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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第6课 二次函数的最值


考纲要求
会求二次函数在闭区间上的最值.

知识梳理
二次函数在某一闭区间上的最值: 首先将二次函数式化为 y ? a( x ? k ) ? h 的形式.
2

1.若顶点的横坐标在给定的区间上,则 当 a ? 0 时, 在顶点处取得 最小 值, 在离对称轴较远的端点处取得 最大 值. 当 a ? 0 时, 在顶点处取得 最大 值, 在离对称轴较远的端点处取得 最小 值.

2.若顶点的横坐标不在给定的区间上,则 当 a ? 0 时,
最小值 在距离对称轴较近的端点处取得,

最大值 在距离对称轴较远的端点处取得.

当 a ? 0 时,
最大值 在距离对称轴较近的端点处取得, 最小值 在距离对称轴较远的端点处取得.

基础自测
1.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在 [?1, 0] 上的最小值是(
2



A. ?1 C. 1
【答案】B

B. 0 D. 3

2.当 0 ? x ? 3 时,二次函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 的值域为
2



) A. [ f (1), f (0)] C. [ f (3), f (0)] B. [ f (2), f (3)] D. [ f (2), f (0)]

【答案】D 【解析】∵ f ( x) ? ( x ? 2) ? 1 , 0 ? x ? 3 ,
2

∴ f ( x) min ? f (2) , f ( x) max ? f (0) .

3.函数 f ( x) ? 2 ? 2 x ? x , x ? [0,3] 的值域是(
2

)

A. (??,3] C. [?2,3]

B. [?1,3] D. (?3, ??)

【答案】B 【解析】∵ f ( x) ? ?( x ? 1) ? 3 , x ? [0,3] ,
2

∴ f ( x)min ? f (3) ? ?1 , f ( x)max ? f (1) ? 3 .

4.函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 在 [0, m] 上有最大值 3 ,最小值
2

2 ,则 m 的取值范围是(
A. [1, ??) C. (??, 2]
【答案】D

) B. [0, 2] D. [1, 2]

【解析】∵ f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ,
2 2

且 f (0) ? 3, f (1) ? 2, f (2) ? 3 , ∴由二次函数的图象可知, 1 ? m ? 2 .

典例剖析
考点1 定区间定轴的最值求法

【例 1】求函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 , x ?[?2, 2] 的最大值和 最小值.

【解析】 y ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1) ? 4 ,
2 2

∴当 x ? 1时, ymin ? ?4 , 当 x ? ?2 时, ymax ? 5 .

【变式】求函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 , x ?[?1, 2] 的最大值和
2

最小值.

【解析】 y ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1) ? 4 ,
2 2

∴当 x ? ?1 时, ymin ? 0 , 当 x ? 1 时, ymax ? 4 .

考点2 动区间定轴的最值求法

【例 2】已知二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ,当 x ? [t , t ? 1] 上有
2

最大值 g (t ) ,求 g (t ) 的解析式.

【解析】 (1)∵ f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ,对称轴是 x ? 1 .
2

2t ? 1 1 当 ? 1 ,即 t ? 时,有 g (t ) ? f (t ) ? t 2 ? 2t ? 2 , 2 2 2t ? 1 1 2 当 ,即 t ? 时,有 g (t ) ? f (t ? 1) ? t ? 1 , ?1 2 2

1 ?2 ?t ? 2t ? 2???t ? 2 , ? ∴ g (t ) ? ? ?t 2 ? 1,???????t ? 1 . ? ? ? 2

【变式】已知二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ,当 x ? [t , t ? 1] 上
2

有最小值 ? (t ) ,求 ? (t ) 的解析式.

【解析】当 t ? 1 ? 1 ,即 t ? 0 时, ? (t ) ? f (t ? 1) ? t ? 1 ,
2

当 t ? 1 ? t ? 1,即 0 ? t ? 1 时, ? (t ) ? f (1) ? 1 , 当 t ? 1时, ? (t ) ? f (t ) ? t ? 2t ? 2 ,
2

?t 2 ? 1????????????t ? 0, ? ∴ ? (t ) ? ?1,?????????????????0 ? t ? 1, ? ?t 2 ? 2t ? 2????t ? 1. ?

考点3 定区间动轴的最值求法

【例 3】 已知二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 , x ? [0, 2] 上有最大 当
2

值 g ( a ) ,求 g ( a ) 的解析式.

【解析】∵ f ( x) ? ( x ? a) ? a ? 1 ,对称轴是 x ? a .
2 2

当 a ? 1 时, g (a) ? f (2) ? 3 ? 4a , 当 a ? 1 时, g (a) ? f (0) ? ?1,

?3 ? 4a???a ? 1, ∴ g (a) ? ? ? ??1,??????a ? 1.

【变式】 (2012 台州调研)已知 y ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在
2

x ? [0,1] 时有最大值 2 ,求 a 的值.

【解析】二次函数的对称轴是 x ? a (1)当 a ? 0 时,则 x ? 0 时, ymax ? 1 ? a ? 2 ,解得 a ? ?1 . (2)当 0 ? a ? 1时,则 x ? a 时, ymax ? a ? a ? 1 ? 2 ,无解.
2

(3)当 a ? 1 时,则 x ? 1 时, ymax ? a ? 2 ,有 a ? 2 . 综上可知, a ? ?1 ,或 a ? 2 .

归纳反思
1.二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能 在区间的端点或二次函数的顶点处取得. 2.二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) .
2

当 a ? 0 时: ①动区间定轴求最大值时需分两类, ②动区间定轴求最小值时需分三类. 当 a ? 0 时: ①动区间定轴求最大值时需分三类, ②动区间定轴求最小值时需分两类.

3.二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) .
2

当 a ? 0 时: ①定区间动轴求最大值时需分两类, ②定区间动轴求最小值时需分三类. 当 a ? 0 时: ①定区间动轴求最大值时需分三类, ②定区间动轴求最小值时需分两类.


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