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云南省2012年7月普通高中学业水平考试数学试卷


2012 年 7 月云南省普通高中学业水平考试 数学试卷
[考生注意]: 考试用时 100 分钟,必须在答题卡上指定位置按规定要求作答,答在试卷上一律无效. 参考公式: 如果事件 A 、B 互斥,那么 P A ∪ B = P A + P B . 球的表面积公式: S = 4πR2 ,其中 R 表示球的半径. 柱体的体积公式: V = Sh ,其中 S 表示柱体的底面面积, h 表示柱体的高. 锥体的体积公式:V = Sh ,其中 S 表示柱体的底面面积, h 表示柱体的高.
3 1

选择题(共 51 分)
一、选择题,本大题共 18 个小题,每小题 3 分,共 54 分.在第小题给出的四个选项中,只有一项是 符合要求的,请在答题卡相应的位置上填涂. 1. 已知集合 A = { ?1,0,1,2 },集合 B = { ?2,1,2 },则 A ∪ B 为 A. { 1 } C. { 1,2 } B. { 2 } D. { ?2, ? 1,0,1,2 }

2. 如图所示是一个组合体的三视图,图中的四边形均为边长为 2 的正方 形,圆的半径为 1,那么这个组合体的体积为
主视图

A.
C.

4π 3 10π 3

+8

B. D.

16π +8 3 40π 3
俯视图

侧视图

(第2题)

3. 已知向量 a = 2,1 ,b = 1,m ,且a∥b ,则 m 等于

A. 2

B. 2

1

C. ? 2

D. ? 2

1

4. 已知三个实数 a、b、c 依次成等差数列,则 b 一定等于

A.

a+c

2

B. a + c

C. ac

D.

ac

5. △ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,若A = 75°, B = 45° c = 2 3,则 b等于 ,

A.

2

B. 2

C. 2 2

D. 4

1

6. 点

2,0 到直线 x ? y = 0 的距离为 A.
1 2 2 2

开始

B. 1 D. 2

x=2

C.

y = 2x+1

7. 一个算法的程序框图如右图,则输出结果是

A. 4
C. 6 8. 计算 cos 330°的值为

B. 5 D. 13

b = 3y - 2

输出 b

A. ?
C. 2
1

3 2

B. ? 2 D. 2
π 3 π

1

结束 (第7题)

9. 为了得到函数 y = sin(x ? 4) 的图象,只需要把函数 y = sin(x + 4) 的图象上的所有点

A. 向右平行移动
C. 向左平行移动

π 2 π 2

个单位 个单位

B. 向右平行移动 D. 向左平行移动

π 4 π 4

个单位 个单位
M

⒑ 如图是一个边长为 1 的正方形,M 为所在边上的中点,若随机掷一粒绿豆,则 这粒绿豆落到阴影部分的概率为

A.

1 4

B. 3

1

C. 2

1

D. 3
(第10题)

2

⒒ 圆心为 1, ?1 ,半径为 5 的圆的标准方程为

A. (x ? 1)2 + (y + 1)2 = 5
C. (x ? 1)2 + (y + 1)2 = 25

B. (x + 1)2 + (y ? 1)2 = 5 D. (x + 1)2 + (y ? 1)2 = 25

⒓ 已知函数 f x 的图像是连续且单调的,有如下对应值表: x f(x)

1 -3

2 -1

3 1

4 2

5 5

则函数 f x 的零点所在区间是

A. 1,2

B.

2,3

C.

3,4

D.

4,5

⒔ 函数 y = x ? 1 + lg(2 ? x) 的定义域是

A. [1, + ∞)

B.

?∞,2

C.

1,2

D. [1,2)

⒕ 7 名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是 15,17,10,13,17,17,16,设其平均数为 a ,中位数为

b ,众数为 c ,则有
2

A. a > >

B. b > >

C. c > >

D. c > >

⒖ 为了解某校学生的身体发育情况,抽查了该校 100 名高中男生,根据他们的体重数据画出样本的 频率分布直方图如图所示.请根据此图,估计该校 2000 名高中男生中体重在 64 公斤至 66 公斤的 人数为

A. 16
频率 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 54 56 组距

B. 32

C. 160

D. 320

58
2

60

62

64

66

68

70

72

74

76

体重(kg)

.

⒗ 已知⊙ C: x ? 2

2

+ y?1

= 4 ,直线 l: y = ?x + 1 ,则 l 被 ⊙ C 所截得的弦长为
C. 3

A. 2 2

B. 2

D.

1

⒘ 计算机执行右边的程序后,输出的结果是

A. 2,6
C. ? 2,6

B. 6,2

D. 6, ? 2

非选择题(共 49 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分.请把答案写在答题卡相应的位置上. 18. 将 50 张卡片分别编号为 1 至 50 ,从中任取一张 ,则所得卡片上的数字个位数为 3 的概率是 19. 已知函数f x = ax (a > 0,a ≠ 1),f 2 = 4 ,则函数f x 的解析式是f x = x?y?1 ≤0 20. 已知 x,y 满足约束条件 x + y ? 1 ≥ 0,则目标函数 z = x + 2y 的最小值为 y≤1 21. 已知四边形 ABCD 是菱形,则 AB + AD · AB ? AD = 22. 若 x > 0,则 x + 的最小值为
x 4

. .

.

.

三、解答题:本大题共 4 小题,第 23、24、25 题各 8 分,第 26 题各 10 分,共 34 分.解答应写出文
3

字说明、证明过程或演算步骤. 23. 已知 f x = 2 3 sin x cos x + 1,x ∈ R . ⑴求 f x 的最小正周期和最大值;⑵求 f x 的递增区间.

24. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD , 且底面 ABCD 是
P

正方形,PA = AB, E 为 PD 的中点. ⑴求证:PB ∥平面 EAC ;⑵求异面直线 AE 与 PB 所成角的大小.
E

A

D

B

C

25. 在等比数列 an 中,公比 q > 1 ,且 a1 + a4 = 9,a2 a3 = 8 . ⑴求 a1 和 q 的值;⑵求 an 的前 6 项和 S6 .

26. 某体育用品商场经营一批每件进价为 40 元的运动服,先做了市场调查,得到数据如下表:

销售单价 x(元) 销售量 y(件)

60 600

62 580

64 560

66 540

68 520

… …

根据表中数据,解答下列问题: ⑴ 建立一个恰当的函数模型,使它能较好地反映销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的函

数关系,并写出这个函数模型的解析式 y = f x ;
⑵ 试求销售利润 z(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式 (销售利润 = 总销售收入 - 总进价成本) ; ⑶ 在⑴、⑵条件下,当销售单价为多少元时,能获得最大利润?并求出此最大利润.

4

参考答案 选择题:DABAC BDDAC CBDDD AB 填空题: 解答题: 23. f x = 3 sin 2x + 1,T =
π π 2π 2

1

10

2x

0

4

= π,f x

max

= f kπ + 4 = 3 + 1;
π π

π

由 2kπ ? 2 ≤ 2x ≤ 2kπ + 2 得递增区间为 kπ ? 4 ,kπ + 4

k∈Z .

24. 连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE 可得 PB ∥OE,从而PB ∥平面 EAC; 由 PB ∥OE 知,∠AEO 即为异面直线 AE 与 PB 所成角, 易得△ AEO 为正三角形,从而∠AEO = 60°, 即异面直线 AE 与 PB 所成角为 60° .

25. 设an = a1 qn?1 ,则有a1 + a1 q3 = 9,a1 q ? a1 q2 = 8,结合 q > 1可解得a1 = 1, q = 2; S6 =
1?(1?26 ) 1?2

= 26 ? 1 = 63. ;

26.y = f x = ?10x + 1200 120 ≥ x ≥ 0

z = x ? 40 y = x ? 40 f x = 10 x ? 40 120 ? x 120 ≥ x ≥ 0 ; 易知当120 > > 40时,利润才是正值,此时 x ? 40 > 0, 120 ? x > 0,由均值不等式可得 z = 10 x ? 40 120 ? x ≤ 10
x?40 + 120?x 2 2

= 16000(当且仅当 x = 80 时等号成立)

即当销售单价为 80 元时,能获得最大利润 16000 元.

5


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