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2013西城一模数学理(精校版)


北京市西城区 2013 年高三一模试卷 高三数学(理科) 2013.4
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ?1 ? 0} ,那么 A ? ?U

B ?

(A) {x | 0 ? x ? 1}

(B) {x | 0 ? x ? 1}

(C) {x |1 ? x ? 2}

{ (D) x |1 ? x ? 2}

2.若复数

a?i 的实部与虚部相等,则实数 a ? 2i
(B) 1 (C) ?2 (D) 2

(A) ?1

3.执行如图所示的程序框图.若输出 y ? ? 3 ,则输入 角? ? (A)

π 6 π 6

(B) ? (C)

π 3 π 3

(D) ?

4.从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A , B , C , D 四项不同的工作,每人承担 一项.若甲、乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有 (A) 60 种 (B) 72 种 (C) 84 种 (D) 96 种

5.某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视 图是边长为 2 的正方形,该正三棱柱的表面积是 (A) 6 ? 3 (B) 12 ? 3 (C) 12 ? 2 3 (D) 24 ? 2 3

6.等比数列 {an } 中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a3 ”是“ a3 ? a6 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7.已知函数 f ( x) ? log2 x ? 2log2 ( x ? c) ,其中 c ? 0 .若对于任意的 x ? ( 0, ? ? ) ,都有

f ( x) ? 1 ,则 c 的取值范围是
(A) (0, ]

1 4

(B) [ , ??)

1 4

(C) (0, ]

1 8

(D) [ , ??)

1 8

8.如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, P 为底面 ABCD 1 上的动点, PE ? AC 于 E ,且 PA ? PE ,则点 P 的 1 轨迹是

(A)线段 (C)椭圆的一部分

(B)圆弧 (D)抛物线的一部分

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知曲线 C 的参数方程为 ? 为 .

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,则曲线 C 的直角坐标方程 ? y ? 1 ? 2sin ?

10.设等差数列 {an } 的公差不为 0 ,其前 n 项和是 Sn .若 S2 ? S3 ,Sk ? 0 ,则 k ? ______.

11.如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1 ,则 AC ? DB ? ______.

??? ??? ? ?

12.如图,已知 AB 是圆 O 的直径, P 在 AB 的延长线上, PC 切圆 O 于点 C , CD ? OP 于 D .若 CD ? 6 , CP ? 10 , 则圆 O 的半径长为______; BP ? ______.

13.在直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(? 1, 0)关于原点 O 对称.点 P( x0 , y0 ) 在抛物线

y 2 ? 4x 上,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 2 ,则 x0 ? ______.

14.记实数 x1 , x2 ,?, xn 中的最大数为 max{x1 , x2 ,?, xn } ,最小数为 min{x1 , x2 ,?, xn } .设 △ ABC 的 三 边 边 长 分 别 为 a, b, c , 且 a ? b ? c , 定 义 △ ABC 的 倾 斜 度 为

a b c a t ? max{ , , } ? min{ , b c a b b c , }. c a
(ⅰ)若△ ABC 为等腰三角形,则 t ? ______; (ⅱ)设 a ? 1 ,则 t 的取值范围是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ )求实数 a 的值; (Ⅱ )设 g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间.

π . 4

16. (本小题满分 13 分) 某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名同学进行 学业检测. (Ⅰ)求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率; (Ⅱ)记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形, AB // CD ,

AB ? 2 BC ,

?ABC ? 60? , AC ? FB .
(Ⅰ )求证: AC ? 平面 FBC ;

(Ⅱ )求 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 ED 上是否存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC ? 证明你的结论.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? eax ? 3x ,其中 a ? R . (Ⅰ)求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f (x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范 围.

19. (本小题满分 14 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A , B 两 a 2 b2
?

点.当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为 60 . (Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点.记△

GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为 S2 ,求

S1 的取值范围. S2

20. (本小题满分 13 分) 已知集合 Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,?, xn ), xi ? N , i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) .
*





A ? (a1 , a2 ,?, an )



B ? (b1, b2 ,?, bn ) ? Sn







??? ? AB ? (b1 ? a1, b2 ? a2 ,?, bn ? an ) ;

? (a1, a2 ,?, an ) ? (?a1, ?a2 ,?, ?an ) (? ?R) ; A 与 B
d ( A, B) ? ? | ai ? bi | .
i ?1 n

之 间 的 距 离 为

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2, a5 ) , B ? (2, 4, 2,1,3) .若 d ( A, B) ? 7 ,求 a5 ; ( Ⅱ )( ⅰ ) 证 明 : 若 A, B, C ? Sn , 且 ?? ? 0 , 使 A B ? B C 则 , ?

? ? ??

? ? ??

d ( A, B) d ( B, C ) d (; , C ) ? ? A (ⅱ)设 A, B, C ? Sn ,且 d ( A, B) ? d ( B, C )? d ( A, C ) .是否一定 ?? ? 0 ,使 ??? ? ???? AB ? ? BC ?
说明理由; (Ⅲ)记 I ? (1,1,?,1) ? Sn .若 A , B ? Sn ,且 d (I , A) ? d (I , B) ? p ,求 d ( A, B) 的 最大值.

北京市西城区 2013 年高三一模试卷 高三数学(理科)参考答案及评分标准 2013.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. B; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.D; 8.A.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 ;
2 2

10. 5 ;

3 11. 2 ?

15 12. 2 , 5 ;

13. 1 ? 2 ;

14.1 ,

[1,

1? 5 ) 2 .

注:12、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分. 15. (本小题满分 13 分)

π f( )?0 (Ⅰ) 依题意, 解: 得 4 ,

??????

1分

sin
即 分 解得 a ? 1 . 分

π π 2 2a ? a cos ? ? ?0 4 4 2 2 ,

??????3

??????5

(Ⅱ) 由 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x ? cos x . 得 6分

??????

g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x
? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3sin 2x ? (cos2 x ? sin2 x) ? 3sin 2x
分 ??????7 分 ??????8

? cos 2x ? 3sin 2x
π ? 2sin(2 x ? ) 6 . 2kπ ?


??????9 分

??????10 分

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? 2 6 2,

kπ ?
得 分

π π ? x ? kπ ? 3 6 , k ?Z .

??????12

π π [ kπ ? , kπ ? ] 3 6 , k ?Z . 所以 g ( x) 的单调递增区间为
分 16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ) 依题意, 乙两组的学生人数之比为 (3 ? 5) : (2 ? 2) ? 2 :1 , 解: 甲、 1分

??????13

?????

2 1 ?3 ? 2 ?3 ?1 所以,从甲组抽取的学生人数为 3 ;从乙组抽取的学生人数为 3 .???2 分
设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A , 分 ??????3

C1 ? C1 15 P( A) ? 3 2 5 ? C8 28 , 则
15 故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 28 .
分 ( Ⅱ ) 解 : 随 机 变 量

??????5

X













0

, . 1

,

2

,

3

??????6 分
2 C1 ? C1 ? C1 C5 ? C1 25 3 5 2 2 P( X ? 1) ? ? 2 1 ? 2 C8 ? C1 C8 ? C4 56 , 4 2 C3 ? C1 3 2 ? 2 1 C8 ? C4 56 .?????10 分

2 C5 ? C1 5 2 P( X ? 0) ? 2 1 ? C8 ? C4 28 , 2 C3 ? C1 C1 ? C1 ? C1 9 2 ? 3 2 5 1 2? 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 28 ,

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

所以,随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

P

5 28

25 56

9 28

3 56
??????

11 分

EX ? 0 ?


5 25 9 3 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 28 56 28 56 4 .

??????13

17. (本小题满分 14 分)
? (Ⅰ)证明:因为 AB ? 2 BC , ?ABC ? 60 ,

在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC , 所以 AC ? BC . 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC . ??????4 分 ??????2 分

(Ⅱ)解:因为 AC ? 平面 FBC ,所以 AC ? FC . 因为 CD ? FC ,所以 FC ? 平面 ABCD . ??????5 分

所以 CA, CF , CB 两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系 C ? xyz . ??????6 分 在等腰梯形 ABCD 中,可得 CB ? CD .

设 BC ? 1 ,所以

C (0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0), D(

3 1 3 1 , ? ,0), E( , ? ,1) 2 2 2 2 .

3 1 ,? ,1) 2 2 , CA ? ( 3,0,0) , CB ? (0,1,0) . 所以 ??? ? ?n ? CE ? 0, ? ? ? ??? ? EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ?n ? CA ? 0. 设平面 CE ? (
? 3 1 x ? y ? z ? 0, ? 2 ? 2 ? 3x ? 0. 所以 ?


取 z ? 1 ,得 n ? (0, 2,1) .

??????8

??? ? ??? ? | CB ? n | 2 5 ? sin ? ? | cos?CB, n? | ? ??? ? 5 , | CB || n | BC 与平面 EAC 所成的角为 ? ,则 设
2 5 所以 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值为 5 .
分 (Ⅲ) 线段 ED 上不存在点 Q , 解: 使平面 EAC ? 平面 QBC . 证明如下: 10 分 ??????

??????9

3 1 3 1 ,? , t ) CQ ? ( ,? , t ) (0 ? t ? 1) ,所以 2 2 2 2 . ??? ? ? m ? CB ? 0, ? ? ? ??? QBC 的法向量为 m ? (a, b, c) ,则有 ? m ? CQ ? 0. ? 设平面
假设线段 ED 上存在点 Q ,设

Q(

?b ? 0, ? ? 3 1 ? a ? b ? tc ? 0. 2 所以 ? 2


取 c ? 1 ,得 m ?

(?

2 t ,0,1) 3 .

??????12

要使平面 EAC ? 平面 QBC ,只需 m ? n ? 0 ,

??????13 分

?


2 t ? 0 ? 0 ? 2 ? 1? 1 ? 0 3 , 此方程无解.

所以线段 ED 上不存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC .

??????14 分

18.(本小题满分 13 分) ( Ⅰ ) 解 :

f ( x)











(0, ??) ,
f ?( x) ? a ?


??????1 分

1 ax ? 1 ? x x .

??????2 分

? ① 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减.
从 值. 而

f (x)























??????3 分

? ② 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0 ,得

x?

1 a.

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) a
?

1 a
0

1 ( , ? ?) a

?




故 f ( x ) 的单调减区间为

1 1 (0, ) ( , ? ?) a ;单调增区间为 a .

从而 f (x) 的极小值为 分

1 f ( ) ? 1 ? ln a a ;没有极大值.

??????5

? (Ⅱ) g ( x) 的定义域为 R , g ( x) ? ae ? 3 . 解: 且
ax

??????

6分

? ③ 当 a ? 0 时,显然 g ( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 R 上单调递增.
1 ( , ? ?) f ( x) 在 a 由 (Ⅰ) 此时 得, 上单调递增, 符合题意.
8分

??????

g ④ 当 a ? 0 时, ( x) 在 R 上单调递增,f ( x ) 在 (0, ? ?) 上单调递减, 不合题意. ??
9分

? ⑤ 当 a ? 0 时,令 g ( x) ? 0 ,得

x0 ?

1 3 ln(? ) a a .

g ( x) 和 g ?( x ) 的情况如下表:
x
g ?( x) g ( x)

(??, x0 )
?

x0
0

( x0 , ? ?)

?




当 ?3 ? a ? 0 时, 调 意. 当 a ? ?3 时, 递

x0 ? 0 ,此时 g ( x) 在 ( x0 , ? ?) 上单调递增,由于 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单
减 , 不 合 ??????11 分 题

x0 ? 0 ,此时 g ( x) 在 (??, x0 ) 上单调递减,由于 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递

减,符合题意. 综上, a 的取值范围是 (??, ?3) ? (0, ??) . 分 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) 依题意, 解: 当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, b) 时, 其倾斜角为 60 . 1分 设 F (?c, 0) ,
?

??????13

??????

b ? tan 60? ? 3 则 c .

2 2 2 将 b ? 3c 代入 a ? b ? c ,

??????2

解得 a ? 2c . 分

??????3

e?
所以椭圆的离心率为

c 1 ? a 2.

??????4 分

x2 y2 ? 2 ?1 2 3c (Ⅱ) 由 解: (Ⅰ) 椭圆的方程可设为 4c , .

??????

5分 设

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

依题意,直线 AB 不能与 x, y 轴垂直,故设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,将其代入

3x2 ? 4 y2 ? 12c2









(4k 2 ? 3) x2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c2 ?12c2 ? 0 .
x1 ? x2 ?

??????7 分

则 分

6ck ?8ck 2 ?4ck 2 3ck y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 G( 2 , 2 ) 2 4 k ? 3 , 4k ? 3 4 k ? 3 . 4k ? 3 ,
??????8

因为 GD ? AB ,

3ck 4k 2 ? 3 ? k ? ?1 ?ck 2 ?4ck 2 xD ? 2 ? xD 2 4k ? 3 . 所以 4k ? 3 ,
分 因为 △ GFD ∽△ OED ,

??????9

?4ck 2 ?ck 2 2 3ck ? 2 ) ? ( 2 )2 2 S1 | GD | 4k ? 3 ? ? 4k ? 3 4 k ? 3 2 2 ?ck 2 S2 | OD | ( 2 ) 4k ? 3 所以
2

(

??????11



?

(3ck 2 )2 ? (3ck )2 9c 2 k 4 ? 9c 2 k 2 9 ? ? 9? 2 ? 9 2 2 2 4 (ck ) ck k .

??????13 分

S1 S 所以 2 的取值范围是 (9, ??) .
20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 n ? 5 时,由 得 由

??????14 分

d ( A, B) ? ? | ai ? bi | ? 7
i ?1

5



|1 ? 2 | ? | 2 ? 4 | ? |1 ? 2 | ? | 2 ?1| ? | a5 ? 3| ? 7 ,即 | a5 ? 3| ? 2 .

a5 ?N* ,得 a5 ? 1 ,或 a5 ? 5 .

??????3 分

(Ⅱ) (ⅰ)证明:设

A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) , C ? (c1 , c2 ,?, cn ) .
??? ?

因为 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ,

??? ?

(b ? a1 , b2 ? a2 ,?,bn ? an ) ? ? ((c1 ? b1, c2 ? b2 ,?,cn ? bn ) , 所以 ?? ? 0 ,使得 1 b ? ai ? ? (ci ? bi ) ,其中 i ? 1, 2,?, n . 即 ?? ? 0 ,使得 i
所以 分

bi ? ai 与 ci ? bi (i ? 1, 2,?, n) 同为非负数或同为负数.

??????5

所以
n

d ( A, B) ? d ( B, C ) ? ?| ai ? bi | ??| bi ? ci |
i ?1 i ?1

n

n

? ? (| bi ? ai | ? | ci ? bi |)
i ?1

? ? | ci ? ai | ? d ( A, C )
i ?1

n



??????6 分

(ⅱ)解:设

A, B, C ? Sn ,且 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ,此时不一定 ?? ? 0 ,使得
????

??? ? ??? ? AB ? ? BC .
??7 分 反例如下:取 A ? (1,1,1,?,1) , B ? (1, 2,1,1,?,1) , C (2, 2, 2,1,1,?,1) ,

则 d ( A, B) ? 1 , d ( B, C ) ? 2 , d ( A, C ) ? 3 ,显然 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) . 因为 AB ? (0,1,0,0,?,0) , BC ? (1,0,1,0,0,?,0) , 所以不存在 ? ? ? ,使得 AB ? ? BC . 分

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??????8

(Ⅲ)解法一:因为 设 时

d ( A, B) ? ? | bi ? ai |
i ?1

n



bi ? ai (i ? 1, 2,?, n) 中有 m (m ? n) 项为非负数, n ? m 项为负数.不妨设 i ? 1, 2,?, m

bi ? ai ? 0 ; i ? m ? 1, m ? 2,?, n 时, bi ? ai ? 0 .

所以

d ( A, B) ? ? | bi ? ai |
i ?1

n

? [ ( 1 ? b2 ? ?m ) ?(a ?a ? b ? b ? 1 2
因为 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,

m

? ) ] ?m( 1 a [? a

? m

? 2?? a

n

?) a

?m 1

(b ?

?m

b2? ? ?

n

b) ] ?

所以

? (ai ?1) ? ? (bi ?1)
i ?1 i ?1

n

n

, 整理得

? ai ? ? bi
i ?1 i ?1

n

n



所以 因为

d ( A, B) ? ? | bi ? ai |? 2[b1 ? b2 ? ? ? bm ? (a1 ? a2 ? ? ? am )]
i ?1

n

. ?????10 分

b1 ? b2 ? ?? bm ? (b1 ? b2 ? ?? bn ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? bn )
? ( p ? n) ? (n ? m) ?1 ? p ? m ;



a1 ? a2 ? ?? am ? m ?1 ? m , d ( A, B) ? 2[b1 ? b2 ? ?? bm ? (a1 ? a2 ? ?? am )]
? 2[( p ? m) ? m] ? 2 p .

所以



d ( A, B) ? 2 p .
A ? (1,1,?,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,?,1) , 有

?????12 分

对 于

A , B ? Sn , 且

d ( I , A) ?

d ( ?, , I B)

p

d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p . 解法二:首先证明如下引理:设 x, y ? R ,则有 | x ? y | ? | x | ? | y | . 证明:因为 ? | x | ? x ? | x | , ? | y | ? y ? | y | , 所以 ? (| x | ? | y |) ? x ? y ? | x | ? | y | , 即 | x ? y | ?| x | ? | y | . ?????13 分

所以

d ( A, B) ? ? | bi ? ai | ? ? | (bi ? 1) ? (1 ? ai ) |
i ?1 i ?1

n

n

? ? (| bi ? 1| ? |1 ? ai |)
i ?1

n

? ? | ai ? 1| ? ? | bi ? 1| ? 2 p
i ?1 i ?1

n

n



?????11 分 ?????

上式等号成立的条件为 12 分 对 于

ai ? 1 , bi ? 1 , d ( A, B) ? 2 p . 或 所以

A ? (1,1,?,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,?,1) , 有

A , B ? Sn , 且

d ( I , A) ?

d ( ?, , I B)

p

d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p . ?????13 分


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