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湖南省2009年对口升学考试数学试题


机密 ★ 启用前

湖南省 2009 年普通高等学校对口招生考试

数 学 试 题
时量 120 分钟 总分:150 分 一、选择题(在本题的每一小题的备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确的选项 填入题后的括号内。多选不给分。本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、已知全集 U ? {a, b, c,

d , e, f , g} ,集合 M ? {a, b, d} ,集合 N ? {b, c, e} , 则? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( U (M ? N ) ? · (A) { f , g} 2、函数 f ( x) ? (B) {b, c, e} (C) {a, b, d } (D) {a, b, c, d , e} ) )

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( ? lg( x ? 1) 的定义域是 · x ?1
(B) (?1,1) (B) (1, ??)

(A) (??, ?1)

(D) (?1,1) ? (1, ??) )

3、复数 z ? ?1 ? i 的三角形式是· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (

? i sin ) 4 4 5? 5? (C) 2(cos ? i sin ) 4 4
(A) 2(cos

?

?

3? 3? ? i sin ) 4 4 7? 7? (D) 2(cos ? i sin ) 4 4
(B) 2(cos )

4、下列命题中,正确的是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (

??? ? ??? ? ??? ? (A) AB ? BA ? 0 (B) 0 ? AB ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (C) AB ? BC ? AC (D) AB ? AC ? BC tan 2 x 5、 lim 的值是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( x ?0 x 1 (A)0 (B) (C)1 (D)2 2
2 2



6、 已知双曲线 9 x ? 16 y ? 144 上一点 P 到该双曲线一个焦点的距离为 4, 则 P 到另一个焦点的 距离是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( (A)8 7、已知 sin ? ? cos ? ?
4 4



(B)10

(C)12

(D)14 )

5 ,且 ? 是第二象限角,则 sin 2? 的值是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( 9
(B)

(A) ?

2 3

2 3

(C) ?

2 2 3

(D)

2 2 3

8、某班拟从 8 名候选人中推选出 3 名同学参加学生代表大会,8 名候选人中有甲、乙两名同学。 假设每名候选人都有相同的机会被选到,则甲、乙两同学都被选为学生代表的概率是( (A) )

3 14

(B)

3 28

(C)

1 28

(D)

1 56

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9、下列四个命题: (1)若一条直线和一个平面垂直,则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线; (2)若一条直线和一个平面平行,则这条直线平行于这个平面内的任何一条直线; (3)若一条直线和两个平面垂直,则这两个平面互相平行; (4)若一条直线和两个平面平行,则这两个平面互相平行; 其中正确命题的个数是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( (A)1 (B)2 (C)3
?1



(D)4

10、 设奇函数 y ? f ( x) ( x ? R) 存在反函数 y ? f (A) (? f (a), ?a) (B) ( f (a), ?a)

( x) 。当 a ? 0 时,一定在函数 y ? f ?1 ( x) 的
) (D) (?a, f (a))

图像上的点是· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( (C) (?a, ? f (a))

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,把答案填在答题卡上对应的横线上) 11、函数 y ?

1 ? sin(2 x ? ) 的最小正周期是 3 2


2

12、设有命题 p : 3 是 6 与 9 的公约数;命题 q : 方程 x ? 1 ? 0 没有实数根,则 ?p ? ?q 的真值 是 13、若复数 z ?
6

(用 T 或 F 作答) 。

3 ? 6i (b ? R) 的实部和虚部互为相反数,则 b ? 1? i
(用数字作答) 。



14、 (1 ? 3 x ) 的展开式中 x 的系数是

15、甲、乙两人独立地解答同一道数学题,甲解答对的概率为 0.8 ,乙解答对的概率为 0.5 ,那 么此题能解答对的概率是 。

16、如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知

AB ? AD ? 1, AA1 ? 2 ,则直线 B1 D 与平面 ABCD 所
成的角的大小是 。 。

?e x ? a,????x ? 0 17、若 f ( x) ? ? ,在 (??, ??) 内连续,则实数 a ? ?ln(1 ? x), x ? 0
18、若椭圆 kx ? 3 y ? 6k ? 0 的的一个焦点为 (0, 2) ,则常数 k ?
2 2



三、解答题(本大题共 7 小题,其中第 24、25 题为选做题,每小题 10 分,共 60 分,解答应写 出文字说明或简演算步骤) 19、 (本题满分 10 分) 解不等式:

2 ? 3. | 2 x ? 1|

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20、 (本题满分 10 分)

已知平面向量 a , b , c ,满足 a ? b ? c ? 0 ,且 | a |? 3,| b |? 4, a ? b ,求 | c | 的值。

? ? ?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

21、 (本题满分 10 分) 如图,一艘海轮从海港 A 出发,沿北偏东 75 方向航行了 50 海里后到达海岛 B,然后从 B 出 发,沿北偏东 15 的方向航行 30 海里后到达海岛 C。如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此 船应该沿北偏东多少度的方向航行?需要航行多少海里?(角度精确到 0.1 度) 。
?
?

22、 (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax??(a ? 0).
x

(1)求 f ( x) 的单调区间。

(2)若不等式 f ( x) ? 0 对任意实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围。

23、 (本题满分 10 分) 已知抛物线 C1 的顶点为坐标原点 O,焦点 F 是圆 C2 : x ? ( y ? 2) ? 16 的圆心。
2 2

(1)求抛物线 C1 的方程。

(2)设过点 F 且斜率为 ?

3 的直线 l 与抛物线 C1 交于 A,B 两点,过 A,B 两点分别作抛物 4

线的切线 l A 与 l B , 求直线 l A 与 l B 的交点 M 的坐标, 并判断点 M 与圆 C2 的位置关系 (圆 内,圆上,圆外) 。

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四、选做题(注意:第 24、25 题任选一题作答,若全部作答,则只评阅 24 小题) 24、 (本题满分 10 分) 为拉动经济增长,2009 年度某市计划新建住房的面积为 200 万平方米,其中小户型住房 面积 120 万平方米。以后每年新建住房面积比上一年增长 10 ? ? ,其中小户型面积每年比上一 年增加 16 万平方米。 (1)该市 2014 年度新建住房面积有多少万平方米?其中小户型住房面积有多少万平方米? (精确到万平方米)

(2)从 2009 年初到 2014 年底,该市每年新建的小户型住房累计总面积占新建住房累计总面 积的百分比是多少?(精确到 0.01)

25、 (本题满分 10 分) 设数列 {an } 是公差为 2 的等差数列,数列 {bn } 是等比数列,且 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a5 ? b3 . 求: (1)数列 {an } 与 {bn } 的通项公式。

(2) lim[(1 ? ) n ?
a n ??

1 n

bn ? 1 ] 3n ?1 ? 1

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