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2014-2015学年高中数学 第三章 不等式章末检测(B)新人教A版必修5


【步步高】2014-2015 学年高中数学 第三章 不等式章末检测 (B)新人教 A 版必修 5
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 a<0,-1<b<0,则有( ) 2 2 A.a>ab>ab B.ab >ab>a 2 2 C.ab>a>

;ab D.ab>ab >a 1 1 2.已知 x>1,y>1,且 ln x, ,ln y 成等比数列,则 xy( 4 4 A.有最大值 e B.有最大值 e C.有最小值 e D.有最小值 e 3.设 M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则( ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 2 2 4.不等式 x -ax-12a <0(其中 a<0)的解集为( ) A.(-3a,4a) B.(4a,-3a) C.(-3,4) D.(2a,6a) 5.已知 a,b∈R,且 a>b,则下列不等式中恒成立的是( 1 a 1 b 2 2 A.a >b B.( ) <( ) 2 2 C.lg(a-b)>0 6.当 x>1 时,不等式 x+ A.(-∞,2] C.[3,+∞) 1 D. >1

)

)

a b

x-1

≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

)

B.[2,+∞) D.(-∞,3] ? x≤0 ?x+2, 2 7.已知函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)≥x 的解集是( ?-x+2, x>0 ? A.[-1,1] B.[-2,2] C.[-2,1] D.[-1,2] 8.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式中恒成立的是( ) 1 1 1 1 A. > B. + ≤1 ab 2 a b 1 1 C. ab≥2 D. 2 ≤ a +b2 8

)

x-y≥0, ? ? 9.设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤2, ? ?y+2≥0,
(

则目标函数 z=|x+3y|的最大值为

) A.4 B.6 C.8 D.10 10.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行, 一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( ) A.甲先到教室 B.乙先到教室 C.两人同时到教室 D.谁先到教室不确定

?1 ? ?1 ??1 ? 11.设 M=? -1?? -1?? -1?,且 a+b+c=1 (其中 a,b,c 为正实数),则 M 的取 ?a ? ?b ??c ?
值范围是( )

? 1? A.?0, ? ? 8? C.[1,8)
12.函数 f(x)=x -2x+ 7 A.f(x)有最大值 4 C.f(x)有最大值 1 题 号 答 案 1 2 3 4
2 2

?1 ? B.? ,1? ?8 ? D.[8,+∞)
1 ,x∈(0,3),则( x -2x+1 B.f(x)有最小值-1 D.f(x)有最小值 1 5 6 7 8 9 10 11 12 )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) t2-4t+1 13.已知 t>0,则函数 y= 的最小值为

t

________________________________________________________________________. 2 14.对任意实数 x,不等式(a-2)x -2(a-2)x-4<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ________.

x-y+5≥0, ? ? 15.若不等式组?y≥a, ? ?0≤x≤2

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是

________. 16.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总 存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=________吨. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知 a>0,b>0,且 a≠b,比较 + 与 a+b 的大小.

a2 b2 b a

18.(12 分)已知 a,b,c∈(0,+∞). a b c 1 求证:( )·( )·( )≤ . a+b b+c c+a 8

19.(12 分)若 a<1,解关于 x 的不等式

ax >1. x-2

20.(12 分)求函数 y=

x+2 的最大值. 2x+5

21.(12 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

22.(12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、 劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示: 产品消耗量资源 甲产品 (每吨) 乙产品 (每吨) 资源限额 (每天) 煤(t) 9 4 360 电力(kw· h) 4 5 200 劳动力(个) 3 10 300 利润(万元) 6 12

问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨时,获得利润总额最大?

第三章 不等式 章末检测答案(B) 1.D [∵a<0,-1<b<0, 2 ∴ab>0,ab <0. 2 ∴ab>a,ab>ab . 2 2 ∵a-ab =a(1-b )=a(1+b)(1-b)<0, 2 2 ∴a<ab .∴a<ab <ab.] 2.C 3.A [∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3) 2 2 2 =(2a -4a)-(a -2a-3)=a -2a+3 2 =(a-1) +2>0.∴M>N.] 2 2 4.B [∵x -ax-12a <0(a<0) ?(x-4a)(x+3a)<0 ?4a<x<-3a.] 5.B [取 a=0,b=-1,否定 A、C、D 选项. 故选 B.] 1 1 6.D [∵x>1,∴x+ =(x-1)+ +1≥ x-1 ?x-1? 2

x-1 ? ?x≤0 2 7.A [f(x)≥x ?? 2 ?x+2≥x ?
??
? ?x≤0 ?x -x-2≤0 ?
2

?x-1?·

1

+1=3.∴a≤3.]
? ?x>0 或? 2 ?-x+2≥x ?

或?

? ?x>0 ?x +x-2≤0 ?
2

? ? ?x≤0 ?x>0 ?? 或? ?-1≤x≤2 ?-2≤x≤1 ? ? ?-1≤x≤0 或 0<x≤1 ?-1≤x≤1.] 8.D [取 a=1,b=3,可验证 A、B、C 均不正确, 故选 D.] 9.C [可行域如阴影,当直线 u=x+3y 过 A(-2,-2)时, 2 2 2 2 8 u 有最小值(-2)+(-2)×3=-8;过 B( , )时 u 有最大值 +3× = . 3 3 3 3 3

8 ∴u=x+3y∈[-8, ]. 3 ∴z=|u|=|x+3y|∈[0,8].故选 C.] 10.B [设甲用时间 T,乙用时间 2t,步行速度为 a,跑步速度为 b,距离为 s,则 T

s s
2 2 s s a+b 2s = + = + =s× ,ta+tb=s? 2t= , a b 2a 2b 2ab a+ b

∴T-2t= 故选 B.]

2 2 s?a+b? 2s ?a+b? -4ab s?a-b? - =s× = >0, 2ab a+b 2ab?a+b? 2ab?a+b?

?1 ??1 ??1 ? 11.D [M=? -1?? -1?? -1?

?a ??b ??c ? ?a+b+c-1??a+b+c-1??a+b+c-1? =? ?? b ?? c ? ? a ?? ?? ? ?b c? ?a c? ?a b? =? + ?·? + ?·? + ? ?a a? ?b b? ?c c?
≥2

b c · ·2 a a

a c · ·2 b b

a b · =8. c c

1 ∴M≥8,当 a=b=c= 时取“=”.] 3 12.D [∵x∈(0,3),∴x-1∈(-1,2), 2 ∴(x-1) ∈[0,4), 1 2 ∴f(x)=(x-1) + 2-1 ?x-1? 1 2-1=2-1=1. ?x-1? 1 2 当且仅当(x-1) = 2,且 x∈(0,3), ?x-1? 即 x=2 时取等号,∴当 x=2 时,函数 f(x)有最小值 1.] 13.-2 解析 ∵t>0, t2-4t+1 1 ∴y= =t+ -4≥2-4=-2. ≥2 ?x-1? ·
2

t t 14.-2<a≤2 解析 当 a=2 时,-4<0 恒成立,∴a=2 符合. 当 a-2≠0 时,则 a 应满足: ?a-2<0 ? ? 解得-2<a<2. 2 ?Δ =4?a-2? +16?a-2?<0 ? 综上所述,-2<a≤2. 15.5≤a<7 解析 先画出 x-y+5≥0 和 0≤x≤2 表示的区域,再确定 y≥a 表示的区域.

由图知:5≤a<7. 16.20 解析 400 该公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,则需要购买 次,运费为

x

400 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为( ·4+4x)

x

400 1 600 万元, ·4+4x≥160,当 =4x 即 x=20 吨时,一年的总运费与总存储费用之和最

x

x

小.

a2 b 2 a2 b2 b a b a a2-b2 b2-a2 1 1 2 2 = + =(a -b )( - ) b a b a 2 a - b ? a - b ? ? a+b? 2 2 =(a -b ) = ab ab 又∵a>0,b>0,a≠b, 2 ∴(a-b) >0,a-b>0,ab>0, a2 b2 a2 b2 ∴( + )-(a+b)>0,∴ + >a+b. b a b a 18.证明 ∵a,b,c∈(0,+∞), ∴a+b≥2 ab>0,b+c≥2 bc>0, c+a≥2 ac>0, ∴(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc>0. abc 1 ∴ ≤ ?a+b??b+c??c+a? 8 a b c 1 即( )·( )·( )≤ . a+b b+c c+a 8 当且仅当 a=b=c 时,取到“=”. ax ?a-1?x+2 19.解 不等式 >1 可化为 >0. x-2 x-2 ∵a<1,∴a-1<0,
17.解 ∵( + )-(a+b)= -b+ -a 2 1-a 故原不等式可化为 <0. x-2 故当 0<a<1 时,原不等式的解集为 2 {x|2<x< }, 1-a 当 a<0 时,原不等式的解集为 2 {x| <x<2}. 1-a 当 a=0 时,原不等式的解集为?. 2 20.解 设 t= x+2,从而 x=t -2(t≥0),

x-

则 y= 2 . 2t +1 当 t=0 时,y=0; 1 当 t>0 时,y= ≤ 1 2t+ 2 t

t

1 1 2t·



2 . 4

t

1 2 当且仅当 2t= ,即 t= 时等号成立. t 2 3 2 即当 x=- 时,ymax= . 2 4 21.解 (1)设 DN 的长为 x(x>0)米, 则 AN=(x+2)米. DN DC 3?x+2? ∵ = ,∴AM= ,

AN AM

x

3?x+2? ∴SAMPN=AN·AM= ,

2

x

3?x+2? 由 SAMPN>32,得 >32.

2

x

又 x>0,得 3x -20x+12>0, 2 解得:0<x< 或 x>6, 3 2 即 DN 长的取值范围是(0, )∪(6,+∞). 3 (2)矩形花坛 AMPN 的面积为 2 2 3?x+2? 3x +12x+12 y= =

2

x

x

12 =3x+ +12≥2

x

12 3x· +12=24,

x

12 当且仅当 3x= ,即 x=2 时,

x

矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24. 故 DN 的长为 2 米时,矩形 AMPN 的面积最小, 最小值为 24 平方米. 22.解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品 x 吨、y 吨,获得利润 z 万元.

? ?4x+5y≤200 依题意可得约束条件:?3x+10y≤300 x≥0 ? ?y≥0
9x+4y≤360 作出可行域如图.

利润目标函数 z=6x+12y, 由几何意义知, 当直线 l: z=6x+12y 经过可行域上的点 M 时, z=6x+12y 取最大值. 解
?3x+10y=300 ? 方程组? , ?4x+5y=200 ? 得 x=20,y=24,即 M(20,24). 答 生产甲种产品 20 吨,乙种产品 24 吨,才能使此工厂获得最大利润.


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