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空间向量与立体几何部分高考题解析


考点 1.利用空间向量证明空间垂直问题 利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容,考查形式 灵活多样,常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合,考查形式可以是小题,也可以是 解答题的一部分,或解答题的某个环节,题目容易,是高考中的重要得分点. 例 1(2010 辽宁理 19) )已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= N 为

AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点.证明:CM⊥SN; 审题要津:本题空间坐标系易建立,可用坐标法. 证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如图,则 P(0,0,1) ,

1 AB , 2

1 1 1 )N , ( ,0,0) S , (1, ,0) 2 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 1 CM ? (1, ?1, ), SN ? (? , ? , 0) , 2 2 2 ???? ??? ? ? 1 1 因为 CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 , 所以 CM⊥SN . 2 2
C (0,1,0) B , (2,0,0) M , (1,0, 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定(证明)问 题,常用向量法,即通过证明所证直线的方向向量的数量 积为 0 证明两直线垂直. 例 2(2010 天津理 19) 在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,E 、F 分 1 别是棱 BC , CC1 上的点, CF = AB = 2CE , AB : AD : AA1 =

1: 2 : 4 .证明 AF ? 平面 A1ED
审题要津:本题空间坐标系易建立,可用坐标法. 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点, 设

AB ? 1 , 依 题 意 得

, D( 0 , 2 , F (1, 2,1) 0 )

,

? 3 ? A1 (0,0, 4) , E ?1, , 0 ? ? 2 ?
AF · =0. ED 已知 AF ? (1, 2,1) , EA1 ? ? ?1, ? , 4 ? , ED ? ? ?1, , 0 ? 于是 AF · 1 =0, EA
因此, AF ? EA , AF ? ED ,又 EA1 ? ED ? E 1 所以 AF ? 平面 A ED 1 【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题,通常用向量 法,先求出平面的法向量和直线的方向向量,证明平面法向 量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平 面内两条相交直线垂直,再用线面垂直判定定理即可.

??? ?

???? ? ?

3 2

? ? ??? ?

? ?

1 2

? ?

??? ???? ?

??? ??? ? ?

例 3 (2010 年山东文)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA , E 、 G 、 F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点,且 AD ? PD ? 2 MA . 求证:平面 EFG ? 平面 PDC . 审题要津:本题空间坐标系易建立,可用坐标法. 解析:以 A 为原点,向量 DA , AB , AM 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,如图建立坐标 系, AM=1, AD=AB=PD=2,则 B(0,2,0),C(-2,2,0),D(-2,0,0),P(-2,0,2), M(0,0,1), 设 则 则 E(0,1,

??? ??? ???? ? ? ?

1 ),G(-1,1,1),F(-2,1,1), 2

∴ EG =(-1,0,

??? ?

? 1 ??? ), GF =(-1,0,0),设平面 EFG 的法向量 m =( x , y , z ) ,则 2

??? ? ??? ? 1 EG ? m = ? x ? z =0 且 GF ? m = ?x =0,取 y =1,则 x = z =0,∴ m =(0,1,0), 2
易证面 PDC 的法向量为 DA =(2,0,0),

??? ?

∵ m ? DA = 2 ? 0 ? 0 ?1 ? 0 ? 0 =0,

??? ?

∴ m ⊥ DA ,

??? ?

∴平面 EFG ? 平面 PDC

【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题,常向量法,即先建立坐标系,求出两个平 面的法向量,通过证明这两个平面的法向量垂直,即得面面垂直. 考点 2.利用空间向量处理空间平行关系 空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容,考查的形式灵活多 样,常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合,可以是小题,也可以是解答题的一个小 题,题目的难度一般不大,是高考中的得分点之一. 例 4(2010 湖南理 18)在正方体 ABCD ? A B1C1D1 ,E 是棱 DD1 的中点。在棱 C1D1 上是 1 否存在一点 F,使 B1F ∥平面 A BE ?证明你的结论。 1 审题要津:本题坐标系易建立,可用向量法求解. 解析:以 A 为坐标原点,如图建立坐标系,设正方形的棱长 为 2,则 B(2,0,0),E(0,2,1), A (0,0,2), B1 (2,0,2), 1

∴ BE =(-2,2,1), BA1 =(-2,0,2) , 设面 BEA1 的法向量为 m =( x , y , z ) ,则

??? ?

????

???? ??? ? m ? BE = ?2 x ? 2 y ? z =0 且 m ? BA1 = 2 x ? 2 z =0,取 x =1,
则 z =-1, y =

3 3 ,∴ m =(1, ,-1), 2 2

假设在棱 C1D1 上存在一点 F,使 B1F ∥平面 A BE ,设 F( x0 ,2,2)(0≤ x0 ≤2), 1

则 BF =( x0 ? 2 ,2,2) 则 m ? BF = 1? ( x0 ? 2) ? ,

??? ?

??? ?

3 ? 2 ? (?1) ? 2 =0, 2

解得 x0 =1, ∴当 F 为 C1D1 中点时, B1F ∥平面 A BE . 1 【点评】 对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法, 有两种思路: (1) 用共面向量定理, 证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来, 即这三个向量共线, 根 据共面向量概念和直线在平面外,可得线面平行; (2)求出平面法向量,然后证明法向量与 直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题,通常先假设成立,设出相关点的坐标,利用相 关知识,列出关于坐标的方程,若方程有解,则存在,否则不存在.注意, (1)设点的坐标 时, 利用点在某线段上, 设出点分线段所成的比, 用比表示坐标可以减少未知量, 简化计算;(2) 注意点的坐标的范围. 例 5 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱垂直于底面, 在底面 ABC 中 ?ABC = 90 ,D 是 BC 上
0

一点,且 A B ∥面 AC1D , D1 为 B1C1 的中点,求证:面 A BD1 1 1 ∥面 AC1D . 审题要津:本题的坐标系容易建立,可用向量法. 解析:以 B 点为原点,如图建立坐标系,设 AB= a ,BC= 2b , , BB1 = c ,则 A( a ,0,0) C1 (0, 2b , c ), B1 (0,0, c ), A1 ( a , 0, c ), ∴ D1 (0, b , c ),设 D(0, y0 ,0)(0≤ y0 ≤ 2b ) ,

∴ AD =(- a , y0 ,0), AC1 =(- a , 2b , c ), BA1 =( a ,0,

????

???? ?

????

???? ? , c ), BD1 =(0, b , c )
设 面 A C D的 法 向 量 为 m =( x1 , y1 , z1 ) , 则 m ? AD = ?ax1 ? y0 y1 =0 且 1

????

c ay0 ? 2ab 则 m =( y0 , a , ) , 又∵ A B ∥面 AC1D , 1 c ???? ay ? 2ab ab ∴ m ? BA = ay0 ? c ? 0 =0,解得 y0 = b , ∴ m =( b , a , ? ) , 1 c c
设面 A BD1 的法向量为 n =( x2 , y2 , z2 ),则 n ? BA1 = ax2 ? cz2 =0 且 n ? BD1 = by2 ? cz2 =0, 1 取 z2 =1,则 x2 = ? ∴ n= ?

???? ? ay ? 2ab , m ? AC1 = ?ax1 ? 2by1 ? cz1 =0,取 y1 = a ,则 x1 = y0 , z1 = 0

????

???? ?

c c c c , y2 = ? ,则 n =( ? , ? ,1), a b a b
∴ m ∥ n, ∴面 A BD1 ∥面 AC1D . 1

c m, ab

【点评】对面面平行问题的向量方解法有两种思路, (1)利用向量证明一个面内两条相交直 线分别与另一个平面平行,根据面面判定定理即得; (2)求出两个平面的法向量,证明这两

个法向量平行,则这两个面就平行. 考点 3 利用空间向量处理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题 异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点,常与探索性 问题、平行问题、垂直等问题结合,重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定 理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力,是立体几何中的难点,难度为中档难度. 例 6(2010 天津理 19) 在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别是棱 BC , CC1 上的点, 1

CF ? AB ? 2CE , AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4 (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值;
(2)求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。 审题要津:本题坐标系易建立,可以向量法. 解析:如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点,设

? 3 ? AB ? 1 ,依题意得 D(0, 2,0) , F (1, 2,1) , A1 (0,0, 4) , E ?1, , 0 ? ? 2 ?
(1) 证 明 : 易 得 EF ? ? 0, ,1? , A D ? (0,2, ?4) , 于 是 1

???? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? E ?? A D 3 ? F ? 3 1 c o s F 1 , D ? ? ? ? ? ? ??? ? 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 E A ? ? , 5 E F 1A D 5
??? ?

(2)解:设平面 EFD 的法向量 n = ( x, y, z ) ,则 n ? EF = 不妨令 x =1,可得 n =(1,2,-1),

??? 1 ? ??? ? 1 y ? z =0 且 n ? ED = ? x ? y =0, 2 2

设平面 A1ED 的法向量 m = m , ,p ) m ? ED = ? m ? ( 则 n 取 p =1,则 n =2, m =1,则 m =(1,2,1) 于是 cos n,m =

??? ?

???? ? 1 n =0 且 m ? DA1 = ?2n ? 4 p =0, 2

n?m 2 5 = ,从而 sin n,m = , |n || m | 3 3

所以二面角 A1 -ED-F 的正弦值为

5 3

【点评】 (1)对异面直线夹角问题,先求出两条异面直线的方向向量分别为 m 、 n ,在求 出 m 、 n 的夹角,设两异面直线的夹角 ? ,利用 cos ? = | cos m,n | 求出异面直线的夹角, 注意: (1)异面直线夹角与向量夹角的关系;(2)对二面角 ? ? l ? ? 的大小问题,先求出平 面 ? 、 ? 的法向量 m 、 n ,再求出 m 、 n 的夹角,在 ? 内取一点 A,在 ? 内取一点 B,设 二面角 ? ? l ? ? 大小为 ? ,若 n ? AB 与 m ? AB 同号,则 ? = m,n ,若 n ? AB 与 m ? AB

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

异号,则 ? = ? ? m,n ,注意二面角大小与法向量夹角的关系. 例 7( 2010 全国卷 I 理 7)正方体

ABCD- A1B1C1D1 中,

B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为 A
2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3

审题要津: 本题是正方体中的线面关系问题, 可用空间向量法 求解. 解析: 如图建立坐标系, 设正方体棱长为 1, 1 与面 ACD1 的夹角为 ? , D(0,0,0),C(0,1,0), 则 BB B(1,1,0),A(1,0,0), D1 (0,0,1), B1 (1,1,1), ∴ AC = (-1, ,AD1 =(-1,0,1), BB1 =(0,0,1), 1,0) 设面 ACD1 的法向量 n = x ,y ,z ) 则 0= AC ? n = ? x ? y 且 0= AD1 ? n = ?x ? z , x =1, ( , 取

??? ?

???? ?

????

????

???? ?

????? 3 6 | BB1 ? n | 则 y =1, z =1, ∴ n =(1,1,1) ,∴ sin ? = ????? = ,∴ cos ? = ,故选 D. 3 | BB1 | ? | n | 3
【点评】对于线面夹角问题,若容易建立坐标系,则常用坐标法,建立坐标系,求出线面夹 角问题中三位直线的方向向量 m 和平面法向量 n ,设线面角为 ? ,则直线方向向量 m 在平 面法向量 n 方向上的投影的长度

| m?n| | m?n| 与直线方向向量 m 的模之 | m | 比 就是线 |n| | m || n |

面夹角的正弦值,即 sin ? =

| m?n| . | m || n |


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