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4.2 答案专题四


高一数学专题复习

专题四
一.知识提要 1.若数列 ?a n ?的通项公式 a n 满足

数列(2)

an ? an?1 ? f (n) ,则 a

n

? _______________

bn ? g (n) ,则 b 2.若数列 ?bn

? 的通项公式 bn 满足 n bn ?1

? _______________

3.自己归纳 求数列的通项公式、前 n 项和的基本方法 4.自己归纳 由递推关系可转化为等差数列或等比数列的问题的处理方法 5.单利问题和复利问题 二.基础训练 1.若关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 和 x ? x ? b ? 0 (a ? b) 的四个根可组成首项为
2 2

差数列,则 a ? b ? A.

1 的等 4


( B.

3 8

11 24

C.

13 24

D.

31 72

2.现有 200 根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余 钢管的根数为 ( ) A.9 B.10 C.19 D.29 3.一套共 7 册的书计划每 2 年出一册,若名册书的出版年份之和为 13979,则出齐这套书 的年份是 ( ) A.1997 B.1999 C.2001 D.2003 4.设 an=-n
2

+10n+11,则数列{an}从首项到第

项的和最大. .

5.已知数列{an}对任意的

p,q∈N*满足 ap+q=ap+aq 且 a2=-6,那么 a10=

6.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…的第 100 项是
7.数列{an}的通项公式是
? n ?

.

an=1-2n,其前 n 项和为 Sn,
.

Sn ? 则数列 ? ? ? 的前 n 项和为

8.等比数列{an}前 n 项的积为 Tn,若 a3a6a18 是一个确定的常数,那么 数列 T10,T13,T17,T25 中也是常数的项是
.

1

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三.典型例题 例 1.已知数列{an}的通项公式 a n ? 4n ? 25 ,求数列 a n 的前 n 项和 Tn 。

? ?

an ? 4n ? 25 ? 0, 1 ? n ? 6, an ? 0 n ? 7, an ? 0 Tn ? ?( a1 ? a2 ? ... ? an ) ? =2n 2 ? 23n ? 132 n (49 ? 4n) 2 Tn ? ?( a1 ? a2 ? ... ? a6 ) ? ( a7 ? ... ? an )

2

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例 2.求和: Sn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ... ? n a a a a

n( n ? 1) 2 1 2 3 n (2)a ? 1时 S n ? ? 2 ? 3 ? ... ? n a a a a 1 1 2 n?1 n Sn ? ? ? ... ? ? a a2 a3 an a n?1 1? 1 1 1 1 n ? ? 1 ? a ? S n ? a ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n ?1 a a a a ? ? 1 1 (1 ? n ) a ? n ? a 1 a n?1 1? a n a (a ? 1) ? n(a ? 1) Sn ? a n (a ? 1)2 解: ( 1 ) a ? 1时 , S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

.

? n( n ? 1) (a ? 1) ? 2 ? 综上所述,S n ? ? n . ? a (a ? 1) ? n(a ? 1) (a ? 1) ? a n (a ? 1)2 ?

1? ? 例 3.已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S n 2 ? an ? Sn ? ? 2? ?

(1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn ?
Sn ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n ? 1

3

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1? ? () 1 S n 2 ? an ? S n ? ? 2? ? 1? ? S n 2 ?(S n ? S n ?1) S ? ? n ? 2? ? 2S n ?1 S n ? S n ?1 ? S n ①

an ? S n ? S n ?1,(n ? 2 )

S n ?1 ? S n ? 0 1 1 ? ?2 S n S n ?1

①式两边同除以S n ?1 ? S n,得

? 1 ? 1 1 数列 ? ? 是首项为 ? ? 1, 公差为2的等差数列 S S a 1 1 ? n? 1 1 ? 1? 2 (n ? 1 )? 2n ? 1, Sn ? Sn 2n ? 1

() 2 bn ? ?

Sn 1 ? 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1)

1? 1 1 ? ? ? 2? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

Tn ? b1 ? b 2 ? ? ? bn ? ? 1 ?? 1? ?1 1? 1 ?? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2? 3 ? ? ? ? ? ?? ? 1? 1 ? n 1 ? ? 2? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 1

4

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例 4.已知数列{an}、{bn}满足:a1=2,b1=1,

3 1 ? a ? a ? b ? 1, ? ? n 4 n ?1 4 n ?1 ? 1 3 且 ?b ? a ? bn ?1 ? 1 (n≥2). n n ?1 ? 4 4 ?
(1)令

cn=an+bn,求数列{cn}的通项公式;

(2)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式 Sn.

解 : () 1 当n ? 2时 c n ? an ? b n 1 3 ?3 ? ?1 ? ? ? an ?1 ? bn ?1 ? 1 ? ? ? an ?1 ? bn ?1 ? 1 ? 4 4 ?4 ? ?4 ? ? an ? 1 ? b n ?1 ? 2 cn ? cn ?1 ? 2, cn ? cn ?1 ? 2 ( n ? 2) ? 数列{cn }为等差数列, 首项 c1 ? a1 ? b1 ? 3, 公差d ? 2 cn ? 3 ?(n ? 1 ) ? 2 ? 2n ? 1

5

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() 2 当n ? 2时 3 1 ? a ? a ? b ?1 ? ? n 4 n ?1 4 n ?1 ? ?b ? 1 a ? 3 b ? 1 n n ?1 n ?1 ? ? 4 4 1 an ? bn ? (an ?1 ? bn ?1 ) (n ? 2 ) 2 ? 数列{an ? b n }为等比数列, 1 首项为a1 ? b1 ? 1,公比q ? 2
?1? an ? bn ? ? ? 2 ? ? a n ? bn ? 2n ? 1
n ?1

③ ④
n ?1

?1? 2a n ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ? ? 1? 1 ? an ? ? n ? ? ? 2 2n ? ?

6

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1? ? 1? 1? ? ? S n ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ... ? ? n ? ? 2? ? 2? 2? ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? 2 ??? n ? 2 ? ?2 2 1 1 (1 ? n ) n(1 ? n ) n 2 2 ? ? ? 1 2 2 1? 2 n2 1 ? ? n?1? n 2 2
例 5.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以后 每年交纳的数目均比上一年增加 d(d>0),因此, 历年所交纳的储备金数目 a1,a2,… 是一个公差为 d 的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率, 而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为 r(r>0),那么,在第 n 年末,第一年所交 纳的储备金就变为

a1(1+r)

n-1

,第二年所交纳的储备金就变为

a2(1+r)

n-2

,…….以

Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额.
(1)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; (2)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列.
(1)解 (2)证明
2

我们有 Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2). T1=a1,对 n≥2 反复使用上述关系式,得

Tn=Tn-1(1+r)+an =Tn-2(1+r) +an-1(1+r)+an =… =a1(1+r) +a2(1+r) + ① 在①式两端同乘 1+r,得 (1+r)Tn=a1(1+r) +a2(1+r) +…+an-1(1+r) +an(1+r).
n n-1 2 n-1 n-2



+an-1(1+r)+an.

7

高一数学专题复习 ② ②-①,得 rTn=a1(1+r) +d[(1+r) +(1+r) +…+(1+r)]-an =
n n-1 n-2

d n n [(1+r) -1-r]+a1(1+r) -an, r

即 Tn=

a1r ? d r
2

(1+r) -

n

a r?d d n- 1 . r r2
n

如果记 则

An=

a1r ? d r2
a1r ? d r
2

(1+r) ,Bn=-

a1r ? d r2

-

d n, r

Tn=An+Bn, (1+r)为首项, 以 1+r (r>0) 为公比的等比数列; {Bn}是以-

其中{An}是以

a1r ? d r2

-

d d 为首项, r r

为公差的等差 数列.

四.课后练习

1.已知数列{an}满足

an ? 1

2 n ?1 ? an ? , a1 ? 2 ,求数列{a }的通项公式. n?1 an ? 2
n

8

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解 : an ? 1 1 an ?1

2n?1 ? an ? , n ?1 an ? 2

a1 ? 2

1 1 ? ? n?1 an 2

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 , ? ? 3 , a2 a1 2 a3 a2 2 1 1 1 1 1 1 ? ? 4 , ? ? n a4 a 3 2 a n a n ?1 2 以上(n ? 1)个式子相加得 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n an a1 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 2 2 ? ? 1? n 1 an 2 1? 2 2n an ? n 2 ?1
.

2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an +bn+c(n∈N ) ,且 S1=3,S2=7,S3=13,
2 *

9

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(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 ?
? 1 ? ? 的前 n 项和 ? a n a n?1 ?

Tn.



?a ? b ? c ? 3, ?a ? 1, ? ? (1)由已知有 ?4a ? 2b ? c ? 7, 解得 ?b ? 1, ?9a ? 3b ? c ? 13, ?c ? 1, ? ?
2

所以 Sn=n +n+1. 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n +n+1-[(n-1) +(n-1)+1]=2n,
2 2

?3, 所以 an= ? ?2n,
(2)令 bn=

n ? 1, n ? 2.

1 1 1 ,则 b1= = . 12 a1a 2 a n ? a n ?1

当 n≥2 时,bn= 所以 b2+…+bn = =

1 1 1 ? ?1 = ·? ? ?. n n ?1? 2n ? 2(n ? 1) 4 ?

1 ?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? 4 ?2 3 3 4 n n ?1?

n ?1 . 8(n ? 1)
1 n ?1 + 12 8(n ? 1)

所以 Tn= =

5n ? 1 * (n∈N ). 24(n ? 1)

3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,nan+1=(n+2)Sn (n∈N ).
*

(1)求证:数列 ?

? Sn ? ? 为等比数列; ? n ?

(2)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (3)若数列{bn}满足:b1= ,
(1)证明 整理得
1 bn?1 2 n ?1

=

bn ? S n (n∈N*),求数列{bn}的通项公式. n

将 an+1=Sn+1-Sn 代入已知 nan+1=(n+2)Sn;

S n ?1 S * =2× n (n∈N ). n ?1 n S1 =1, 1

又由已知

10

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?S ? 所以数列 ? n ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. ? n ?
(2)解 由(1)的结论可得

S n n-1 n-1 =2 ,∴Sn=n·2 , n
n-2

当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=n·2 -(n-1) ·2 =2 (n+1). 由已知,a1=1,又当 n=1 时,2 (n+1)=1, ∴an=(n+1)2 (n∈N ). (3)解 由
n-2 * n-2 n-1 n-2

bn?1 bn ? S n b b * n-1 = (n∈N ),得 n?1 = n +2 , n ?1 n n ?1 n

由此式可得

bn bn?1 n-2 = +2 , n n ?1

bn?1 bn ?2 n-3 = +2 , n ?1 n ? 2

b 3 b2 3-2 = +2 , 3 2

b2 b1 2-2 = +2 . 1 2
把以上各等式相加得,

bn n-2 n-3 3-2 2-2 =2 +2 +…+2 +2 +b1. n
∵b1= ∴bn=

b 1 1 ? 2 n?1 1 ,∴ n = + , 2 2 1? 2 n

n n * (2 -1) (n∈N ). 2

4.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 an=Sn-1+2(n≥2) ,a1=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设

bn= log1 a ,Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最大的正整数
2 n

k,使得对于任意

的正整数 n,有 Tn>

k 12

恒成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.
① an+1=Sn+2

解 (1) 由已知 an=Sn-1+2 得 ② ②-①,得 an+1-an=Sn-Sn-1 (n≥2),

11

高一数学专题复习 ∴an+1=2an (n≥2). 又 a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1, ∴an+1=2an (n=1,2,3,…) 所以数列{an}是一个以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴an=2·2 =2 . (2)bn=
n-1 n

1 1 1 = = , log2 an log2 2 n n

∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n= Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1) =

1 1 1 + +…+ , n ?1 n ? 2 2n

1 1 1 1 1 + + …+ + + . n?2 n?3 2 n 2 n ? 1 2n ? 2 1 1 1 + 2 n ? 1 2n ? 2 n ? 1

∴Tn+1-Tn= = =

2(n ? 1) ? (2n ? 1) ? 2(2n ? 1) 2(2n ? 1)(n ? 1) 1 . 2(2n ? 1)(n ? 1)

∵n 是正整数,∴Tn+1-Tn>0,即 Tn+1>Tn. ∴数列{Tn}是一个单调递增数列, 又 T1=b2= 要使 Tn>
1 1 ,∴Tn≥T1= , 2 2 k 1 k 恒成立,则有 > ,即 k﹤6, 12 2 12 k 恒成立 12

又 k 是正整数,故存在最大正整数 k=5 使 Tn>

5.已知数列{an}和{bn}满足:a1= ? ,an+1=

2 3

an+n-4,bn=(-1) (an-3n+21),其中 ?

n

为实数,n 为正整数. (1)证明:对任意实数 ? ,数列{an}不是等比数列; (2)证明:当 ? ≠-18 时,数列{bn}是等比数列; (3)设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n,都有 Sn>-12?若 存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.
(1)证明 ??
?2 ? ?4 ? 假设存在一个实数 ? ,使{an}是等比数列,则有 a 2 2 =a1a3,即 ? ? ? 3 ? = ? ? ? ? 4 ? 3 9 ? ? ? ?
2

4 2 4 ? -4 ? +9= ? 2-4 ? ? 9=0,矛盾. 9 9

所以{an}不是等比数列. (2)证明 因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n+1)+21]
n+1

12

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?2 ? n+1 an ? 2n ? 14 ? =(-1) ? ?3 ?
=2 2 n (-1) ·(an-3n+21)=bn. 3 3

又 ? ≠-18,所以 b1=-( ? +18)≠0. 由上式知 bn≠0,所以

bn?1 2 * =- (n∈N ). 3 bn
2 为公比的等比数列. 3

故当 ? ≠-18 时,数列{bn}是以-( ? +18)为首项,(3)解 当 ? ≠-18 时,由(2)得:
n?1

? 2? bn=-( ? +18)· ? ? ? ? 3?

,

于是 Sn=-

? ? 2 ?n ? 3 ( ? +18)· ?1 ? ? ? ? ? . 5 3? ? ? ? ? ?

当 ? =-18 时,bn=0,从而 Sn=0,上式成立. 要使对任意正整数 n,都有 Sn>12. 即? ? 2 ?n ? 3 ( ? +18 )· ?1 ? ? ? ? ? >-12 5 3? ? ? ? ? ?

?? ?<

20 ? 2? 1? ?? ? ? 3?
n

-18.

? 2? 令 f(n)=1- ? ? ? ,则 ? 3?

n

当 n 为正奇数时,1<f(n)≤ 当 n 为正偶数时,

5 ; 3

5 ≤f(n)<1, 9 5 . 3

所以 f(n)的最大值为 f(1)= 于是可得 ? <20 ?
3 -18=-6. 5

综上所述,存在实数 ? ,使得对任意正整数 n 都有 Sn>-12, ? 的取值范围为(-∞,-6).

13


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