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北京市西城区2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(word版含答案)


北京市西城区 201 5-2016 学年下学期高一年级期末考试数学试卷
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的。 1.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ,且 a1 ? 2 ,那么 a5 =( A. 8 B. 9 C. 10 2.

如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式正确的是( ) A. ab ? a
2

) D. 11

B. a ? b
2

2

C.

1 1 ? a b
) D.

D. ?

1 1 ?? a b

3. 在掷一个骰子的试验中, 事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”, 事件 B 表示“小于 5 的点数出现”, 则一次试验中,事件 A ? B 发生的概率为( A.

1 3

B.

1 2


C.

2 3

5 6

4. 下图是 100 名学生某次数学测试成绩(单位:分)的频率分布直方图,则测试成绩在区间[50, 70)中的学生人数是(

A. 30 B. 25 C. 22 D. 20 5. 执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输出 的 i 值为(



A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

?0 ? x ? 2, 表示的平面区域内任取一个点 P ( x, y ) ,使得 x ? y ? 1 的概率为( ) ?0 ? y ? 2 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 8 12 4 7. 若关于 x 的不等式 x ? ? a 对于一切 x ? (0,??) 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) x A. (??,5] B. (??,4] C. (??,2] D. (??,1] a 8. 在△ABC 中,若 ? cos C ,则△ABC 为( ) b
6. 在不等式组 ? A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 利润(元/件) 8 9. 某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润如下表所示: 体积(升/件) 甲 乙 20 重量(公斤/件) 10

10 20 10 在一次运输中,货物总体积不超过 110 升,总重量不超过 100 公斤,那么在合理的安排下,一 次运输获得的最大利润为( ) D. 56 元 A. 65 元 B. 62 元 C. 60 元 10. 设 a, b ? R ,给出下列判断: ①若

1 1 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 ; b a 3 3 ②若 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 ; 2 2 ③若 a , b 均为正数,且 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 ;
④若 a , b 均为正数,且 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 。 则所有正确判断的序号是( A. ①② B. ③ ) D. ②④ C. ③④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上。 11. 不等式

1 ? 1 的解集为___________。 x

12. 下侧茎叶图记录了在某项体育比赛中,七位裁判为一名选手打出的分数,则去掉一个最高分 和一个最低分后,所剩数据的平均值为___________,方差为__________。

13. 某学校举办了一次写作水平测试,成绩共有 100 分,85 分,70 分,60 分及 50 分以下 5 种情 况,并将成绩分成 5 个等级,从全校参赛学生中随机抽取 30 名学生,情况如下: 成绩等 级 成绩 (分) 人数 1 a b 8 c 100 85 70 60 50 以下 A B C D E

(名) 已知在全校参加比赛的学生中任意抽取一人,估计出该同学成绩达到 60 分及 60 分以上的概率

4 1 为 ,其成绩等级为“A 或 B”的概率为 ,则 a=___________;b=__________。 5 5 14. 在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a2 ? 2 ,则 a1 ? 2a3 的最小值是_________。
15. 某公司计划从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用两人,若这五人被录用的机会均等, 则甲或乙被录用的概率为__________。

?an ? 1, an ? 1, ? 16. 已知数列 {an } 中, a1 ? a(0 ? a ? 1) , an?1 ? ? (n ? N * ) . 3 ? an ? , (an ? 1), ? 2 ? 1 ①若 a3 ? ,则 a=__________; 6 ②设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,则 S 2016 =__________。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 13 分) 等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1,其前 n 项和为 S n ,且 a3 ? a5 ? a4 ? 7 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求满足不等式 S n ? 3an ? 2 的 n 的值。 18. (本小题满分 13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 C ? (Ⅰ)若 c ? 14 ,求 sin A 的值; (Ⅱ)若△ABC 的面积为 3 3 ,求 c 的值。 19. (本小题满分 13 分) 某中学从高三男生中随机抽取 100 名学生,将他们的身高数据进行整理,得到下侧的频率分布 表。 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 (Ⅰ)求出频率分布表中①和②位置上相应的数据; (Ⅱ)为了能对学生的体能做进一步了解,该校决定在第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名学生进行体能测试,求第 3,4,5 组每组各应抽取多少名学生进行测试; (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生进行引体向上测试,求第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率。 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? (1 ? 3m) x ? 4, m ? R 。
2

2? ,a ? 6 。 3

分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185]

频数 5 ① 30 20 10 100

频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求 f ( x) 在区间 [?2,2] 上的最大值和最小值;

(Ⅱ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? ?1 ; (Ⅲ)当 m ? 0 时,若存在 x0 ? (1,??) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,求 m 的取值范围。 21.(本小题满分 14 分) 已知 {an } 是递增的等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和,且 S5 ? 5, a3 , a4 , a7 成等比数列。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 | a1 | ? | a2 | ??? | a100 | 的值; (Ⅲ)若集合 {n | (?1)
n

an ? ? , n ? N * } 中有且仅有 2 个元素,求 ? 的取值范围。 n 2

22.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的各项均为正数,其前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? 2an ? a1 , n ? N * 。 (Ⅰ)若 a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若对于正整数 m, p, q(m ? p ? q),5am , a p , aq 这三项经过适当的排序后能构成等差数列, 试用 m 表示 p 和 q ; (Ⅲ)已知数列 {t n },{rn } 满足 | t n |?| rn |? an ,数列 {t n },{rn } 的前 100 项和分别为 T100 , R100 ,且

T100 ? R100 ,试问:是否对于任意的正整数 k (1 ? k ? 100) 均有 t k ? rk 成立,请说明理由。

【试题答案】
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 1. C; 2. D; 3. C; 4. B; 5. C; 6. C; 7. B; 8. A; 9. B; 10. C。

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 11. {x | 0 ? x ? 1} ; 12. 92,2.8; 13. 5,10; 14. 4 2 ; 15.

7 ; 10

16.

1 ,1512 。 3

注:一题两空的题目,第一空 2 分,第二空 3 分。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 17. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d, 因为 a3 ? a5 ? a4 ? 7 ,所以 2a1 ? 6d ? a1 ? 3d ? 7 。 因为 a1 ? 1,所以 3d ? 6 ,即 d ? 2 , 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ? 1。 (Ⅱ)因为 a1 ? 1, an ? 2n ?1 ,所以 S n ? 由不等式 S n ? 3an ? 2 , 得 n 2 ? 3(2n ?1) ? 2 , 所以 n ? 6n ? 5 ? 0 ,
2

3分 5分 6分

a1 ? an n ? n2 , 2

8分

10 分 12 分 13 分

解得 1 ? n ? 5 , 因为 n ? N ,
*

所以 n 的值为 2,3,4。 18.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)在△ABC 中, 所以 sin A ?

a c ? , sin A sin C

3分

a sin C , c 6 2? 3 sin ? 3。 所以 sin A ? 14 3 14 1 (Ⅱ)因为 S ?ABC ? ab sin C , 2 1 3 b, 所以 3 3 ? ? 6 ? 2 2 解得 b ? 2 。 2 2 2 又因为 c ? a ? b ? 2abcosC , 1 2 所以 c ? 4 ? 36 ? 2 ? 2 ? 6 ? (? ) ? 52 , 2 所以 c ? 2 13 。
19. (本小题满分 13 分)

5分 7分

9分 11 分

13 分 ……………2 分

解:(Ⅰ)由题可知,第 2 组的频数为 0.35× 100=35 人,

第 3 组的频率为

30 ? 0.300 。 100

4分 ……………5 分

所以①处的数据为 35,②处的数据为 0.300。 组学生人数分别为: 第 3 组:

(Ⅱ)因为第 3,4,5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每

30 20 10 ? 6 ? 3 人;第 4 组: ? 6 ? 2 人;第 5 组: ? 6 ? 1 人。 60 60 60
……………8 分

所以第 3,4,5 组分别抽取 3 人,2 人,1 人。

(注:第(Ⅰ)(Ⅱ)问仅写出正确答案,没有过程,各扣掉 1 分) (Ⅲ)设第 3 组 3 位同学为 A1,A2,A3,第 4 组 2 位同学为 B1,B2,第 5 组 1 位同学为 C1, 则从 6 位同学中抽两位同学的情况分别为: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1), (A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2, C1)。 共有 15 种可能。 ……………10 分 其中第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为: (A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,C1), (B2,C1),(B1,B2)。 共有 9 种可能。 ……………12 分 所以,第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 答:第 4 组中至少有一名学生被抽中的概率为 20.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)当 m ? 1 时, 函数 f ( x) ? x ? 2x ? 4 在(-2,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数。 2 分 又 f (?2) ? 4, f (1) ? ?5, f (2) ? ?4 ,
2

9 3 ? 。 15 5
……………13 分

3 。 5

所以, f ( x) 在区间 [?2,2] 上的最大值和最小值分别为 4 和-5。 (Ⅱ)不等式 f ( x) ? ?1 ,即 mx ? (1 ? 3m) x ? 3 ? 0 ,
2

4分

当 m ? 0 时,解得 x ? 3 。

5分

1 , 6分 m 1 1 当 m ? 0 时, ? ? 3 ,不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? 3} 。 7 分 m m 1 3m ? 1 当 m ? 0 时, 3 ? (? ) ? , m m 1 1 1 所以,当 m ? ? 时, ? ? 3 ,不等式的解集为 {x | ? ? x ? 3} 。 8 分 3 m m 1 当 m ? ? 时,不等式的解集为 ? 。 9分 3 1 1 1 当 ? ? m ? 0 时, 3 ? ? ,不等式的解集 为 {x | 3 ? x ? ? } 。 10 分 m 3 m 1 1 综上, 当 m ? 0 时, 解集为 {x | x ? ? 或x ? 3} ; 当 m ? 0 时, 解集为 {x | x ? 3} ; 当? ? m ? 0 m 3
当 m ? 0 时, ( x ? 3)(m x ? 1) ? 0 的两根为 3 和 ?

时,解集为 {x | 3 ? x ? ?

1 1 1 1 } ;当 m ? ? 时,解集为 ? ;当 m ? ? 时,解集为 {x | ? ? x ? 3} 。 3 3 m m (Ⅲ) 因为 m ? 0 ,所以 f ( x) ? mx2 ? (1 ? 3m) x ? 4 是开口向下的抛物线, 1 ? 3m 3 1 ? ? ?1, 抛物线的对称轴为 x ? ? 11 分 2m 2 2m 若存在 x0 ? (1,??) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 (1 ? 3m) 2 ? 16m ? 0 , 12 分 1 2 即 9m ? 10m ? 1 ? 0 ,解得 m ? ?1 或 ? ? m ? 0 , 9 1 综上,m 的取值范围是 ( ?? ,?1) ? ( ? ,0) 。 13 分 9

21.(本小题满分 1 4 分) 解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d。

5 ( a1 ? a5 ) ? 5 , 1分 2 由 a3 , a4 , a7 成等比数列,可得 (a1 ? 3d ) 2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) ,
由 S5 ? 5 ,可得 所以 ?

2分

?a1 ? 2d ? 1,

2 ?2a1d ? 3d ? 0, ?a1 ? 1, ?a1 ? ?3, 解得 ? (舍)或 ? 3分 ?d ? 0, ?d ? 2. 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 5 。 4分 5 (Ⅱ)解 2n ? 5 ? 0 可得 n ? , 2 所以数列 {an } 中 a1 ? 0, a2 ? 0 ,其余各项均大于零。 6分 所以 | a1 | ? | a2 | ??? | a100 |? ?a1 ? a2 ? a3 ? ?? a100 7分 98 ? ?a1 ? a2 ? (a3 ? a100 ) 2 98 ? 3 ? 1 ? (1 ? 195 ) ? 9608 。 9分 2 a 2n ? 5 ? (Ⅲ)设 cn ? n , n 2 2n 2n ? 5 2(n ? 1) ? 5 9 ? 2n cn ? cn?1 ? ? ? , 10 分 2n 2 n?1 2n 9 令 cn ? cn?1 ? 0 ,得 n ? , 2 所以 c1 ? c2 ? c3 ? c4 , c4 ? c5 ? c6 ? ? 11 分 2n ? 5 又由 cn ? ,知 c1 ? 0, c2 ? 0 ,其余各项均大于零。 12 分 2n n * 在 t n ? (?1) cn 中, t1 ? 0, t 2m ? 0(m ? 2, m ? N ) ,且 t 4 ? t6 ? t8 ? ? 3 3 7 , t6 ? 计算得 t1 ? , t 4 ? , 2 16 64 7 3 ? ? ? , ? ? R} 。 所以, ? 的取值范围是 {? | 14 分 64 16

13 分

22.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为 Sn ? 2an ? a1 , n ? N * , 所以, S n?1 ? 2an?1 ? a1 , 所以,当 n ? 2 时, Sn ? Sn?1 ? (2an ? a1 ) ? (2an?1 ? a1 ) , 整理得 an ? 2an?1 , 又 an ? 0 ,所以 2分

an =2,数列 {an } 是公比为 2 的等比数列, an?1
4分 5分

3分

所以数列 {an } 的 通项公式 an ? 2 n?1 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, {an } 是公比为 2 的等比数列。 ①若 5am 为 a p , aq 的等差中项,则 2 ? 5am ? a p ? aq , 所以 2 ? 5a1 2m?1 ? a1 2 p?1 ? a1 2q?1 ,所以 2
p ?m?1

? 2q?m?1 ? 5 ,

又 m ? p ? q , m, p, q ? N * ,所以 2 p?m?1 ? 1,2 p?m?1 ? 4 , 所以 p ? m ? 1, q ? m ? 3 。 7分 ②若 a p 为 5am , aq 的等差中项,则 2a p ? 5am ? aq , 所以 2a1 2 p?1 ? 5a1 2m?1 ? a1 2 p?1 ,所以 2 ? 5 ? 2
p m?1

? 2 q?1 ,

所以 2

p ?m?1

? 2 q ?m ? 5 ,

等式左边为偶数,右边为奇数,等式不成立。 8分 ③若 aq 为 5am , a p 的等差中项,则 2aq ? 5am ? a p ,同理也不成立。 综上, p ? m ? 1, q ? m ? 3 。 (Ⅲ)由 an ? a1 ? 2
n?1

9分
n?1

,得 | t n |?| rn |? a1 ? 2

, 10 分

所以 t100 ? r100 或 t100 ? ?r100 , 若 t100 ? ?r100 ,不妨设 t100 ? 0, r100 ? 0 ,

则 T100 ? t1 ? t2 ? ?? t99 ? t100 ? ?a1 ? a1 ? 2 ? a1 ? 22 ? ?? a1 ? 298 ? a1 ? 299

? ?a1 (1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 298 ) ? a1 ? 299 ? ?a1 ?
则 R100 ? r1 ? r2 ? ?? r99 ? r100

1 ? 299 ? a1 ? 299 ? a1 。 11 分 1? 2 ? a1 ? a1 ? 2 ? a1 ? 22 ? ?? a1 ? 298 ? a1 ? 299

? a1 (1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 298 ) ? a1 ? 299 ? a1 ?
由已知 a1 ? 0 ,所以 R100 所以 R99 ? T99 ,同上可得 t 99 ? r99 , 如此下去, t98 ? r98 ,?, t1 ? r1 ,

1 ? 299 ? a1 ? 299 ? ?a1 。 12 分 1? 2 13 分 ? T100 ,与已知不符,所以 t100 ? r100 ,

即对于任意的正整数 k (1 ? k ? 100) ,均有 t k ? rk 。

14 分


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