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数学思想方法之数形结合学案


数学思想方法之数形结合学案
2007 年 11 月 20 日星期二 引言:数形结合思想是一种很重要的数学思想,数与形是事物的两个方面,正是基 于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科,才能使人们能够从不同侧面认识事物。 华罗庚先生说过:“数形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形

少数时难入微.”.把数量关系的研究转化为图形性质的研究,

或者把 图形性质的研究
转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,就 是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使 抽象思维与形象思维结合起来。 在使用的过程中,由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形” 的转化却需要转化的意识,因此,数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形” 的转化。 考试中心对考试大纲的说明中强调: “在高考中,充分利用选择题和填空题的题型特 点,为考查数形结合的思想提供了方便,能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观 的几何图形问题来解决的意识,而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,对数量关系 问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法,解答题中对数形结合思想的考 查以由‘形’到‘数’的转化为主。 ”

y

y=|x| y=ax

课题
关键词:抽象 直观 高考

数形结合思想
数形结合

一、从一个典型的例子谈起

o

x


【例 1】 安徽) (07 对任意 x ? R , 不等式 x ≥ ax 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ( A. a ? ?1 B. a ≤1 C. a ? 1 D. a ≥ 1

【分析及解】令 y ? x 和 y ? ax ,在同一坐标系中画出它们的图象,易知当 a ≤1 时, 有 x ≥ ax .
1

二、更多的例子 【例 2】方程 log2 x ? x ? 3 ? 0 和 2 ? x ? 3 ? 0 的解分别是 x1 和 x2 ,求 x1 ? x2 的值。
x

【分析及解】在坐标系中分别画出函数 y ? log 2 x 和 y ? 2x 的图象与直线 y ? 3 ? x 则 x1 , x 2 分别是函数 y ? log 2 x 与 y ? 2x 的图象与直线 y ? 3 ? x 的交点 A、B 的横 坐标(如图所示) 又函数 y ? log2 x与y ? 2 互为反函数,其图象关于
x

y=2x y=x y
A

直线 y=x 对称,而直线 y=x 与直线 y ? 3 ? x 垂直,故 点 A、B 关于直线 y=x 对称,∴直线 y=x 与直线

y=log2x
M B

y ? 3 ? x 的交点为线段 AB 的中点 M

x o y=3-x

3 ? ? x0 ? 2 ?y ? x ? 由? ? y ? 3 ? x解得? ? ?y ? 3 ? 0 2 ?
∴ x1 ? x2 ? 2 x0 ? 3 【例 3】 (2005 年,辽宁卷,10) 已知 y ? f ?x ?是定义在 R 上的单调函数,实数 x1 ? x2 , ? ? ?1, ? ?

x1 ? ?x 2 , 1? ?

??


x 2 ? ?x1 ,若 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?? ? ? f ?? ? ,则 1? ?
) 。 (A) ? ? 0

f (?)
(B) ? ? 0 (C) 0 ? ? ? 1

y

(D) ? ? 1 【分析及解】如果采用代数运算,则无所适从,如果画 出 单 调 函 数 y ? f ?x ? 的 示 意 图 象 , 由

f (x2) f (x1) f (?)

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?? ? ? f ?? ? 可断定横坐标为 ? , ?

o

? x1

x2

?

x

的点,至少有一个在横坐标为 x1 , x 2 的点的外部,因而

? ? 0 ,应选(A).

2

【例 4】 (2005 年, 辽宁卷,12)一给定函数 y ? f (x) 的图象在下列图中,并且对任意

a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (a n ) 得到的数列 {an } 满足 an?1 ? an (n ? N? ) ,则该函数
的图象是( )

y
1 1

y
1

y
1

y

o

1

x o

1

x o

1

x o

1

x

(A) (B) (C) (D) 【分析及解】这是一道函数,数列,函数图象综合在一起的选择题,需要通过数列的性质研 究函数图象的特征.实际上,只要设 an ? x, an?1 ? y ,则有 y ? f (x) 且 y ? x ,并对所有

n ? N ? 都成立,因此选(A).
【例 5】 (2005 年,江苏卷,5)△ABC 中, A ? (A) 4 3 sin( B ? (C) 6sin( B ?

?
3

, BC ? 3, 则△ABC 的周长为(

).

?
3

)?3

(B) 4 3 sin( B ? (D) 6sin( B ?

?
6

)?3

?
3

)?3

?
6

)?3
B

【分析及解】本题大部分考生都是用三角恒等变形和 正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形 结 合 , 可 以 很 快 解 决 问 题 . 为 此 , 延 长 CA 到 D , 使 AD ? AB , 则

CD ? AB ? AC , ?CBD ? ?B ?

?

6 6 BC AB ? AC ? 由正弦定理 ,即 ?? sin D ? sin ? B ? ? 6? ? ?? ? AB ? AC ? 6 sin? B ? ? ,由此,选(C). 6? ?

, ?D ?

?

,
D A C

2 【例 6】若方程 lg ? x ? 3x ? m ? lg?3 ? x ? 在 x ? 0,3 内有唯一解,求实数 m 的取

?

?

?

?

值范围。 【分析及解】原方程可化为 ?? x ? 2? ? 1 ? m?0 ? x ? 3?
2

设 y1 ? ?? x ? 2? ? 1 ?0 ? x ? 3?,y2 ? m
2

3

在同一坐标系中画出它们的图象(如图) 。由原方程 在(0,3)内有唯一解,知 y1 与y 2 的图象只有一个公共 点,可见 m 的取值范围是 ?3 ? m ? 0 或 m ? 1。

【例 7】(2005 年,上海卷)设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?

?| lg | x ? 1 ||, x ? 1 ,则关于 x 0, x ?1 ?


的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不同实数解的充要条件是( (A) b ? 0, c ? 0 (C) b ? 0, c ? 0 ( B) b ? 0, c ? 0 (D) b ? 0, c ? 0

且 f ?x ? ? 0 ,令 f ?x ? ? t ,若 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0
2

【分析及解】画出函数 f ?x ? 的图像,该图像关于对称,

有 7 个不同实数解,则方程 t ? bt ? c ? 0 有 2 个不同 实数解,且为一正根,一零根.因此, b ? 0 且 c ? 0 ,故选(C). 【例 8】 (07 天津) .在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) ,若 f ( x ) 在 区间 [1, 2]上是减函数,则 f ( x ) ( A.在区间[-2, -1]上是增函数,在区间 B.在区间[-2, -1]上是增函数,在区间 C.在区间[-2, -1]上是减函数,在区间 D.在区间[-2, -1]上是减函数,在区间 ) [3, 4] [3, 4] [3, 4] [3, 4] 上是增函数 上是减函数 上是增函数 上是减函数

【分析及解】由 f ( x) ? f (2 ? x) 知 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 再由 f ( x) ? f (? x) 和 f ( x) ? f (2 ? x) 得 f (? x) ? f (2 ? x) 所以 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数,再由 f ( x ) 在区间 [1,2] 上是减函数这一条件,就 可以画出 f ( x ) 的示意图,从而选 B.

4

【例 9】 (06 重庆卷)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成 的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

【分析及解】如图所示,单位圆中 ? 的长为 x , f ( x)表示弧 ? 与弦 AB 所围成的弓 AB AB 形面积的 2 倍,当 ? 的长小于半圆时,函数 y ? f ( x) 的值增加的越来越快,当 ? 的 AB AB 长大于半圆时,函数 y ? f ( x) 的值增加的越来越慢,所以函数 y ? f ( x) 的图像是 D。

【例 10】06 浙江卷) a,b ? R,记 max{a,b}= ? ( 对 的最小值是 。
2

?a , a ? b 函数(x) f =max{|x+1|,|x-2|}(x ? R) ?b, a<b

【分析及解】由 x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? x ?
2

1 , 2

? ? x ?1 故 f ?x ? ? ? ? ?x?2 ? ?

1? ? ?x ? ? 2 ? ,其图象如右, ? 1? ? ?x ? ? 2? ?

y=|x-2|

y

y=|x+1|

则 f min ?x ? ? f ? ? ?

?1? ?2?

1 3 ?1 ? 。 2 2

-2 -1

o

1

2

3

4

x

点评:数学中考查创新思维,要求必须要 有良好的数学素养,考查新定义函数的理解、解绝对值不等式,中档题,借形言数。
5

【例 11】 (06 天津卷)函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?(x) 在 ( a, b) 内的图 象如图所示,则函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) D. 4 个

解 析 : 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 开 区 间

y

y ? f ?(x)

( a, b) ,导函数 f ?(x) 在 ( a, b) 内的图象如图所
示,函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值的点 即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为 由负到正的点,只有 1 个,选 A。

b

a

O

x

【例 12】 (06 全国 II)过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧 所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k= 。 【分析及解】 由图形可知点 A (1, 2) 在圆 ( x ? 2) ? y ? 4 的内部, 圆心 C (2,0), 要使得
2 2

劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 l ? CA ,所以 kl ? ? 1 ? ? 1 ? 2 。 kOA 2 ? 2

? x ? 1, ? 2 2 【例 13】 (06 湖南卷)已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?



?x ? 1 ? 2 2 【分析及解】由 ? x ? y ? 1 ? 0 ,画出可行域,得交点 A(1,2),B(3,4),则 x ? y 的 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
最小值是 5。

6

【例 14】已知 u ? 1,v ? 1 且 ?log a u? ? ?log a v ? ? log a au
2 2

求 log a ?uv ? 的最大值和最小值。 【分析及解】令 x ? log a u,y ? log a v , 则已知式可化为

? ? ? log ?av ? ?a ? 1? ,
2 2 a

? x ? 1? 2 ? ? y ? 1? 2

再设 t ? log a ?uv? ? x ? y x ? 0,y ? 0 ,由图可见,则当 线 段

?x ? 0,y ? 0? 与 圆 弧 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 ? x ? 0,y ? 0? 相切时,截距 t 取最
y ? ?x ? t
2 2

?

? 4 ? x ? 0,y ? 0? ,

?

大值 t max ? 2 ? 2 2 (如图 3 中 CD 位置) ;当线段端点是圆 弧端点时,t 取最小值 t min ? 1 ? 3 (如图中 AB 位置) 。因此 log a (uv ) 的最大值是

2 ? 2 2 ,最小值是 1 ? 3 。
【例 15】(2005 年,湖南卷,理 15)设函数 f (x)的图象与直线 x =a,x =b 及 x 轴所围成图 形的面积称为函数 f (x)在[a,b]上的面积,已知函数 y=sinnx 在[0, ∈N*) , (i)y=sin3x 在[0,

? 2 ]上的面积为 (n n n

2? ]上的面积为 3

; . ,需要由此类比 y=sin3x 在

(ii)y=sin(3 x- ? )+1 在[

【分析及解】本题给出了 y=sinnx 在[0, [0,

? 4? , ]上的面积为 3 3 ? 2
n
]上的面积为

2? ? 4? ]上的面积及 y=sin(3x-π )+1 在[ , ]上的面积,这需要寻求相似性,,其思 3 3 3

n

维的依据就是已知条件给出的面积的定义和已知函数的面积,因此要研究这个已知条件, 要注意已知条件所给出的是半个周期的面积,而第(1)问则是 n ? 3 时一个周期的面积 ?

第(2)问又是 y=sin3x 经过平移和翻转后一个半周期的面积,画出 y=sin(3 x- ? )+1 在 [

4 , 3

? 4? 2 , ]上图像,就可以容易地得出答案 ? ? . 3 3 3
y ? ? ? ? ? ?
y

1

x
??

o
-1

?

x o
? ? ? ? ? ?
??

?

??

?

?

??

?

??

?

??

?

7

【例 16】当 s 和 t 取遍所有实数时,则 (s ? 5 ? 3cos t )2 ? (s ? 2sin t )2 所能达到的最小值 是 . 解:曲线 C1

?x ? s ? 5 ? x ? 3cos t :? 上任一点 P 与曲线 C2 : ? 上任一点 Q 之间距离 ? y ? 2sin t ?y ? s

的最小值的平方就是我们要求的最小值。 曲线 C1 是直线 ? x ?

y ? 5 ? 0,

y
A(0,2)

x2 y 2 ? ? 1. 而曲线 C 2 是椭圆 9 4
∵椭圆在直线 ? x ?

? x? y ?5 ? 0
B(3,0)

y ? 5 ? 0 的上方,

∴d

?
2

? 3 cos t ? 2 sin t ? 5 2

?

5 ? (2 sin t ? 3 cos o) t 2

?

5 ? 13 2

x

∴d

(5 ? 13) 2 ? ? 19 ? 5 13 2
2

图4

故 ( s ? 5 ? 3 cos t ) 三 练习

? ( s ? 2 sin t ) 2 的最小值是19 ? 5 13 。
) 5 ; f (x ≤ , 若

2 练习 1. ( (07 广东) 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 3 , f (? ) ? ) 则
则 x 的取值范围是 .
|x |

练习 2 已知0 ? a ? 1,则方程a A. 1 个 B. 2 个

?|log a x| 的实根个数为(
D. 1 个或 2 个或 3 个
2

)

C. 3 个
2

练习 3 如果实数x、y满足 ( x ? 2) ? y ? 3,则

y 的最大值为 ( x

)

A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D. 3

练习 4(07 福建) .已知集合 A ? {x x ? a} B ? {x 1 ? x ? 2} ,且 A ? (?R B) ? R ,则 , 实数 a 的取值范围是( ) A. a ≤ 1 B. a ? 1 C. a ≥ 2 D. a ? 2
8

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 练习 5(07 北京) .若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取 ?0 ≤ x ≤ 2 ?
值范围是( ) 练习 6 07 湖南)设集合 A ? {( x,y) | y ≥| x ? 2 | ,x ≥ 0} , ? {( x,y ) | y ≤ ? x ? b} , ( . B

A? B ? ?, (1) b 的取值范围是

; .

(2)若 ( x,y) ? A ? B ,且 x ? 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是 A. a ? 5 B. a ≥ 7 C. 5 ≤ a ? 7

D. a ? 5 或 a ≥ 7

? x ? y ? 2 ≤ 0, y ? 练习 7 07 辽宁)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ≥ 1, ( . 则 的取值范围是 ( ? x ? y ? 7 ≤ 0, x ?
A. ? ,? 6 C. ? ??, ? ?6, ?? 3? ?



?9 ?5

? ?

B. ? ??, ? ? ? 6, ? ? ?

? ?

9? 5?

6] D. [3,

练习 8 若不等式 4 x ? x 2 ? (a ? 1) x 的解集为 A,且 A ? {x|0 ? x ? 2} , a 的取值范 求 围。 练习 9(07 浙江)不等式 2x ?1 ? x ? 1的解集是 .

练习 10(07 重庆) .已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在 (8, ?) 上为减函数,且函数 ?

y ? f ( x ? 8) 为偶函数,则(
A. f (6) ? f (7)

) C. f (7) ? f (9) D. f (7) ? f (10)

B. f (6) ? f (9)

9

附:函数图象的初等变换
一、平移变换
1、 2、

y ? f ( x) ?????????? y ? f ( x ? a) ?

向左( a ?0)或向右( a?0)平移 a 个单位

y ? f ( x) ??????????? y ? f ( x) ? b ?

向上(b?0)或向下(b?0)平移|b|个单位

二、伸缩变换
? y ? f ( x) ?????????????? y ? f (? x) ?
1 纵坐标保持不变,横坐标扩大(或缩小)为原来的 倍

1、 2、

y ? f ( x) ????????????? y ? Af ( x) ?
横坐标不变,纵坐标扩大(或缩小)为原来的A倍

三、对称变换
1、 2、 3、

y ? f ( x) ???????? y ? f (? x) ?
y ? f ( x) ???????? y ? ? f ( x) ?
? y替换y ,图象关于x轴对称

? x替换x ,图象关于y轴对称

y ? f ( x) ?????????? y ? ? f (? x) ?
y ? f ( x)
x , y互换,图象关于直线y ? x对称 ????????? y ? ?

? x替换x,? y替换y ,图象关于原点对称

4、

f

?1

( x)

5、

y ? f ( x) ????????????? y ? f (| x |) ?
y轴右侧图象保持不变,左侧和右侧关于y轴对称
x轴上侧图象不变, 将下侧图象做x轴的对称图形

? 6、 y ? f ( x ) ????????????? y ? f ( x )

10


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