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2015-2016高中数学 1.7 定积分的简单应用课时作业 新人教A版选修2-2


课时作业(十三)

定积分的简单应用
)

A 组 基础巩固 1.在下面所给图形的面积 S 及相应的表达式中,正确的有(

A.①③ C.①④

B.②③ D.③④

解析:①应是 S=?b[f(x)-g(x)]dx,

?a

②应是 S=? 2 2xdx-?8(2x-8)dx,

8

?0

?4

③和④正确.故选 D. 答案:D 2.?1 1-(x-1) dx 等于(
2

?0

)

π π B. 4 2 C.π D.2π 2 2 2 2 解析:令 y= 1-(x-1) ,则(x-1) +y =1(y≥0),因而?1 1-(x-1) dx 表示圆(x-

A.

?0

1 π 2 2 2 1) +y =1 在 x 轴上方 x∈[0,1]的面积,即圆面积的 ,即?1 1-(x-1) dx= . 4 4 ?
0

答案:A 2 3.曲线 y=x +2x 与直线 x=-1,x=1 及 x 轴所围图形的面积为( 8 A.2 B. 3 4 2 C. D. 3 3

)

-1-

解析:S=-?0 ?0-1(x +2x)dx+?1(x +2x)dx

?-1?

2

2

?0

?1 3 2? 0 ?1 3 2? 1 2 4 =-? x +x ?|-1+? x +x ?|0= + =2. 3 3 ?3 ? ?3 ? 答案:A 2 4.以初速 40 m/s 竖直向上抛一物体,t s 时刻的速度 v=40-10t ,则此物体达到最高 时的高度为( ) 160 80 A. m B. m 3 3 40 20 C. m D. m 3 3 2 2 解析:由 v=40-10t =0? t =4,t=2. 10 3? 2 ? 2 ∴h=?2(40-10t )dt=?40t- t ?|0 3 ? ? ?
0

80 160 =80- = (m).故选 A. 3 3 答案:A 5.如图,阴影部分的面积是(

)

A.2 3 B.2- 3
32 35 D. 3 3 2 解析:阴影部分的面积 S=?1 (3-x -2x)dx

C.

?-3

=?3x-

? ?

1 3 32 2 ?1 x -x ? ??-3= 3 . 3 ?? )

答案:C 2 6.由抛物线 y=x -x,直线 x=-1,x=1 及 x 轴围成的图形面积为( 2 A. B.1 3 4 5 C. D. 3 3 解析:S=?0 (x -x)dx+
2

?-1

=1.

答案:B 2 7.抛物线 y=-x +4x-3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积为 ________. 解析:由 y′=-2x+4 得在点 A、B 处切线的斜率分别为 2 和-2,则两直线方程分别为 y=2x-2 和 y=-2x+6, ? ?y=2x-2, 由? 得两直线交点坐标为 C(2,2), ?y=-2x+6, ? ∴S=S△ABC-?3(-x +4x-3)dx
2

?1

-2-

1 2 ? 1 3 ? 3 = ×2×2-?- x +2x -3x?|1 2 ? 3 ? 4 2 =2- = . 3 3 2 答案: 3 2 8.已知函数 f(x)=3x +2x+1,若?1 f(x)dx=2f(a)成立,则 a 的值为__________.

?-1

解析:? f(x)dx=?

1

1

?-1

?-1

(3x +2x+1)dx,取 F(x)=x +x +x,
2 2

2

3

2

则 F′(x)=3x +2x+1,原式=F(1)-F(-1)=4,所以 2(3a +2a+1)=4,即 3a +2a 1 -1=0,解得 a=-1 或 a= . 3 1 答案:-1 或 3 2 9. 汽车以每小时 32 km 的速度行驶, 到某处需要减速停车, 设汽车以加速度 a=-1.8 m/s 刹车,则从开始刹车到停车,汽车所走的路程约为__________. 32×1 000 80 解析:当 t=0 时,v0=32 km/h= m/s= m/s.刹车后减速行驶,v(t)=v0+ 3 600 9 400 80 80 400 at= -1.8t.停止时, v(t)=0, 则 -1.8t=0, 得 t= s, 所以汽车所走的距离 s=? ? 81 9 9 81

2

?0

?80 1 2 ? v(t)dt=? t- t ×1.8? ≈21.95(m). 2 ?9 ? 答案:21.95 m 10.求由曲线 xy=1 及直线 x=y,y=3 所围成平面图形的面积.

400 | 081

解析:作出曲线 xy=1,直线 x=y,y=3 的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.
?xy=1, ? 求交点坐标:由? ?y=3, ? ?xy=1, ? 由? ?y=x ? ?x=1, ? 得? ?y=1 ?

1 ? ?x= 得? 3 ? ?y=3,
?x=-1, ? 或? ?y=-1 ?

?1 ? 故 A? ,3?; ?3 ?
(舍去),故 B(1,1); 故 C(3,3) ,



? ?y=x, ? ?y=3 ?



? ?x=3, ? ?y=3, ?

B 组 能力提升
x y 11.椭圆 + =1 所围区域的面积为________. 16 9
2 2

-3-

x y 3 2 解析:由 + =1,得 y=± 16-x . 16 9 4 又由椭圆的对称性知,椭圆的面积为 S=4?4
0

2

2

3 2 2 16-x dx=3?4 16-x dx. 4 ? ?
0 2 2

由 y= 16-x ,得 x +y =16(y≥0). 由定积分的几何意义知?4 16-x dx 表示由直线 x=0, x=4 和曲线 x +y =16(y≥0)及 x
2

2

2

2

?0

轴所围成图形的面积, 1 2 ∴?4 16-x dx= ×π ×16=4π , 4 ?
0

∴S=3×4π =12π . 答案:12π 2 12.由曲线 y=x +4 与直线 y=5x 所围成的平面图形的面积是________. 2 ?y=x +4, ?x=1, ?x=4, ? ? ? 解析:由? 得? 或? ? ? ? ?y=5x, ?y=5 ?y=20. 如图,所求面积为 S=?4 (5x-x -4)dx=
2

?1

1 3 ?5 2 ?? =?40-64-16?- ?2x - 3x -4x??4 1 ? ? 3 ?? ? ? ? ?5-1-4?=9. ?2 3 ? 2 ? ?

9 答案: 2 4 2 13.已知抛物线 y=x -2x 及直线 x=0,x=a,y=0 所围成的平面图形的面积为 ,求 a 3 的值.

? ?a≤0, 解得? 3 2 ?a -3a +4=0 ? ? ?0<a≤2, 或? 3 2 ?a -3a +4=0 ? ? ?a>2, 或? 3 2 ?a -3a +4=0 ?

-4-

∴得 a=-1 或 a=2,∴a 的值为-1 或 2. 3 2 14.函数 f(x)=ax +bx -3x,若 f(x)为实数集 R 上的单调函数,且 a≥-1,设点 P 的 坐标为(b,a),试求出点 P 的轨迹所形成的图形的面积 S. 解析:当 a=0 时,由 f(x)在 R 上单调,知 b=0. 2 当 a≠0 时,f(x)在 R 上单调?f′(x)≥0 恒成立或 f′(x)≤0 恒成立.∵f′(x)=3ax +2bx-3,
? ?Δ =4b +36a≤0, ∴? ? ?a≥-1.
2

1 2 ∴a≤- b 且 a≥-1. 9

1 2 因此满足条件的点 P(b,a)在直角坐标平面 xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线 y=- x 9 与直线 y=-1 所围成的封闭图形. 1 ? ?y=- x2, 9 联立? ? ?y=-1, 解得?
? ?x=-3, ?y=-1 ?

或?

? ?x=3, ?y=-1, ?

如图,

? ? x? 其面积 S=?3 ?1- ?dx=?x- 9 ? ? ? ?
2 -3

x ??3 ?-3=(3-1)-(-3+1)=4. 27? ??
3 2

15.一点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t -4t+3(m/s)运动,求: (1)在 t=4 s 时的位置; (2)在 t=4 s 时运动的路程. 解析:(1)在时刻 t=4 s 时该点的位置为 ?1t3-2t2+3t?|4=4(m), 2 4 ? 0 3 ? (t -4t+3)dt=? ?3 ? ?
0

4 m. 3 2 (2)因为 v(t)=t -4t+3=(t-1)(t-3), 所以在区间[0,1]及[3,4]上,υ (t)≥0,在区间[1,3]上,v(t)≤0, 所以在 t=4 s 时的路程为 2 3 (t -4t+3)dt? 2 s=?1(t -4t+3)dt+?? + ? 即在 t=4 s 时该点距出发点

?0
2

?

1

?

? (t -4t+3)dt=? (t -4t+3)dt-? (t -4t+3)dt+? (t -4t+3)dt=4(m), ?3 ?0 ?1 ?3
即在 t=4 s 时运动的路程为 4 m.

4

1

2

3

2

4

2

-5-


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