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35a数学分析大二第一学期考题


数学分析(III)试题答案 一 叙述题(每小题 10 分,共 30 分) 1 含参变量反常积分



+∞

a

f ( x, y )dx 关于 y 在 [c, d ] 上一致收敛的充要条件为: 对于任意

给定的 ε > 0 , 存在与 y 无关的正数 A0 , 使得对

于任意的 A′, A > A0 ,


2

A′

A

f ( x, y )dx < ε , y ∈ [c, d ] 成立。
Green 公式:设 D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如

果函数 P ( x, y ), Q( x, y ) 在 D 上具有连续偏导数,那么

?D

∫ Pdx + Qdy = ∫ ( ?x ? ?x )dxdy ,
D

?Q

?P

其中 ?D 取正向,即诱导正向。 Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。 3.设 ? 为 R 上的零边界区域,函数 u = f ( x) 在 ? 上有界。将 ? 用曲面网分成 n 个
n

,记 ?Vi 为 ?? i 的体积,并记所有的 小区域 ??1 , ?? 2 ,..., ?? n (称为 ? 的一个分划) 小区域 ?? i 的最大直径为 λ 。在每个 ?? i 上任取一点 xi ,若 λ 趋于零时,和式

I = ∑ f ( xi )?Vi
i =1

n

的极限存在且与区域的分法和点 xi 的取法无关,则称 f ( x) 在 ? 上可积,并称此极限为

f ( x) 在有界闭区域 ? 上的 n 重积分,记为
I = ∫ fdV = lim∑ f ( Pi )?Vi 。
? n

λ →0

i =1

二 计算题(每小题 10 分,共 50 分) 1 解 令l : x =

3 1 cos t , y = sin t , 则 3 2

I =∫
2

2π 3 3 xdy ? ydx xdy ? ydx (cos 2 t + sin 2 t )dt = =∫ 2 =∫ π. 2 2 2 0 6 3 3 4 3 4 x + y x + y C l

解 令 u = xz, v = z ? y, 则

?u ?z ?v ?z ?u ?z ?v ?z = z+x , = , =x , = ? 1. ?x ?x ?x ?x ?y ?y ?y ?y

?z ?f ?u ?f ?v ?z ?f ?u ?f ?v = + , = + . ?x ?u ?x ?v ?x ?y ?u ?y ?v ?y


? 2 z ?f ? 2 u ? 2 f = + ?x 2 ?u ?x 2 ?u 2 ? 2 z ?f ? 2 u ? 2 f = + ?y 2 ?u ?y 2 ?u 2 ? 2 z ?f ? 2 u ? 2 f = + ?x?y ?u ?x?y ?u 2


?f ? 2 v ? 2 f ? ?u ? + ? ? + ?v ?x 2 ?v 2 ? ?x ? ? ?u ? ?f ? 2 v ? 2 f ? ? + + ? ?y ? ?v ?y 2 ?v 2 ? ?
2

2

? ?v ? ? ? , ? ?x ? ? ?v ? ? ? ?y ? ? , ? ? ? ?v ?? ?v ? ? ?? ? ? ?, ? ?x ?? ?y ?
2

2

2 2 ? ?u ?? ?u ? ?f ? v ? f ? + + ? ?? 2 ? ? ? ?x ?? ?y ? ?v ?x?y ?v

? 2 z ?f ? 2 u ? 2 f = + ?x 2 ?u ?x 2 ?u 2 =

?f ? 2 v ? 2 f ? ?u ? + ? ? + ?v ?x 2 ?v 2 ? ?x ?
2

2

? ?v ? ? ? ? ?x ?

2

?f ? ?z ?2z ? ?2 f ?+ 2 ? 2 x + 2 ? x ?u ? ? x ? ? ?u ?

?z ? ?f ? ? 2 z ? ? 2 f ? ?z ? ? ? 2? z x + + ? ? ? + ?v 2 ? ?x ? . ?x ? ?v ? x ? ? ? ? ? ?
2

2

? 2 z ?f ? 2 u ? 2 f = + ?y 2 ?u ?y 2 ?u 2

? ?u ? ?f ? 2 v ? 2 f ? ? + + ? ?y ? ?v ?y 2 ?v 2 ? ?
2

? ?v ? ? ? ?y ? ? ? ?

2

?f ? ? 2 z ? ? 2 f ?x 2 ? = ?+ 2 ?u ? ? ?y ? ?u

? ?z ? ?f ? 2 z ? 2 f ? ? x + + ? ?y ? ?v ?y 2 ?v 2 ? ?

? ?z ? ? ? ?y ? 1? ? . ? ?

2

? 2 z ?f ? 2 u ? 2 f ? ?u ?? ?u ? ?f ? 2 v ? 2 f ? ?v ?? ?v ? = + + 2 ? ?? ? ?? ? ?+ ? ? ? ?x?y ?u ?x?y ?u 2 ? ?x ?? ? ?y ? ?v ?x?y ?v ? ?x ?? ?y ? = + ?f ? ?z ?2z ? ?2 f ? ? + x ? + ?u 2 ?u ? ? y ? x ? y ? ? ?z ?? ?z ? ?f ? 2 z ? + z x ? ?? x ? ? + ?x ?? ? ? ?y ? ?v ?x?y

? 2 f ?z ? ?z ? ? ? 1? ?. ?v 2 ?x ? ? ?y ?

3 解 由于对称性,只需求出椭球在第一卦限的体积,然后再乘以 8 即可。 作广义极坐标变换

x = ar cosθ , y = br sin θ ( a > 0, b > 0, 0 < r < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π ) 。
这时椭球面化为

z = c 1?[


(ar cosθ ) 2 (br sin θ ) 2 + ] = c 1? r2 。 2 2 a b
xθ yθ a cosθ b sin θ ? ar sin θ br cosθ

D ( x, y ) x r = D ( r ,θ ) y r

=

= abr ,

于是

1 D ( x, y ) V = ∫∫ z ( x, y )dσ xy = ∫∫ z (r ,θ ) drdθ 8 D ( r ,θ ) σ xy σ xy = ∫ 2 dθ ∫ c 1 ? r 2 ? abrdr =
0 0

π

1

π
2

abc ∫ r 1 ? r 2 dr
0

1

=

π
2

abc ∫ (?
0

1

1 1 ? r 2 )d (1 ? r 2 ) 2
3

1 π 2 π = ? ? abc[ (1 ? r 2 ) 2 1 abc 。 0] = 2 2 3 6
所以椭球体积

4 V = πabc 。 3
4 解 l 的方程为: x + y = 1, x ≥ 0 。由 y ′ = ?
2 2

x , y

ds = ± 1 + y 2 dx = ±

x2 + y2 dx dx = ± 2 y y

符号的选取应保证 ds ≥ 0 ,在圆弧段 AC 上,由于 dx > 0 ,故

ds =

dx y

而在圆弧段 CB 上,由于 dx < 0 ,故

ds = ?

dx y

所以

I = ∫ y ds = ∫
l
1 0

AC

y?

? 1? dx ? + ∫ y ?? ? ? y ?dx CB y ? ?

= ∫ dx ? ∫ dx = 2 。
0 1

5

解 I (a) =



π

0

ln(1 ? 2a cos x + a 2 )dx 。当 a < 1 时,由于
1 ? 2a cos x + a 2 ≥ 1 ? 2 a + a 2 = (1 ? a ) 2 > 0 ,

故 ln(1 ? 2a cos x + a ) 为连续函数且具有连续导数,从而可在积分号下求导。
2

I ′(a) = ∫
=

π

0

? 2 cos x + 2a dx 1 ? 2a cos x + a 2
? a2 ?1 ? + 1 ? 1 ? 2a cos x + a 2 ? ? ? ?dx ?

1 π a ∫0

=

π
a

?

1? a2 a



π

0

dx (1 + a ) ? 2a cos x
2

=

π
a

?

1? a2 π a (1 + a 2 ) ∫0

dx ? ? 2a ? 1+ ? cos x 2 ? ?1+ a ?

= =

π
a

? ?

2 ?1+ a x ? π arctg ? tg ? 0 a ?1? a 2 ? 2 π ? = 0。 a 2

π
a

于是,当 a < 1 时, I ( a ) = C (常数) 。但是, I (0) = 0 ,故 C = 0 ,从而 I ( a ) = 0 。 三 讨论题(每小题 10 分,共 20 分) 1 解 设 a 0 为任一不为零的数,不妨设 a 0 > 0 。取 δ > 0 ,使 a 0 ? δ > 0 。下面证明

积分 I 在 ( a 0 ? δ , a 0 + δ ) 内一致收敛。事实上,当 a ∈ ( a 0 ? δ , a 0 + δ ) 时,由于

0<
且积分

a0 + δ a , < 2 2 1+ a x 1 + (a0 ? δ ) 2 x 2 a0 + δ dx 1 + (a 0 ? δ ) 2 x 2



+∞

0

收敛,故由 Weierstrass 判别法知积分


个 a ≠ 0 处一致收敛。

+∞

0

a dx 1+ a2x2

在 ( a 0 ? δ , a 0 + δ ) 内一致收敛,从而在 a 0 点一致收敛。由 a 0 的任意性知积分 I 在每一

下面说明积分 I 在 a = 0 非一致收敛。事实上,对原点的任何邻域 (?δ , δ ) 有:

?A > 0 ,有


由于

+∞

0

+ ∞ dt a dx = ∫ (a > 0) 。 2 2 aA 1+ a x 1+ t 2 + ∞ dt π dt = = , 2 2 ∫ 0 2 1+ t 1+ t

a → +0 aA

lim ∫

+∞

故取 0 < ε <

π
2

,在 ( ?δ , δ ) 中必存在某一个 a 0 > 0 ,使有

|∫

+∞

aA

dt |> ε , 1+ t2



|∫

+∞

a 0 dx 1 + a0 x 2
2

A

|> ε

因此,积分 I 在 a = 0 点的任何邻域 (?δ , δ ) 内非一致收敛,从而积分 I 在 a = 0 时非一 致收敛。 2.解 当 y ≠ 0 时,被积函数是连续的。因此, F ( y ) 为连续函数。 当 y = 0 时,显然有 F (0) = 0 。 当 y > 0 时,设 m 为 f ( x) 在 [0,1] 上的最小值,则 m > 0 。由于

F ( y) ≥ m∫


1

0

y 1 dx = m ? arctg 2 y x +y
2

y → +0

lim arctg

1 π = , y 2

故有

y → +0

lim F ( y ) ≥

mπ > 0。 2

所以, F ( y ) 当 y = 0 时不连续。


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