在点 (1, f (1)) 处的切线为 3x ? y ? 2 ? 0 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若 k ? Z ,且存在 x ? 0 ,使得 k ?

f ( x ? 1) 成立,求 k 的最小值. x

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

A D ?? B C D 如图 4,D 是 ?ABC 边 AB 上的一点,?ACD 内接于圆 O , 且 ?C
的中点, BE 的延长线交 AC 于点 F ,证明: (1) BC 是圆 O 的切线; (2)

,E 是 CD

AB 2 AF ? . BC 2 CF

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ,其中 a ? b ? 0 ,以 O 为极 y ? b sin ? ?

点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2cos? ,射线 l : ? ? ? ( ? ? 0) ,设

Q, | PQ |? 1 ; 射线 l 与曲线 C1 交于点 P , 当 ? ? 0 时, 射线 l 与曲线 C2 交于点 O , 当? ?
时,射线 l 与曲线 C2 交于点 O , | OP |? 3 .
5

?
2

(1)求曲线 C1 的普通方程; (2)设直线 l : ? 面积. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ?
'

? ? ? x ? ?t ( t 为参数,t ? 0 )与曲线 C2 交于点 R ,若 ? ? ,求 ?OPR 的 3 ? ? y ? 3t

1 | ( x ? R) . 2

(1)关于 x 的不等式 f ( x) ? 2a2 ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2 2 2 (2)设 m, n, p , q 为正实数,且 m ? n ? f (? ) ,求证: (mp ? nq) ? mp ? nq .

1 2

云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷(八) 理科数学参考答案
6

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】
1) ,故选 B. 1.由题意得 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | x≥2或x ? 1},∴A ? B ? (?1,
[来源:Z.xx.k.Com]

1

[来源:Z.xx.k.Com]

2 B

3 B

4 D

5 C

6 A

7 A

8 B

9 D

10 C

11 D

12 D

B

2.由题意得 m2 ? 1 ? 0且m ? 1 ? 0 ,∴m ? 1, 故复数 m ? i 的共轭复数是 1 ? i ,故选 B . 6.设正四面体的外接球、内切球半径分别为 R,r,则

R 4 ? 3 .由题意 πr 3 ? 1 ,则外接球 r 3

4 4 的体积是 πR3 ? 27 ? πr 3 ? 27 ,故选 A. 3 3 1 1 1 π 7. 该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体, 故体积为 ? π ?12 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 2 3 , 3 2 2 3
故选 A.
?e x , 0≤x≤1, 8.由题意得 f ( x) ? ? 如图 1 所示,当 1≤ x≤ e 时, f ( x)≥e ,故 f ( x) 值不小 ?ln x ? e, 1 ? x≤e,

于常数 e 的概率是

e ?1 1 ? 1 ? ,故选 B. e e

0 ∴f ( x) 在 (0,? ?) 上 为 增 函 数 , 则 9 . 令 f ( x) ? x ?e x ( x ? 0) , 则 f ?( x) ? ( x? 1)x e ? ,
a ? b ? aea ? beb ,故选 D.

10.在边 AC 上取点 D 使 ?A ? ?ABD ,则 cos ?DBC ? cos( B ? A) ?

7 .设 AD ? DB ? x ,则 9

7 (5 ? x)2 ? 9 ? x2 ? 2 ? 3x ? ? x ? 3 .在等腰三角形 BCD 中, DC 边上的高为 2 2 , 9

7

1 ∴S△ABC ? ? 5 ? 2 2 ? 5 2 ,故选 C. 2
11.∵y ? 4 ? x2 ,∴y 2 ? x2 ? 4( y ? 0) ,∴函数 f ( x) ? 4 ? x2 的图象表示焦点在 y 轴上的 双曲线的上支,由于双曲线的渐近线为 y ? ? x ,所以函数 f ( x) 的图象上不同的两点连
1) ,故 线的斜率范围为 (?1,
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? [0, 1) ,故选 D. | x1 ? x2 |

12.∵an?1 ? an ? 4n ? 3 ,∴an? 2 ? an?1 ? 4n ? 7 ,两式相减得 an? 2 ? an ? 4 ,故数列 {an } 的通
?2n ? 2 ? a1,n为奇数, 项 公 式 为 an ? ? 当 n 为 奇 数 时 , an ? 2n2≥0 可 化 为 2 n ? 3 ? a , n 为偶数 . ? 1 1? 5 ? 2 ∴a1≥ ? 2n2 ? 2n ? 2 ? ?2 ? n ? ? ? , 当 n ? 1 时,?2n2 ? 2n ? 2 有 2n ? 2 ? a ?2 n ≥ , 0 1 2? 2 ?
2

最 大值 ?2 , ∴a1≥ ? 2 ;当 n 为偶 数时 , an ? 2n2≥0 可化 为 2n ? 3 ? a1 ? 2n2≥0 ,
1? 5 ? ∴a1≤2n2 ? 2n ? 3 ? 2 ? n ? ? ? ,当 n ? 2 时, 2n 2 ? 2n ? 3 有最小值 15,∴a1≤ 15 , 2? 2 ?
∴? 2≤a1≤15 ,∴a3 ? a1 ? 4 ? [2, 19] ,故选 D.
2

第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13.令 x ? 1 ,则展开式中各项系数和为 25 ? 32 . 13 32 14
2 5 5

15
?1 ? ? 3 ,3? ? ?

16
4 5

? 2 5 4 3 ? ? 4 ,且 ? 为锐角,∴cos ? ? ? 2cos2 ? 1 , cos2 ? ,∴cos ? . 2 5 5 5 2 2 5 y y?0 y 15. 如图 2, 可行域为三角形, ? 可看作可行域内的点与原点连线的斜率, 则 ? [0,2] , x x?0 x
14.∵sin ? ?

y ? ?1 ? y ? ? 4 ? ? 4 3x ? y x? ?1 ? x ? ? ? ?1 ? ? ? ,3? . ? y y y x ? y 1? ?3 ? 1? 1? x x x 3?

8

? y 2 ? 4 x1, y ? y2 4 ? ∴k AB ? 1 ? 16 .设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,∴? 1 , 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? y2 ? 4 x2,
∴l AB : y ? y1 ?
4 4 4 ( x ? x1 ) .∵点 M 在抛物线上,∴kMA ? , k MB ? . y1 ? y2 y1 ? 4 y2 ? 4

???? ???? ∵MA ?MB ? 0



∴MA ? MB



∴k MA ? k MB ?

4 4 ? ? ?1 y1 ? 4 y2 ? 4



∴y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ? 32 ? 0 , ∴l AB : y ?
?

y12 yy 4 4 4 4 x? x1 ? y1 ? x? ? y1 ? x? 1 2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

4( y1 ? y2 ) ? 32 4 4 x? ? ( x ? 8) ? 4 ,∴直线 AB 恒过点 N (8,4) ,则点 M 到 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2

直线 AB 的距离的最大值为 | MN |? (8 ? 4)2 ? (4 ? 4)2 ? 4 5 . 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 n≥2 时,
a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n?1 an ? n ,① a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n?2 an?1 ? n ? 1,②

由①?②得: 3n ?1 an ? 1 ,

∴an ?

1 . 3
n ?1

???????????????????????????(4 分)

当 n ? 1 时, a1 ? 1 也满足上式,

9

∴an ?

1 (n ? N* ) . 3n?1

???????????????????????(6 分)
3 得, 3bn ? 3n ,∴ bn ? n , an

(Ⅱ)由(Ⅰ)及 3bn ?
∴ bn ? n3n ?1 , an

?????????(7 分)

∴Sn ? 1 ?30 ? 2 ?31 ? 3 ?32 ? … ? n ?3n?1 , 3Sn ? 1 ?31 ? 2 ?32 ? 3 ?33 ? … ? n ?3n .

???????????????(8 分)

以上两式相减得:
?2Sn ? 1 ? 3 ? 32 ? … ? 3n?1 ? n ?3n

1 ? 3n ?????????????????????????(11 分) ? n ?3n , 1? 3 n 1 1 ?????????????????????(12 分) ∴Sn ? ?3n ? ?3n ? . 2 4 4 ?
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意,该校根 据性别采取分层抽样的方法抽取的 100 人中,有 60 人为男 生,40 人为女生,据此 2 ? 2 列联表中的数据补充如下. 运动时间 性别 男生 女生 合计 由表中数据得 K 2 的观测值 k ?

运动达人 36 14 50

非运动达人 24 26 50

合计 60 40 100

100 ? (36 ? 26 ? 24 ?14)2 ? 6 ? 5.024 , 50 ? 50 ? 60 ? 40

所以在犯错误概率不超过 0.025 的前提下,可以认为性别与“是否为‘运动达人’ ”有 关.
[来源:Zxxk.Com]

??????????????????????????????(6 分) (Ⅱ)由题意可知,该校每个男生是运动达人的概率为 X 可取的值为 0,1,2,3,
0?2? 所以 P( X ? 0) ? C3 ? ? ?5? 3? 0

36 3 ? 3? ? ,故 X ~ B ? 3, ? , 60 5 ? 5?

8 ? 3? ?2? , P( X ? 1) ? C1 3? ? ? ? ? ? 5 ? 125 ?5?

0

3?1

36 ? 3? , ? ? ? ? 5 ? 125

1

10

2?2? P( X ? 2) ? C3 ? ? ?5?

3? 2

54 ? 3? ?2? , P( X ? 3) ? C3 3? ? ? ? ? 5 125 ? ? ?5?

2

3? 3

27 ? 3? . ? ? ? 5 125 ? ?

3

X 的分布列为: X
0

1

2
54 125

3

P

8 125

36 125

27 125

3 9 3 2 18 ∴E( X ) ? 3 ? ? , D( X ) ? 3 ? ? ? . 5 5 5 5 25
19. (本小题满分 12 分)

?????????????(12 分)

(Ⅰ)证明:如图 3,连接 BD 交 AC 于点 O,连接 OE, ∵点 O,E 分别为 BD,PD 的中点,∴OE∥PB . 又 PB ? 平面AEC , OE ? 平面AEC ,∴PB∥平面AEC . ??????????????????(4 分)

1 1 1 (Ⅱ)解: V三棱锥P? AEC ? V三棱锥P? ACD ? V三棱锥E ? ACD ? V三棱锥P ? ACD ? ? ?S△ACD ? PA 2 2 3
1 1 1 π ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin ? PA ? 1 ,∴PA ? 2 3 . 2 3 2 3
∵底面四边形为菱形, AB ? 2, ?ABC ? ????????????(7 分)

π , 3

∴OA ? OC ? 1, OB ? OD ? 3 , OB⊥OC .
如图 3,以 O 为原点建立空间直角坐标系, PA∥z轴 , 则 O(0, 0, 0),A(0, ? 1, 0), B( 3, 0, 0), C(0,, 1 0), P(0, ? 1, 2 3) .

? 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z) , ??? ? ??? ? ∵BC ? (? 3,, 1 0), PC ? (0, 2, ? 2 3) ,

??? ? ? ? ? BC ?n ? ? 3x ? y ? 0, ? ∴n ? (1 , 3, 1) . ∴???? ? ? ? ? PC ?n ? 2 y ? 2 3z ? 0,
∵PA⊥平面ABCD , OB ? 平面ABCD ,∴OB⊥PA .

又∵OB⊥AC , AC ? PA ? A ,AC, PA ? 平面PAC ,

11

∴OB⊥平面PAC ,

??? ? ∴平面 PAC 的法向量为 OB ? ( 3, 0, 0) ,
? ??? ? ? ??? ? n ?OB 3 5 ? ? , ∴cos? n , OB? ? ? ??? ? 5 | n || OB | 3? 5

由图可知二面角 A?PC?B 的平面角是锐角, ∴二面角 A?PC?B 的余弦值为
5 . 5

??????? ??????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分)
0) , F2 (1, 0) , a 2 ? b2 ? 1 . 解: (Ⅰ)由题意知, F1 (?1,

? 2 5? ∵点 P ? ? 2, 5 ? ? 在椭圆上, ? ?
?2 5? ?2 5? 2 ∴由椭圆的定义,得 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? (2 ? 1) ? ? ? 5 ? ? ? (2 ? 1) ? ? ? 5 ? ? ?2 5, ? ? ? ?
2 2 2

∴a ? 5 , b ? 2 ,

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 5 4

???????????????????(4 分)

(Ⅱ)如图 4 所示,设 E ( x0,y0 ) , F ( x0 , yF ) ,且 x0 ? 0 , y0 ? 0 . 由题意,得圆 O: x2 ? y 2 ? 5 . ∵点 E 在椭圆 C 上,点 F 在圆 O 上,
12

2 2 ?4 x0 ? 5 y0 ? 20, ? 即 ∴? 2 2 ? ? x0 ? yF ? 5,

4 2 ? 2 ? y0 ? 4 ? x0, 5 ? ? y 2 ? 5 ? x2 . 0 ? F

∵B1 (0, ? 2) , B2 (0, 2) ,

∴lEB1 : y ?

y0 ? 2 y ?2 x ? 2 , lEB2 : y ? 0 x?2, x0 x0

? 2 x0 ? ? ?2 x0 ? ∴直线 EB1 与 x 轴的交点 G ? , 0 ? ,直线 EB2 与 x 轴的交点 H ? , 0? , ? y0 ? 2 ? ? y0 ? 2 ?

∴k1 ? kFG ?

y ( y ? 2) y ( y ? 2) ? yF ? yF , k2 ? kFH ? , ? F 0 ? F 0 2 x0 ?2 x0 x0 y0 x0 y0 ? x0 ? x0 y0 ? 2 y0 ? 2
2 F 2 0 2 2 0 0

4 2? 2 ? (5 ? x0 ) ? ? x0 ? y ( y ? 2) yF ( y0 ? 2) y ( y ? 4) ? 5 ? ? ?1 , ∴k1k2 ? F 0 ? ? ? 4 2? x0 y0 x0 y0 x y 2? x0 ? 4 ? x0 ? 5 ? ?

故 k1k 2 为定值 ?1 .

???????????????????????(12 分)

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,? ?) ,
f ?( x) ? ln x ? 1 ? a ,

? f ?(1) ? a ? 1 ? 3, ∴? ? f (1) ? a ? b ? 1, ? a ? 2, ∴? ?b ? ?1,
∴f ( x) ? x ln x ? 2 x ? 1 .

?????????????????????(4 分)

13

(Ⅱ) k ? 令 g ( x) ?

f ( x ? 1) ( x ? 1)ln( x ? 1) ? 2 x ? 1 可化为 k ? , x x

( x ? 1)ln( x ? 1) ? 2 x ? 1 f ( x ? 1) , ?x ? (0, ? ?) ,使得 k ? , x x

则 k ? g ( x)min ,

g ?( x) ?

x ? 1 ? ln( x ? 1) ,x ? (0, ? ?) . x2 1 x ? ?0, x ?1 x ?1

令 h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 1) ,则 h?( x) ? 1 ?
∴h( x) 在 (0,? ?) 上为增函数.

h(3) ? 2 ? ln 4 ? 0 , 又 h(2) ? 1 ? ln 3 ? 0,

3) 使得 h( x0 ) ? 0 ,即 x0 ? 1 ? ln( x0 ? 1) . 故存在唯一的 x0 ? (2,

当 x ? (0,x0 ) 时, h( x) ? 0 ,
∴g ?( x) ? 0 ,∴g ( x) 在 (0,x0 ) 上为减函数;

? ?) 时, h( x ) ? 0 , 当 x ? ( x0,
∴g ?( x) ? 0 ,∴g ( x) 在 ( x0,? ?) 上为增函数.

∴g ( x) min ? g ( x0 ) ?

( x0 ? 1) ln( x0 ? 1) ? 2 x0 ? 1 ( x0 ? 1)( x0 ? 1) ? 2 x0 ? 1 ? ? x0 ? 2 , x0 x0

∴k ? x0 ? 2 . ∵x0 ? (2, 3), ∴x0 ? 2 ? (4, 5) .
∵k ? Z,∴ k 的最小值为 5.

???????????????????(12 分)

(评分说明:其他解法酌情给分. ) 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)如图 5,连接 CO 与⊙O 交于点 G,连接 GD.
∵ CG 是⊙O 的直径, ∴?CDG ? 90? ,∴?CGD ? ?GCD ? 90? . ∵?CAD ? ?BCD ? ?CGD , ∴?BCD ? ?GCD ? 90? ,即 CG ? BC ,
14

∴BC 是⊙O 的切线.

??????????????????????(5 分)

(Ⅱ)如图 5,过点 D 作 AC 的平行线交 BF 于 H.
∵DH ∥AC ,∴△ABF ∽△DBH , △ECF ∽△EDH ,



AB AF CF CE , . ? ? BD DH DH DE

∵E 是 CD 的中点,∴CE ? DE ,∴CF ? DH . ∵BC 与⊙O 切于点 C,BDA 为⊙O 的割线, ∴由切割线定理,得 BC 2 ? AB ? BD ,
∴ AB 2 AB 2 AB AF ? ? ? . 2 BC AB ? BD BD CF

????????? ?????????(10 分)

(评分说明: (Ⅰ)问用弦切角定理的逆定理直接证明不给满分. ) 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
? x ? a cos ? , 解: (Ⅰ)∵曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数),且 a ? b ? 0 , ? y ? b sin ? ,

∴曲线 C1 的普通方程为 而其极坐标方程为

x2 y 2 ? ?1, a 2 b2 ?

? 2 cos2 ?
a2

? 2 sin 2 ?
b2 a2

? 1. ?

∵将射线 l: ? ? 0 代入曲线 C1 :

? 2 cos2 ?

? 2 sin 2 ?
b2

? 1,

得 ? ? a ,即点 P 的极坐标为 ( a, 0) ; 将射线 l: ? ? 0 代入曲线 C2 : ? ? 2cos? , 得 ? ? 2 ,即点 Q 的极坐标为 (2,0) .
15

又∵| PQ |? 1 ,即 | PQ |?| a ? 2 |? 1 ,∴a ? 1 或 a ? 3 .

? 2 cos2 ? ? 2 sin 2 ? π 代入曲线 C1 : ? ? 1, 2 a2 b2 ? π? 得 ? ? b ,即点 P 的极坐标为 ? b, ? , ? 2?
∵将射线 l: ? ? 又∵| OP |? 3 ,∴b ? 3 .
∵ a ? b ? 0 ,∴ a ? 3 ,
[来源:Z&xx&k.Com]

∴曲线 C1 的普通方程为

x2 y 2 ? ?1. 9 3

?????????????????(5 分)

? ? x ? ?t , (Ⅱ)∵直线 l ? 的 参数方程为 ? (t 为参数, t ? 0 ), ? ? y ? 3t ,

∴直线 l ? 的普通方程为 y ? ? 3x( x ? 0) ,

π 而其极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) , 3
∴将直线 l ? : ? ? ?

π 代入曲线 C2 : ? ? 2cos? , 3

得 ? ? 1 ,即 | OR |? 1 . ∵将射线 l: ? ? 得? ?

? 2 cos2 ? ? 2 sin 2 ? π 代入曲线 C1 : ? ? 1, 3 9 3

3 10 3 10 ,即 | OP |? , 5 5

∴设 △ OPR 的面积为 S, S ?

1 1 3 10 2 π 3 30 | OP || OR | sin ?POR ? ? ? 1 ? sin ? . 2 2 5 3 20

??????????????????????????????(10 分) (评分说明:其他解法酌情给分. ) 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】
1 1 ? ?3x ? 2 ,x ? 2 , ? 3 1 1 ? (Ⅰ)解:由题意,得 f ( x) ? ? x ? ,? ≤x≤ , 2 2 2 ? 1 1 ? ??3x ? 2 ,x ? ? 2 , ?
1? ? 所以 f ( x) 在 ? ??,? ? 上是减函数, 2? ? ? 1 1? ?1 ? 在 ? ? , ? 上是增函数,在 ? ,? ? ? 上是增函数, ? 2 2? ?2 ?

16

? 1? ∴对于任意 x ? R 都有 f ( x)≥f ? ? ? ? 1 . ? 2?

又∵不等式 f ( x)≥2a2 ? a 恒成立,即 2a 2 ? a≤1 ,

1 ∴? ≤a≤ 1. 2

??????????????????????????(5 分)

? 1? (Ⅱ)证明: ∵m ? n ? f ? ? ? ? 1 , ? 2?

∴ (mp2 ? nq2 ) ? (mp ? nq)2 ? m(1 ? m) p2 ? n(1 ? n)q2 ? 2mnpq
? mn( p2 ? 2 pq ? q2 ) ? mn( p ? q)2 .

∵m,n,p,q 为正实数,∴mn( p ? q)2≥0 ,
∴ (mp ? nq)2≤mp2 ? nq2 .

?????????????????????(10 分)

17


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