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高二数学竞赛班二试平面几何讲义.第八讲 三角形的五心(二)doc1


高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第八讲 三角形的五心(二)
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一、知识要点:
1. 垂心 三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外 接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便利. 2.九点圆定理:三角形的三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的 三条连接线段的中点, 共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆,

或称欧拉圆。 ?ABC 的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点,九点圆的半径是 ?ABC
1 2 证明: ?ABC 的九点圆与 ?ABC 的外接圆,以三角形的垂心为外位似中心, 又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为 1: 2 。 3.欧拉线:?ABC 的垂心 H ,重心 G ,外心 O 三点共线。此线称为欧拉线, 且有关系: HG ? 2GO

的外接圆半径的 。

二、例题精析:
例 1. 设 A1A2A3A4 为⊙ 内接四边形,H1,H2,H3,H4 依次为△A2A3A4,△A3A4A1, O △A4A1A2,△A1A2A3 的垂心.求证:H1,H2,H3,H4 四点共圆,并确定出该 圆的圆心位置. (1992,全国高中联赛)
A2
H1

A1

O

. H2
A4

A3

1

例 2. 如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于
点 M, FD 和 AC 交于点 N.求证: (1)OB⊥DF,OC⊥DE. (2)OH⊥MN.
A

O F H D N E C

B

M

例 3. 锐角△ABC 中,O,G,H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为 d 外,重心到三边距离和为 d 重,垂心到三边距离和为 d 垂. 求证:1· 垂+2· 外=3· 重. d d d
A H3 G3 O3 O I B O1 G 1 H1 C G

O2 G2 H2

例 4. H 为△ABC 的垂心,D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中心.一个以 H 为 圆心的⊙ 交直线 EF,FD,DE 于 A1,A2,B1,B2,C1,C2. H 求证:AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989,加拿大数学奥林匹克训练题)
B2 A1 B F
H2 M

A E

C1 A2 C

H D C2 H1

B1

2

三、精选习题:
1. △ABC 中∠ C<90° ,从 AB 上 M 点作 CA,CB 的垂线 MP,MQ.H 是△CPQ 的 垂心.当 M 是 AB 上动点时,求 H 的轨迹.(IMO-7)

2. 锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是 H1,H2,H3.已知:H1,H2,H3, 求作△ABC.(第 7 届莫斯科数学奥林匹克)

3. △ABC 中∠ C=30° ,O 是外心,I 是内心,边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点 使得 AD=BE=AB.求证:OI 丄 DE,OI=DE. (1988,中国数学奥林匹克集训题)

A I B F

D
30 °

C

O E

K

3

4. 设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中,AB=BC,CD=DE,EF=FA。 试证:(1)AD,BE,CF 三条对角线交于一点; (2)AB+BC+CD+DE+EF+FA ? AD+BE+CF. (1991,国家教委数学试验班招生试题)
A F B Q S C D I P E

四、拓展提高:
5. 如图,在锐角△ABC 中,AB<AC,AD 是边 BC 上的高,P 是线段 AD 内一点。 过 P 作 PE⊥AC,垂足为 E,做 PF⊥AB,垂足为 F。O1、O2 分别是△BDF、 △CDE 的外心。求证:O1、O2、E、F 四点共圆的充要条件为 P 是△ABC 的垂 心。
A E F O1 B D C P O2

A E F O1 B D C P O2

4

高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第八讲 三角形的五心(二)
例 1. 分析:连接 A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径 为 R.由△A2A3A4 知 A2 H 1 =2R ? A2H1=2Rcos∠ 3A2A4; A A1 A2 s i n A2 A3 H 1 ? 由△A1A3A4 得 . H2 H1 A1H2=2Rcos∠ 3A1A4. A O 但∠ 3A2A4=∠ 3A1A4,故 A2H1=A1H2. A A A3 A4 易证 A2H1∥ 1A2,于是,A2H1 ∥ 1H2, A A = 故得 H1H2 ∥A2A1.设 H1A1 与 H2A2 的交点为 M,故 H1H2 与 A1A2 关于 M 点 = 成中心对称. 同理,H2H3 与 A2A3,H3H4 与 A3A4,H4H1 与 A4A1 都关于 M 点成中心对称. 故 四 边 形 H1H2H3H4 与 四 边 形 A1A2A3A4 关于 M 点成中心对称, 两者 A 是全等四边形,H1,H2,H3,H4 在同 一个圆上.后者的圆心设为 Q,Q 与 O 也关于 M 成中心对称.由 O,M 两点, Q 点就不难确定了. O 例 2. 【证明】 (1)∵A,C,D,F 四点共 F E 圆, H ∴∠BDF=∠BAC. C 1 又∵∠OBC= (180° -∠BOC)=90° -∠BAC, B D 2 ∴OB⊥DF. N 同理 OC⊥DE.………………………10 分 (2) ∵CF⊥MA, ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2.……① ∵BE⊥NA, ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2.……② M ∵DA⊥BC, 2 2 2 2 ∴BD -CD =BA -AC .……③ ∵OB⊥DF, ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2.……④ ∵OC⊥DE, 2 2 2 2 ∴ CM -CD =OM -OD . … … ⑤………………………………………………30 分 ①-②+③+④-⑤,得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2. MO 2-MH 2=NO 2-NH 2. 所以 OH⊥MN. ………………………………………………………………………… 50 分 另证:以 BC 所在直线为 x 轴,D 为原点建立直角坐标系,

5

设 A(0,a),B(b,0),C (c,0),则 k AC ? ? ∴ 直线 AC 的方程为 y ? ?
c ? ? y ? a ( x ? b) ? 由? ? y ? ? a ( x ? c) ? c ?

a a , k AB ? ? c b

a c ( x ? c) ,直线 BE 的方程为 y ? ( x ? b) c a
a 2 c ? bc 2 ac 2 ? abc , ) a2 ? c2 a2 ? c2

得 E 点坐标为 E (

a 2 b ? b 2 c ab 2 ? abc , ) a2 ? b2 a2 ? b2 a c c 直线 AC 的垂直平分线方程为 y ? ? ( x ? ) 2 a 2 b?c 直线 BC 的垂直平分线方程为 x ? 2 a c c ? ? y ? 2 ? a (x ? 2 ) b ? c bc ? a 2 ? , 由? 得O( ) 2 2a ?x ? b ? c ? 2 ? bc ? a 2 bc ? a 2 ab 2 ? abc ab ? ac 2a k OB ? ? , k DF ? 2 ? b?c ac ? ab a b ? b 2 c a 2 ? bc ?b 2 ∵kOB k DF ? ?1 ∴ OB⊥ DF

同理可得 F (

同理可证 OC⊥ DE. 在直线 BE 的方程 y ?

bc c ) ( x ? b) 中令 x=0 得 H (0, ? a a

bc ? a 2 bc ? 2 2a a ? a ? 3bc ∴k OH ? b?c ab ? ac 2 ab ? ac x 直线 DF 的方程为 y ? 2 a ? bc ab ? ac ? ? y ? a 2 ? bc x a 2 c ? bc2 abc ? ac2 ? , 2 由? 得N( 2 ) a ? 2bc ? c 2 a ? 2bc ? c 2 ? y ? ? a ( x ? c) ? c ? a 2b ? b 2 c abc ? ab2 , 2 同理可得 M ( 2 ) a ? 2bc ? b 2 a ? 2bc ? b 2 a(b 2 ? c 2 )(a 2 ? bc) ab ? ac ∴k MN ? ?? 2 2 2 (c ? b)(a ? bc)(a ? 3bc) a ? 3bc ∵ OH ·MN =-1,∴ k k OH⊥ MN.
例 2. ?DEF 的外接圆为△ABC 九点圆,圆心为 OH 的中点 ? ,因为 A, B, D, E 四点共圆, 所以 MD ? ME ? MB ? MA ,所以 M 对圆 O 的幂等于 M 对圆 ? 的幂,故点 M 在圆 O 和圆 ? 的根轴上,同理,点 N 在圆 O 和圆 ? 的根轴上,所以 MN 是圆 O 和圆 ?
6

的根轴。所以 OH⊥MN

例 3. 分析:这里用三角法.设△ABC 外接圆 半径为 1,三个内角记为 A,B, C. 易知 d 外=OO1+OO2+OO3 =cosA+cosB+cosC, ∴ 外=2(cosA+cosB+cosC). 2d ① ∵ 1=sinB· AH AB=sinB· (2sinC)=2sinB· sinC, 同样可得 BH2· 3. CH ∴ 重=△ABC 三条高的和 3d =2· (sinB· sinC+sinC· sinA+sinA· sinB) ② BH ∴ =2, sin ?BCH ∴ 1=cosC· HH BH=2· cosB· cosC. 同样可得 HH2,HH3. ∴ 垂=HH1+HH2+HH3 d =2(cosB· cosC+cosC· cosA+cosA· cosB) ③ 欲证结论,观察① 、② 、③ , 须 证 (cosB· cosC+cosC· cosA+cosA· cosB)+( cosC)=sinB· sinC+sinC· sinA+sinA· sinB.即可.

A H3 G3 O3 O I B O1 G 1 H1 C G

O2 G2 H2

cosA+

cosB+

例 4. 分析:只须证明 AA1=BB1=CC1 即可.设 BC=a, CA=b,AB=c,△ABC 外 接圆半径为 R,⊙ 的半径为 r. H 连 HA1,AH 交 EF 于 M. B2 A A A12 =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 H2 M E A1 F =r2+(AM2-MH2), ① H 1 1 B 又 AM2-HM2=( AH1)2-(AH- AH1)2 H1 2 2 D 2 2 =AH· 1-AH =AH2· AH AB-AH 2 C2 =cosA· bc-AH , ② B1 AH 而 =2R ? AH2=4R2cos2A, sin ?ABH a =2R ? a2=4R2sin2A. sin A ∴ 2+a2=4R2,AH2=4R2-a2. AH ③ 由① 、② 、③ 有 2 b ? c2 ? a2 1 A A12 =r2+ · bc-(4R2-a2)= (a2+b2+c2)-4R2+r2. 2bc 2 1 2 2 2 1 同理, BB12 = (a +b +c )-4R2+r2, CC12 = (a2+b2+c2)-4R2+r2. 2 2 故有 AA1=BB1=CC1. 例 4. AA12 ? AM 2 ? A1M 2 ? A1H 2 ? MH 2 ,

C1 A2 C

AA12 ? R2 ? AM 2 ? MH 2 ? ( AM ? MH )( AM ? MH ) ? ( AM ? MH )(MH1 ? MH ) ? AH ? HH1
7

同理, BB12 ? R2 ? BH ? HH2 , CC12 ? R2 ? CH ? HH3 易证明 AH ? HH1 ? BH ? HH2 ? CH ? HH3 ,得证 1. 设 BE ? AC 于 E , CD ? AB 于 D ,则 H 的轨迹为线段 DE 3. 分析:辅助线如图所示,作∠ DAO 平分线交 BC 于 K. 易证△AID≌ AIB≌ EIB, △ △ D A ∠ AID=∠ AIB=∠ EIB. 30 ° C O K 1 I F E 利用内心张角公式,有∠ AIB=90° ∠ + C=105° , 2 B ∴ DIE=360° ∠ -105° 3=45° × . 1 1 ∵ AKB=30° ∠ ∠ + DAO=30° (∠ + BAC-∠ BAO) 2 2 1 1 =30° (∠ + BAC-60° )= ∠ BAC=∠ BAI=∠ BEI. 2 2 ∴ AK∥ IE. 由等腰△AOD 可知 DO 丄 AK, ∴ 丄 IE,即 DF 是△DIE 的一条高. DO 同理 EO 是△DIE 之垂心,OI 丄 DE. 由∠ DIE=∠ IDO,易知 OI=DE. 4. 分析:连接 AC,CE,EA,由已知可证 AD,CF,EB 是△ACE 的三条内角平 分线,I 为△ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE, IF=EF=FA,IB=AB=BC. 再由△BDF,易证 BP,DQ,FS 是它的三条高,I 是它的垂心,利用不等 .. 式有: Erdos A BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明 IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS. F B Q ∴ BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴ AB+BC+CD+DE+EF+FA I P E S =2(BI+DI+FI) ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) C D =AD+BE+CF. I 就是一点两心. 5. 如图,在锐角△ABC 中,AB<AC,AD 是边 A BC 上的高, 是线段 AD 内一点。 P 作 PE⊥AC, P 过 E 垂足为 E,作 PF⊥AB,垂足为 F。O1、O2 分别 F P 是△BDF、△CDE 的外心。求证:O1、O2、E、 F 四点共圆的充要条件为 P 是△ABC 的垂心。 O2 证明:连结 BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因 O1 为 PD⊥BC,PF⊥AB,故 B、D、P、F 四点共圆, D B' C B 且 BP 为该圆的直径。 又因为 O1 是△BDF 的外心, 故 O1 在 BP 上且是 BP 的中点。同理可证 C、D、P、E 四点共圆,且 O2 是的 CP 中点。 综合以上知 O1O2∥BC, 所以∠PO2O1=∠PCB。 因为 AF· AB=AP· AD=AE· AC, 所以 B、C、E、F 四点共圆。 充分性:设 P 是△ABC 的垂心,由于 PE⊥AC,PF⊥AB,所以 B、O1、P、E 四 点共线,C、O2、P、F 四点共线,∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1,故 O1、 O2、E、F 四点共圆。
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必要性:设 O1、O2、E、F 四点共圆,故∠O1O2E+∠EFO1=180° 。 由于∠PO2O1=∠PCB=∠ACB?∠ACP,又因为 O2 是直角△CEP 的斜边中点,也 就是△CEP 的外心,所以∠PO2E=2∠ACP。因为 O1 是直角△BFP 的斜边中点, 也就是△BFP 的外心,从而∠PFO1=90°?∠BFO1=90°?∠ABP。因为 B、C、E、 F 四点共圆,所以∠AFE=∠ACB,∠PFE=90°?∠ACB。于是,由∠O1O2E+∠ EFO1=180° 得 (∠ACB?∠ACP)+2∠ACP+(90°?∠ABP)+(90°?∠ACB)=180° ,即∠ABP=∠ACP。 又因为 AB<AC,AD⊥BC,故 BD<CD。设 B'是点 B 关于直线 AD 的对称点,则 B'在线段 DC 上且 B'D=BD。连结 AB'、PB'。由对称性,有∠AB'P=∠ABP,从而 ∠AB'P=∠ACP,所以 A、P、B'、C 四点共圆。由此可知∠PB'B=∠CAP=90°?∠ ACB。因为∠PBC=∠PB'B, 故∠PBC+∠ACB=(90°?∠ACB)+∠ACB=90° ,故直线 BP 和 AC 垂直。由题设 P 在边 BC 的高上,所以 P 是△ABC 的垂心。

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