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2009年广州市高二数学竞赛试题


2009 年广州市高二数学竞赛试题(2009.5.10)
考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分. 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 A. 3 ? i

i

=3,则复数 z 的实部与虚部之和为 z ?1
B. 1 ? i

1 3

C.

2 3

D.

4 3

2.已知

sin ?? ? 2? ? tan ?? ? ? ? ? 3 ,且 ? ? 1 k? , ? ? ? ? n? ? ? ? n, k ? Z ? ,则 的值为 sin ? tan ? 2 2
B.1 C.

A.2

1 2

D. ?2

3.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 为奇函数,且函数 f (2 x ? 1) 的周期为 5,若 f ?1? ? 5 ,则

f (2009) ? f (2010) 的值为
A.5 B.1 C.0 D. ?5 4.已知 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 ?log2 1? ? ?log2 2? ? ?log2 3? ??? ?log2 2009? 的值为 A.18054 B.18044 C.17954 D.17944 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5.关于 x 的不等式

ax ? 1 ? a ?a ? 0? 的解集是 x
2 2



6.在区间 ?? 1,1?上随机任取两个数 x, y ,则满足 x ? y ?

1 的概率等于 4




2 7.设 f ( x) ? min 2 x ? 3, x ? 1,11 ? 3 x ,则 max f ( x) 的值为

?

?

8.计算机执行以下程序:①初始值 x ? 3 ,s ? 0 ;② x ? x ? 2 ;③ s ?s ?x ;④若 s ? 100 , 则进行⑤,否则从②继续执行;⑤打印 x ;⑥结束.那么由语句⑤打印出的数值 为 .

9.在 ?ABC 中,已知 tan A ? 为 .

1 1 , tan B ? ,若 ?ABC 最长边的长为 1 ,则最短边的长 2 3

1

? x ? 4 y ? 3 ? 0, OP ? OA ? 10.已知定点 A? 2,0? ,点 P ? x, y ? 的坐标满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0, 当 ( O 为坐标原 | OA | ? x ? a ? 0. ?
点)的最小值是 2 时,实数 a 的值是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 11. (本小题满分 15 分) 已知向量 a ? ?

1 ? ? ?? ? 1 ,? ? , b ? ? 2,cos 2 x ? ,其中 x ? ? 0, ? . ? sin x sin x ? ? 2?

(1)试判断向量 a 与 b 能否平行,并说明理由?

b (2)求函数 f ( x) ? a? 的最小值.

12. (本小题满分 15 分) 如图 1 所示的等边△ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC、BC 边的 中点.现将△ABC 沿 CD 折叠成如图 2 所示的直二面角 A—DC—B. (1)试判断折叠后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求四面体 A-DBC 的外接球体积与四棱锥 D-ABFE 的体积之比. A E D F B 图1 C B D F 图2 A E C

2

13. (本小题满分 20 分) 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 为坐标原点) . (1)若椭圆的离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且 OA ? OB (其中 O a 2 b2

1 ,求椭圆的方程; 2

(2)求证:不论 a , b 如何变化,椭圆恒过第一象限内的一个定点 P,并求点 P 的坐标.

14. (本小题满分 20 分) 定义一种新运算 ? ,满足 n ? k ? n?
k ?1

( n, k ? N*, ? 为非零常数) .

(1)对于任意给定的 k ,设 an ? n ?k (2)对于任意给定的 n ,设 bk ? n ? k (3)设 cn ? n ? n

?n ? 1,2,3, ?? ,证明:数列 ?an ? 是等差数列; ?k ? 1,2,3, ?? ,证明:数列 ?bk ? 是等比数列;

?n ? 1,2,3, ?? ,试求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

3

15. (本小题满分 20 分) 定义函数 F ( x, y) ? (1 ? x) y , x, y ? ?0, ?? ? .
3 (1) 令函数 f ( x) ? F ?1, log 2 x ? 3x ? 的图象为曲线 C1 , 求与直线 4 x ? 15y ? 3 ? 0 垂

?

?

??

直的曲线 C1 的切线方程;
3 2 (2)令函数 g ( x) ? F ?1, log 2 x ? ax ? bx ? 1 ? 的图象为曲线 C 2 ,若存在实数 b 使得

?

?

??

曲线 C 2 在 x0 x0 ? ?1, 4? 处有斜率为 ?8 的切线,求实数 a 的取值范围; (3)当 x, y ?N * ,且 x ? y 时,证明 F ? x, y ? ? F ? y, x ? .

?

?

4

2009 年广州市高二数学竞赛试题 参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和 能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得 超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不 再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:每小题 6 分,满分 24 分。 1.D 2.A 二、填空题:每小题 6 分,满分 36 分。 5. ? x | x ?

3.D

4.A

? ?

1? ? 2a ?
k

6.

? 16

7.5

8.21

9.

5 5

10.2

简答与提示: 4.根据题意,当 2 ? n ? 2
k ?1

M ? 0 ? ? 21 ? 20 ? ? 1? ? 22 ? 21 ? ? 2 ? ? 23 ? 22 ? ? ? ? 9 ? ? 210 ? 29 ? ? 10 ? ? 2009 ? 210 ? 1? ? 18054 .
7.作图比较容易得到 max f ( x) ? 5 . 8.设程序执行 n 次后, x 的值为 xn , s 的值为 Sn ,则 xn ? 2n ? 3 , Sn 是数列 ?xn ? 的前 n 项 和,由 Sn ? n2 ? 4n ? 100 ,可得 n ? 9 ,则 x9 ? 2 ? 9 ? 3 ? 21 . 10.

时, [log2 n] ? k , ? k ?N? ,于是

OP ? OA | OA |

表示向量 OP 在 OA 上的射影长, 画出可行域, 知当 P 点落在直线 x ? a 上时,

OP ? OA | OA |

取得最小值为 OA ,故 a ? 2 .

三、解答题:满分 90 分。 11.解: (1)若 a ? b ,则有 ∵ x ? ? 0,

1 1 ? cos 2 x ? ?2 ? 0. sin x sin x

? ?? ,∴ sin x ? 0 . ? 2? ? ∴ cos 2 x ? ?2 ,这与 cos 2 x ? 1 矛盾. ∴ a 与 b 不能平行. 2 cos 2 x b ? (2)∵ f ( x) ? a ? ? sin x sin x
5

2 ? cos 2 x 1 ? 2 sin 2 x ? sin x sin x 1 ? 2 sin x ? , sin x ? ?? ∵ x ? ? 0, ? ,∴ sin x? ? 0,1? , ? 2? 1 1 ∴ f ( x) ? 2 sin x ? ? 2 2 sin x ? ?2 2. sin x sin x 1 2 当 2 sin x ? ,即 sin x ? 时取等号,故函数 f (x) 的最小值为 2 2 . sin x 2 ?
12.解: (1)如图所示,∵ 、F 分别为 AC、BC 的中点, E ∴ AB ? EF . ∵ AB ? 面 DEF, EF ? 面 DEF, ∴ AB ? 面 DEF . (2)以 DA,DB,DC 为棱补成一个长方体,则四面体 A ? DBC 的外接球即为长方体的外接球. 设球的半径为 R,则 a ? a ? 3a ? (2R) ,
2 2 2 2

A E D B F C

5 2 4 5 5 3 a . 于是球的体积 V1 ? ?R 3 ? ?a . 4 3 6 1 3 3 1 1 3 3 又 V A? BDC ? S ?BDC ? AD ? a , VE ? DFC ? S ?DFC ? AD ? a , 3 6 3 2 24 V1 3 3 20 15 ?VD ? ABFE ? V A? BDC ? VE ? DFC ? a . ? ? ?. 8 VD? ABFE 9
∴R ?
2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 13. (1)解:由 ? a 2 b 2 消去y, 得(a2 ? b2 ) ? x2 ? 2a2 x ? a2 ? (1 ? b2 ) ? 0, ? y ? ? x ? 1. ?
由? ? ?2a 2

?

?

2

? 4a 2 ? a 2 ? b2 ??1 ? b2 ? ? 0, 整理得a 2 ? b2 ? 1.

?OA ? OB ?其中O为坐标原点? ,
?

? 2a 2 x1 ? x2 ? 2 , ? ? a ? b2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ) ,∴ ? 2 2 ? x x ? a (1 ? b ) . ? 1 2 a 2 ? b2 ? ? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1.

? x1x2 ? y1 y2 ? 0, 即2x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 .
2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? 2 ? 1 ? 0 .即 a 2 ? b2 ? 2a 2b2 ? 0 . a 2 ? b2 a ? b2
6

? e2 ?

7 7 a 2 ? b2 1 ? ,∴ a 2 ? , b 2 ? . 2 6 8 a 4 2 2 x y ? ? 1. 故椭圆的方程为 7 7 6 8 2 2 2 2 (2)证明:由(1)有 a ? b ? 2a b ? 0 ,

? 2? ? 2? ? ? ? ? 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 1. ∴ 2 ? 2 ? 1 ,即 a2 b2 2a 2b
则不论 a,b 如何变化,椭圆恒过第一象限内的定点 P ? 14. (1)证明:∵n ? k ? n? ∴ an ? n ? k ? n?
k ?1
k ?1

2

2

? 2 2? ? 2 , 2 ?. ? ? ?

( n, k ? N*, ? 为非零常数) ,

? n ? 1,2,3,?? .
k ?1

∴an?1 ? an ? ? n ? 1? ?

? n? k ?1 ? ? k ?1 .
( n, k ? N*, ? 为非零常数) ,

∵k , ? 为非零常数,∴ 数列 ?an ? 是等差数列. (2)解:∵n ? k ? n? ∴ bk ? n ? k ? n? ∴
k ?1
k ?1

? k ? 1,2,3,?? .
k ?1

bk ?1 n? k 数列 ?bk ? 是等比数列. ? k ?1 ? ? .∵? 为非零常数,∴ bk n?
( n, k ? N*, ? 为非零常数) , ①
n?1

(3)解:∵n ? k ? n? ∴ cn ? n ? n ? n? .

S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? ?0 ? 2? ? 3?2 ? ? ? n?n?1 , n ? n ? 1? 当 ? ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? ? ? n ? . 2 当 ? ? 1 时, ? Sn ? ? ? 2? 2 ? 3? 3 ? ? ? n? n .
①? ② 得: ?1 ? ? ? Sn ? 1 ? ? ? ? ??? ?
2 n?1



? n? ,
n

∴ Sn ?

1? ?

n 2

?1 ? ? ?

?

n? , 1? ?
n

? n(n ? 1) 当? ? 1时, ? 2 , ? 综上可知, Sn ? ? n n ? 1 ? ? ? n? , 当? ? 1时. ? (1 ? ? )2 1 ? ? ?
15. (1)解:

f ( x) ? F 1, log2 ( x 3 ? 3x) ? (1 ? 1) log2 ( x ?3x) ? x 3 ? 3x ,
3

?

?

7

由 log2 ( x 3 ? 3x) ? 0 ,得 x ? 3x ? 1 .
3

15 3 ,由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ? 。 4 2 3 ? 3? 9 ? 3 9? ? x 3 ? 3x ? 1 ,? x ? ? .又 f ? ? ? ? ,? 切点为 ? ? , ? . 2 ? 2? 8 ? 2 8? 9 15 ? 3? ? 存在与直线 4 x ? 15y ? 3 ? 0 垂直的切线,其方程为 y ? ? ? x ? ? , 8 4? 2? 即 15x ? 4 y ? 27 ? 0 .
又 f ?( x) ? 3 x ? 3 ?
2

(2)解: g ( x) ? F 1, log2 ( x ? ax ? bx ? 1) ? x ? ax ? bx ? 1.
3 2 3 2

?

?

由 log2 ( x 3 ? ax2 ? bx ? 1) ? 0 ,得 x ? ax ? bx ? 0 .
3 2

由 g ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? ?8 ,得 b ? ?3x ? 2ax ? 8 .
2

x 3 ? ax2 ? bx ? x 3 ? ax2 ? x(?3x 2 ? 2ax ? 8) ? ?2x 3 ? ax2 ? 8x ? 0 在 x ? (1,4) 上
有解.

8 在 x ? ?1, 4? 上有解, x 8 4 4 8? ? ? a ? ? ?2 x ? ? , x ? ?1, 4 ? . 而 ? 2 x ? ? ?2( x ? ) ? ?4 x ? ? ?8 , x x x x ?max ? 当且仅当 x ? 2 时取等号, ? a ? ?8 .

? 2 x 2 ? ax ? 8 ? 0 在 x ? ?1, 4? 上有解得 a ? ?2 x ?

y x (3)证明: F ( x, y) ? F ( y, x) ? (1 ? x) ? (1 ? y) ? y ln(1 ? x) ? x ln(1 ? y)

ln(1 ? x) ln(1 ? y) ? ? x, y ? N*, x ? y ? . x y x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) 令 h( x ) ? ,则 h?( x) ? 1 ? x 2 , x x x ? 1 ? ln ?1 ? x ? ,∴ h?( x) ? 0 , h(x) 单调递减, 当 x ? 2 时,∵ 1? x ? 当 2 ? x ? y 时, h( x) ? h( y) . 1 又当 x ? 1且y ? 2 时, h ?1? ? ln 2 ? ln 3 ? h ? 2 ? , 2 x ? y 时, h( x) ? h( y) ,即 F ( x, y) ? F ( y, x) . ? 当 x, y ?N * .且 ?

8


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