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2011届新课标人教版高中第一轮总复习理科数学课件:第72讲圆的方程


新课标高中一轮 总复习

理数

第72讲 72讲 圆的方程

1.圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心、半径分别 ( D ) 圆 的圆心、 的圆心 A.(1,-2),4 , C.(-1,2),4 , B.(1,-2),2 , D.(-1,2),2 ,

2.方程 2+y2+2kx+4y+3k

+8=0表示圆,则k的取 方程x 表示圆, 的取 方程 表示圆 值范围是( 值范围是 A ) A.k>4或k<-1 或 C.k=4或k=-1 或 B.-1<k<4 D.以上答案都不对 以上答案都不对

由已知, 由已知,4k2+16-4(3k+8)>0,即k2-3k, 4>0,所以 ,所以k<-1或k>4,故选 或 ,故选A.

3.过点 过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线 且圆心在直线x+y-2=0上 过点 、 且圆心在直线 上 (x-1)2+(y-1)2=4 的圆的方程是______________. 的圆的方程是 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 设圆的方程为 a=1 (1-a)2+(-1-b)2=r2 则 (-1-a)2+(1-b)2=r2 ,解得 b=1 解得 a+b-2=0 故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 故圆的方程为 r=2

4.已知 已知P(x,y)是圆 2+y2-2y=0上一动点,则 是圆x 上一动点, 已知 是圆 上一动点 u=2x+y的取值范围是 [1 ? 5,1 + 5] 的取值范围是___________. 的取值范围是 由已知得圆的标准方程为x 由已知得圆的标准方程为 2+(y-1)2=1, x=cosθ 其参数方程是 (θ为参数 , 为参数), 为参数 y=1+sinθ 则u=2cosθ+1+sinθ= tanφ=2, 从而1- 5 ≤u≤ 从而 +1. 5 sin(θ+φ)+1,其中 其中 5

5. 已 知 点 P ( 2 , 1 ) 在 圆 C : x2+y2+ax2y+b=0上 , 点 P关于直线 关于直线x+y-1=0的对称 上 关于直线 的对称 点也在圆C上 点也在圆 上,则a=___ ,b=___. 0 -3

(方法一)因为点P(2,1)关于 方法一)因为点 ( , ) x+y-1=0的对称点为 的对称点为P′(0,-1), 的对称点为 , b=-3 1+2+b=0 a 方法二)由已知,圆心( 在直线x+y(方法二)由已知,圆心(? ,1)在直线 在直线 2 1=0上, 上 a=0 4+1+2a?2+b=0 ,解得 故有 a 解得 b=-3 ? +1?1=0
2

所以

4+1+2a-2+b=0 ,解得

a=0

.

1.圆的标准方程为① _____________,其中圆 圆的标准方程为① x-a)2+(y-b)2=r2 其中圆 圆的标准方程为 ( 心为(a,b),半径为 >0).特别地,圆心在圆 半径为r(r> 特别地 特别地, 心为 半径为 半径为r的圆的方程为 的圆的方程为x 点,半径为 的圆的方程为 2+y2=r2. 2.圆的一般方程为 2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2圆的一般方程为x 圆的一般方程为
1 D E ,半径 ③__ 4F>0),圆心为② ( ? , ? ) 半径 圆心为② 半径r=③ 2 > 圆心为 2 2

>0.

注意: 注意: (1)当D2+E2-4F④__0时,表示圆; 当 表示圆; ④ > 时 表示圆 (2)当D2+E2-4F⑤__ 0时,表示一个点 当 ⑤ = 时 表示一个点( < 3.圆的参数方程为 圆的参数方程为 x=a+rcosθ
2 (3)当D2+E2-4F⑥__0时,不表示任何图形 当 ⑥ 时 不表示任何图形. ?

, ? E ); D
2

y=b+rsinθ (a,b)为圆心的坐标,半径 >0. 为圆心的坐标, 为圆心的坐标 半径r>

,其中 为参数, 其中θ为参数 其中 为参数,

典例精讲

题型一 根据条件求圆的方程

已知圆C满足 满足: 轴所得的弦长为2;② 轴所得的弦长为 例1已知圆 满足:①截x轴所得的弦长为 ② 轴分成两段圆弧, 被x轴分成两段圆弧,其圆弧长的比为 ∶1;③ 轴分成两段圆弧 其圆弧长的比为3∶ ③ 圆心C到直线 到直线l:x-2y=0的距离为 ,求圆 的方程. 求圆C的方程 圆心C到直线l:x-2y=0的距离为 5,求圆C的方程. 从题目条件知圆心的位置, 分析从题目条件知圆心的位置,所以考虑利 用圆的标准方程求解, 用圆的标准方程求解,已知圆被 x轴截得的弦 长为2和圆弧之比为3 长为 2 和圆弧之比为 3∶1, 与交点连线的两半 径所成的圆心角之比应该为270 270° 90° 径所成的圆心角之比应该为270°、90°,借 助勾股定理和几何性质可得圆心坐标和半径. 助勾股定理和几何性质可得圆心坐标和半径.
5

设圆心C坐标为 设圆心 坐标为(x0,y0), 坐标为 圆与x轴的交点为 圆与 轴的交点为A,B,取 , 轴的交点为 AB中点为 ,因为被 轴分 中点为D,因为被x轴分 中点为 成两段圆弧, 成两段圆弧,圆弧长的比 为3∶1, ∶ 1 所以∠ 所以∠ACB= ×360°=90°, ° °
4

为直角三角形. 则△ACB为直角三角形 为直角三角形
1 所以|CD|= 所以 2

|AB|=1,CD⊥AB, ⊥

所以|y 所以 0|=|CD|=1,则y0=±1. 则 ± 又因为
x0 ? 2 y 0 12 + ( ? 2) 2 = 5 ? x0 ? 2 y 0 = 1 5
2 2

① .② ② ,

在△ACB中, = 中 r

AD + CD = 12 + 12 = 2

联立①②方程得|x 联立①②方程得 0+2|=1或|x0-2|=1, ①②方程得 或 解得x , 解得 0=1,或x0=-1,或x0=3,或x0=-3. 或 或 则圆心坐标为(-1,-1)、(1,1)、(3,1)、(-3,-1). 、 则圆心坐标为 、 、 故圆C的方程为 故圆 的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或 的方程为 或 (x+1)2+(y+1)2=2或(x-3)2+(y-1)2=2或 或 或 (x+3)2+(y+1)2=2.

点评 分探究已知条件所涉及的几
何性质并灵活运用, 何性质并灵活运用 , 既能准确获知 求解思路,又能简化解答过程. 求解思路,又能简化解答过程

已 知 方 程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0 变式1 (t∈R)表示的图形是圆 表示的图形是圆. ∈ 表示的图形是圆 (1)求t的取值范围; 求 的取值范围 的取值范围; (2)求其中面积最大的圆的方程; 求其中面积最大的圆的方程; 求其中面积最大的圆的方程 (3)若点 若点P(3,4t2)恒在所给圆内 求t的取值范围 恒在所给圆内,求 的取值范围 的取值范围. 若点 恒在所给圆内

分析根据圆的一般方程求解 化一般方 根据圆的一般方程求解.化一般方
程为标准方程,根据点在圆内的条件求t 程为标准方程,根据点在圆内的条件求 的取值范围. 的取值范围

(1)方程即 方程即(x-t-3)2+(y+1-4t2)2=(t+3)2+(1-4t2)2-16t4-9, 方程即 所以r 所以 2=-7t2+6t+1>0,所以 ? 1 <t<1. 所以
3 2 16 (2)因为 r = ?7t + 6t + 1 = ?7(t ? 7 ) + 7 因为 3 所以当t= 所以当 7 ∈( ? 1 ,1)时,rmax= 4 7 时 7 7
2

7

, ,

此时圆的面积最大, 此时圆的面积最大,所对应的圆的方程是 24 2 13 2 16 (x- ) +(y+ ) = .
7 49 7

(3) 当 且 仅 当 32+(4t2)2-2(t+3)·3+2(14t2)·4t2+16t4+9<0时,点P在圆内, 在圆内, 时 在圆内 所以8t 所以 2-6t<0,即0<t< 即
3 4

.

题型二 与圆有关的轨迹问题
是单位圆x 上一动点, 设 是单位圆 上一动点 例2 (1)设M(x1,y1)是单位圆 2+y2=1上一动点, 求动点P( 求动点 (2)动点在圆 2+y2=1上移动 , 求它与定点 动点在圆x 上移动, 动点在圆 上移动 求它与定点B 的轨迹方程. (3,0)连线的中点 的轨迹方程 , )连线的中点Q的轨迹方程 (1)设点 的坐标为 设点M的坐标为 为参数. 设点 的坐标为(cosθ,sinθ),θ为参数 为参数 由题意得x=cos2θ-sin2θ=cos2θ, ① 由题意得 y=sinθcosθ= 即为所求的轨迹方程. 由①2+②2,得x2+4y2=1,即为所求的轨迹方程 ② 即为所求的轨迹方程
1 sin2θ,即2y=sin2θ.② 即 ② 2
x ? y1
2 1

,x1 2 1)的轨迹方程; y 的轨迹方程 的轨迹方程;

为单位圆上任意一点, ( 2) ( 方法一 ) 设 A为单位圆上任意一点 , ) 方法一) 为单位圆上任意一点 BO的中点为 ( 3 ,0). 的中点为N( 的中点为 )
1 由Q是AB的中点,得|NQ|= |OA|= 2 是 的中点, 的中点 3 1 的轨迹是以N( 故Q的轨迹是以 ( 2 ,0)为圆心, 的轨迹是以 )为圆心, 2
2

1 2

. 为半径

的圆, 的圆,

所以Q的轨迹方程为 所以 的轨迹方程为(x的轨迹方程为

3 2

2+y2= 1 )

4

.

的中点Q(x,y), (方法二)设动点A(x0,y0),AB的中点 方法二)设动点 , 的中点 , 则 又
x0 + 3 x= 2

y0 y= 2

,即

x 0=2x-3 y 0=2y

.

2 2 x 0 + y 0 =1,所以 ,所以(2x-3)2+(2y)2=1, ,

3 2 2 1 为所求的轨迹方程. 即(x- ) +y = 为所求的轨迹方程 2 4

这里给出了求轨迹方程的常见题型及 点评 其解法, 每一种解法有都自己的特点, 其解法 , 每一种解法有都自己的特点 , 要深 入体会,掌握解题要点. 入体会,掌握解题要点

题型三 与圆有关的综合问题 例3在 △ ABC中 , 角 A、 角 B、 角 C所对的边 中 、 、 所对的边
分别为a 分别为 、b、c,且 且 的内切圆上的动点, 到顶点A、 是△ABC的内切圆上的动点,求点 到顶点 、 的内切圆上的动点 求点P到顶点 B、C的距离平方和的最大值和最小值 、 的距离平方和的最大值和最小值 的距离平方和的最大值和最小值. 由正弦定理得
cos A b = cos B a
cos A b 4 = = cos B 3 a

,c=10,点P ,

=

s in B 4 = s in A 3



所以cosAsinA=cosBsinB,b>a, , 所以 , 所以sin2A=sin2B,B>A,且A、B为△ABC , 所以 , 、 为 的内角, 的内角,

所以2A+2B=π,即A+B= ,C= π , . 所以 2 2 又c=10,所以 ,所以a=6,b=8. 为坐标原点, 所在直线为 所在直线为x轴建立直 以C为坐标原点,CB所在直线为 轴建立直 为坐标原点 角坐标系, ),A( , 角坐标系,则C(0,0),B(6,0), (0, , ( , ), 8)m△ABC的内切圆半径 8)m△ABC的内切圆半径r= 6 + 8 ? 1 0 =2, 的内切圆半径r= =2, 2 所以其内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4. 所以其内切圆方程为 ),点 到顶点 到顶点A、 、 的距离的平 设 P(x,y),点P到顶点 、B、C的距离的平 ( ), 方和为S, 方和为 ,

π

则S=x2+(y-8)2+x2+y2+(x-6)2+y2 =3(x-2)2+3(y-2)2+76-4y =88-4y. 又0≤y≤4,所以 max=88,Smin=72. ,所以S , 故点P到顶点 、 B、 C的距离的平方和的最 故点 到顶点A、 、 的距离的平方和的最 到顶点 大值为88,最小值为72. 大值为 ,最小值为 本例是解三角形、 点评 本例是解三角形、函数最值与圆的综合 性问题, 性问题, 问题求解的关键是通过解三角形确 定三角形特征, 定三角形特征, 然后应用坐标法将几何问题 代数化,通过变式运算实现问题的解决. 代数化,通过变式运算实现问题的解决

备选题
为两个定点, 动点M 知 A、 B为两个定点 , 且 |AB|=2a,动点 、 为两个定点 动点 与到B的距离之比为常数 求点M的轨迹 到A与到 的距离之比为常数 求点 的轨迹 与到 的距离之比为常数λ,求点 方程,并说明轨迹是什么曲线. 方程,并说明轨迹是什么曲线 以直线AB为 轴 以直线 为x轴, 线段AB的垂直平分线为 的垂直平分线为y 线段 的垂直平分线为 轴,建立平面直角坐标 如图所示. 系,如图所示 如图所示

则A(-a,0),B(a,0).设M(x,y),因为 MA 设 因为 所以 ( x + a ) + y = λ ( x ? a ) + y ,
2 2 2 2

MB
2



,
2 2

化简得 (1 ? λ ) x + (1 ? λ ) y + 2a(1 + λ ) x + (1 ? λ )a = 0 .
2 2 2 2

它表示的轨迹是直线, 当λ=1时,轨迹方程为 时 轨迹方程为x=0,它表示的轨迹是直线 它表示的轨迹是直线 即y轴; 轴
2a (1 + λ 2 ) x + a2 = 0 , 当λ≠1时,轨迹方程为 x 2 + y 2 + 时 2 1? λ 2 2 aλ a (1 + λ ) 为圆心, 2 为半 它表示的轨迹是以 (? , 0) 为圆心, 2 1? λ 1? λ

径的圆. 径的圆

方法提炼
1.求圆的方程的途径有两类:①几何法: 求圆的方程的途径有两类: 几何法: 求圆的方程的途径有两类 通过探究圆的几何特征获得有关圆心和半径 而求得圆的方程; 待定系数法: 而求得圆的方程 ; ② 待定系数法 : 利用圆方 程的标准式或一般式设定圆的方程, 程的标准式或一般式设定圆的方程 , 然后将 题设条件转化为相关系数的方程组求解. 题设条件转化为相关系数的方程组求解 2.问题涉及圆上动点坐标时,可考虑应用 问题涉及圆上动点坐标时, 问题涉及圆上动点坐标时 圆的参数方程将问题化归为三角形问题分析 求解,同时应注意参变量的取值范围的确定. 求解,同时应注意参变量的取值范围的确定

走进高考
湖北卷)圆 湖北卷 学例1 (2008·湖北卷 圆C: 是的圆心坐标是______ 和圆 关于直线x-y=0 和圆C关于直线 是的圆心坐标是 (3,-2) ,和圆 关于直线 x2+y2+4x-6y-3=0 对称的圆C′的普通方程是 的普通方程是_______________ . 对称的圆 的普通方程是 由参数方程得(x-3)2+(y+2)2=16,所以圆心 由参数方程得 所以圆心 坐标为(3,-2). 坐标为 关于x-y=0的对称点为 的对称点为(m,n), 则 设 (3,-2)关于 关于 的对称点为 , m=-2,n=3, 所 以 圆 C′ 的 方 程 为 (x+2)2+(y3)2=16,故普通方程为 2+y2+4x-6y-3=0. ,故普通方程为x
x = 3 + 4 cos θ (θ为参数 为参数) 为参数 y = ? 2 + 4 sin θ

江苏卷)在平面直角坐标系 江苏卷 在平面直角坐标系xOy中, 中 学例2 (2008·江苏卷 在平面直角坐标系 设二次函数f( ) 设二次函数 (x)=x2+2x+b(x∈R)的图象 ( ∈ ) 与两坐标轴有三个交点, 与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的 圆记为C. 圆记为 (1)求实数 的取值范围; 求实数b的取值范围 求实数 的取值范围; (2)求圆 的方程; 求圆C的方程 求圆 的方程; (3)圆C是否经过某定点( 其坐标与 无关 ) ? 圆 是否经过某定点 其坐标与b无关 是否经过某定点( 无关) 请证明你的结论. 请证明你的结论

(1) 令 x=0 , 得 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 是 由题意, (0,b);令f(x)=x2+2x+b=0.由题意,b≠0 , ) ( ) 由题意 且?>0, > , 即
b≠0 4? 4b>0

,解得b<1且b≠0. 解得 < 且

故实数b的取值范围是(-∞,0)∪(0,1). 故实数 的取值范围是( , ) 的取值范围是 , ) (2)设所求圆的一般方程为 2+y2+Dx+Ey+F=0.令 设所求圆的一般方程为x 设所求圆的一般方程为 令 y=0, 得 x2+Dx+F=0, 这与 2+2x+b=0是同一 , , 这与x 是同一 个方程,故D=2,F=b. 个方程, , 令 x=0, 得 y2+Ey+F=0, 此方程有一个根为 , , , 此方程有一个根为b, 代入得E=-b-1. 代入得 所以圆C的方程为 的方程为x 所以圆 的方程为 2+y2+2x-(b+1)y+b=0. ( )

(3) (方法一 圆 C必过定点 ( 0, 1) 和 方法一)圆 必过定点 必过定点( , ) 方法一 的方程, (-2,1).将(0,1)代入圆 的方程, , )将 , )代入圆C的方程 得 左 边 =02+12+2×0- ( b+1 ) +b=0 , 右 × 必过定点( 边=0,所以圆 必过定点(0,1). ,所以圆C必过定点 , ) 同理可证圆C必过定点( , ) 同理可证圆 必过定点(-2,1). 必过定点

(方法二 由x2+y2+2x-(b+1)y+b=0, 方法二)由 方法二 ( ) , 得x2+y2+2x-y+b(1-y)=0. ( ) 一定经过两曲线x 圆C一定经过两曲线 2+y2+2x-y=0与1-y=0的交 一定经过两曲线 与 的交 点. 由方程组 解得
x =0 y =1

x + y + 2 x ? y =0 , 1? y = 0
2 2



x =?2 , y =1

所以圆C必过定点( , ) 所以圆 必过定点(0,1)和(-2,1). 必过定点 , )

本节完,谢谢聆听


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