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2.2.3独立重复试验与二项分布(一)


选修2-3 高二数学 选修

2.2.3独立重复试验 独立重复试验 与二项分布

复习引入
前面我们学习了互斥事件、 条件概率、 前面我们学习了 互斥事件、 条件概率、相互独 互斥事件 立事件的意义 的意义, 立事件的意义, 这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型, 用公式去求概率简便 简便. 考虑的一些模型 ,吻合模型用公式去求概率简便 . 互斥时) ⑴ P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B | A) = P ( A) 相互独立时) ⑶ P ( AB ) = P ( A) P ( B ) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢 求概率还有什么模型呢? 那么求概率还有什么模型呢?

分析下面的试验,它们有什么共同特点? 分析下面的试验 ,它们有什么共同特点? 有什么共同特点 ⑴投掷一个骰子投掷 5 次; 某人射击 0.8, ⑵某人射击 1 次,击中目标的概率是 0.8, 他射击 10 次 ; 实力相等的甲、 ⑶实力相等的甲 、乙两队参加乒乓球团体比 胜制( 赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛); 就算胜出并停止比赛) 一个盒子中装有 个球( ⑷一个盒子中装有 5 个球( 3 个红球和 2 个 黑球) ,有放回地依次从中抽取 个球; 黑球) 有放回地依次从中抽取 5 个球; , 生产一种零件, ⑸生产一种零件 ,出现次品的概率是 0.04, 生产这种零件 4 件.

共同特点是: 多次重复地做同一个试验. 一个试验 共同特点是: 多次重复地做同一个试验.

基本概念
1、 n 次独立重复试验 : 一般地,在相同条件下,重复做 次试验称 一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称 次独立重复试验. 为 n 次独立重复试验 .

次独立重复试验中 在 n 次独立重复试验中, 次试验的结果” 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然, 显然, P ( A1 A2 ? An ) = P ( A1 ) P ( A2 )? P ( An )
独立重复试验的特点: 独立重复试验的特点: ∵“ 相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 相同条件下 ”等价于 各次试验的结果不会受其 1)每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; )每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; 他试验的影响, 他试验的影响, 2)任何一次试验中,A事件发生的概率相同,即相 事件发生的概率相同, )任何一次试验中, 事件发生的概率相同 上面等式成立. ∴上面等式成立 . 互独立,互不影响试验的结果。 互独立,互不影响试验的结果。

探究
投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为 , 投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针尖 向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉 次,仅出现 次 连续掷一枚图钉3次 仅出现1次 向下的概率为 连续掷一枚图钉 针尖向上的概率是多少? 针尖向上的概率是多少?
连续掷一枚图钉3次 就是做 次独立重复试验 次独立重复试验。 连续掷一枚图钉 次,就是做3次独立重复试验。用 Ai (i = 1, 2,3) 表示第i次掷得针尖向上的事件 次掷得针尖向上的事件, 表示“ 表示第 次掷得针尖向上的事件,用 B1 表示“仅出现一次针尖 向上”的事件, 向上”的事件,则 B = ( A A A ) ∪ ( A A A ) ∪ ( A A A ).
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3

彼此互斥, 由于事件 A1 A2 A3 , A1 A2 A3和 A1 A2 A3 彼此互斥,由概率加法公式 得

P ( B1 ) = P ( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) = q 2 p + q 2 p + q 2 p = 3q 2 p

3q2 p. 所以,连续掷一枚图钉3次 仅出现1次针尖向上的概率是 所以,连续掷一枚图钉 次,仅出现 次针尖向上的概率是

思考? 思考?
上面我们利用掷1次图钉,针尖向上的概率为 , 上面我们利用掷 次图钉,针尖向上的概率为p,求 次图钉 出了连续掷3次图钉 仅出现次1针尖向上的概率 次图钉, 针尖向上的概率。 出了连续掷 次图钉,仅出现次 针尖向上的概率。类 似地,连续掷3次图钉 次图钉, 似地,连续掷 次图钉,出现 k (0 ≤ k ≤ 3) 次针尖向 上的概率是多少?你能发现其中的规律吗? 上的概率是多少?你能发现其中的规律吗?

P( B0 ) = P ( A1 A2 A3 ) = q ,
3

P( B1 ) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3q p,
2

P( B2 ) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3qp ,
2

P( B3 ) = P( A1 A2 A3 ) = p 3 .
仔细观察上述等式, 仔细观察上述等式,可以发现

P(Bk ) = C p q , k = 0,1,2,3.
k 3

k 3?k

基本概念
2、二项分布: 、二项分布: 一般地, 次独立重复试验中, 一般地,在n次独立重复试验中,设事件 发生的 次独立重复试验中 设事件A发生的 次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为 发生的概率为p, 次数为 ,在每次试验中事件 发生的概率为 ,那么 次独立重复试验中, 恰好发生k次的概率为 在n次独立重复试验中,事件 恰好发生 次的概率为 次独立重复试验中 事件A恰好发生

P( X = k) = C p (1? p)
k n k

n?k

, k = 0,1,2,..., n.

此时称随机变量X服从二项分布,记作 此时称随机变量 服从二项分布,记作X~B(n,p), 服从二项分布 并称p为成功概率 为成功概率。 并称 为成功概率。

运用n次独立重复试验模型解题 运用 次独立重复试验模型解题
某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 例1某射手每次射击击中目标的概率是 手在10次射击中。 手在 次射击中。 次射击中 次击中目标的概率; (1)恰有8次击中目标的概率; )恰有 次击中目标的概率 (2)至少有 次击中目标的概率。 次击中目标的概率。 )至少有8次击中目标的概率 (结果保留两个有效数字) 结果保留两个有效数字) 求这名射

练习
3 已知一个射手每次击中目标的概率为 p = , 5 求他在5次射击中下列事件发生的概率 次射击中下列事件发生的概率。 求他在 次射击中下列事件发生的概率。
(1)命中一次; )命中一次; (2)恰在第三次命中目标; )恰在第三次命中目标; (3)命中两次; )命中两次; (4)刚好在第二、第三两次击中目标。 )刚好在第二、第三两次击中目标。

运用n次独立重复试验模型解题 运用 次独立重复试验模型解题
在图书室中只存放技术书和数学书, 例2 在图书室中只存放技术书和数学书,任一读者 借技术书的概率为0.2,而借数学书的概率为 , 借技术书的概率为 ,而借数学书的概率为0.8,设 每人只借一本, 名读者依次借书, 每人只借一本,有5名读者依次借书,求至多有 人 名读者依次借书 求至多有2人 借数学书的概率。 借数学书的概率。

变式练习
甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的命中率为 乙投篮的命中率为0.7 , 甲投篮的命中率为 乙投篮的命中率为 每人各投篮3次 每人恰好都投中2次的概率是多 每人各投篮 次,每人恰好都投中 次的概率是多 少?

运用n次独立重复试验模型解题 运用 次独立重复试验模型解题
实力相等的甲、 例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 胜制( 局内谁先赢3局就算胜 赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢 局就算胜 规定 局 胜制 局内谁先赢 出并停止比赛). 出并停止比赛) 局才能取胜的概率. ⑴试求甲打完5局才能取胜的概率. 试求甲打完 局才能取胜的概率 ⑵按比赛规则甲获胜的概率. 按比赛规则甲获胜的概率.

运用n次独立重复试验模型解题 运用 次独立重复试验模型解题
某会议室用5盏灯照明 每盏灯各使用灯泡一只, 盏灯照明, 例4 某会议室用 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型 号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关, 号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该 型号的灯泡的寿命为1年以上的概率为 寿命为2年以上 型号的灯泡的寿命为 年以上的概率为 p1 ,寿命为 年以上 从使用之日起每满年进行一次灯泡更换工作, 的概率为 p2 。从使用之日起每满年进行一次灯泡更换工作, 只更换已坏的灯泡,平时不换。 只更换已坏的灯泡,平时不换。 (1)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和 )在第一次灯泡更换工作中, 更换2只灯泡的概率 只灯泡的概率; 更换 只灯泡的概率; (2)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说, )在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说, 求该盏灯需要更换灯泡的概率; 求该盏灯需要更换灯泡的概率; (3)当 p1 = 0.8, p2 = 0.3 时,求在第二次灯泡更换工作 ) 至少需要更换4只灯泡的概率。(结果保留两个有效数 只灯泡的概率。( 中,至少需要更换 只灯泡的概率。(结果保留两个有效数 字)

运用n次独立重复试验模型解题 运用 次独立重复试验模型解题
假定人在一年365天中的任一天出生的概率是一 例5 假定人在一年 天中的任一天出生的概率是一 样的,某班级有 名同学 名同学, 样的,某班级有50名同学,其中有两个以上的同 学生于元旦的概率是多少?(保留四位小数) 学生于元旦的概率是多少?(保留四位小数) ?(保留四位小数

变式引申
某人参加一次考试, 道题中解对4道则为及 某人参加一次考试,若5道题中解对 道则为及 道题中解对 已知他解一道题的正确率为0.6,是求他能及格 格,已知他解一道题的正确率为 是求他能及格 的概率。 的概率。

解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 乙两队实力相等, 1 1 , 乙获胜的概率为 . 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验, 次独立重复试验, 甲打完 局才能取胜, 局比赛取胜, 且甲第 5 局比赛取胜 , 前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴ 甲打完 5 局才能取胜 1 2 1 2 1 3 2 的概率 P1 = C 4 × ( ) × ( ) × = . 2 2 2 16
局才能取胜” (2) 记事件 A = “ 甲打完 3 局才能取胜” , 局才能取胜” 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 局才能取胜” 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 按比赛规则甲获胜” 事件 D =“按比赛规则甲获胜” 则 D = A + B + C , , 彼此互斥, 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D ) = P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P (C ) 1 3 3 1 1 = + + = . : 答 按比赛规则甲获胜的概率为 . 8 16 16 2 2


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