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广州一模文科数学:圆锥曲线


广州一模文科数学:圆锥曲线
(2009)19. (本小题满分 14 分) 设点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是抛物线 x2 ? 4 y 上不同的两点,且该抛物线在点 A 、 B 处的 两条切线相交于点 C ,并且满足 AC ? BC ? 0 . (1) 求证: x1 x2 ? ?4 ; (2) 判断抛物线 x2 ? 4 y 的准线与经过 A 、 B 、 C 三点的圆的位置关系,并说明理由.

??? ? ??? ?

(2010)19. (本小题满分14分) 已知动点 P 到定点 F

?

2, 0 的距离与点 P 到定直线 l : x ? 2 2 的距离之比为

?

2 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

N 是直线 l 上的两个点, (2) 设M 、 点 E 与点 F 关于原点 O 对称, 若E MF N ?
的最小值.

?? ? ? ? ?

求 MN ? 0,

(2013)20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0) , F2 2,0 ,点 A(2,3) 在椭圆

?

?

C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的
切线分别为 l1,l2 , 且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程;

P ? 若存在, (2) 是否存在满足 PF 指出这样的点 P 有几个 (不 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

(2014)21. (本小题满分14分) 已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左,右焦点分别为 F1 , F2 ,离 a2 4

心率为

3 5 a2 ,点 P 是直线 x ? 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 3 5

???? ? ???? ? PF2 ? QF2 ? 0 .
(1)求实数 a 的值; ( 2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M , N , 在线段 MN 上取异于点 M , N 的点 H ,满足 条定直线上.

PM MH ,证明点 H 恒在一 ? PN HN

20. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,已知点 P(1, ?1) ,过点 P 作抛物线 T0 : y ? x2 的切线,其切点分 别为 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 ) . (Ⅰ)求 x1 与 x2 的值; (Ⅱ)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 MN 相切,求圆 E 的面积; (Ⅲ)过原点 O (0, 0) 作圆 E 的两条互相垂直的弦 AC, BD ,求四边形 ABCD 面积的最 大值.

20. (本题满分 14 分) 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上任一点 P 到两个焦点的距离的和为 6,焦距为 4 2 , a 2 b2

A, B 分别是椭圆的左右顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k2 ,证明: k1 ? k2 为定 值;

x,y0 ( ) (Ⅲ) 设 C(

x ?a )?

D 为 C 关于 y 轴的对称点, 为椭圆上一动点, 四边形 ABCD

S 2 ( x) 的面积为 S ( x) ,设 f ( x) ? ,求函数 f ( x ) 的最大值. x?3


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