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2016全国数学优质课一等奖作品:函数的概念教学设计(王加平)


1.2.1 函数的概念
一、教材分析:

教学设计
王加平

云南省玉溪第一中学

本节内容为《1.2.1 函数的概念》 ,是人教 A 版高中《数学》必修一《1.2 函数及其表示》 的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一,在初中,学生已经学习过函数的概念,它是从 运动变化的观点出发,把函数看成是

变量之间的依赖关系.从历史上看,初中给出的定义来源于物 理公式,最初的函数概念几乎等同于解析式.后来,人们逐渐意识到定义域与值域的重要性,而要 说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系,往往先要弄清各个变量的物理意义,这就使研究受 到了一定的限制.如果只根据变量观点,那么有些函数就很难进行深入研究.例如:

?1,当 x是有理数时, f ( x) ? ? ?0,当 x是无理数时 .
对这个函数,如果用变量观点来解释,会显得十分勉强,也说不出 x 的物理意义是什么.但用集 合、对应的观点来解释,就十分自然.函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一,而函 数概念是函数思想的基础,它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展,而且它是学好后继知识的 基础和工具.函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也 非常密切,函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合 与对应的语言进一步描述函数的概念,让学生感受建立函数模型的过程和方法.

二、学情分析:
在学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系,同 时,虽然函数比较抽象,但是函数现象大量存在于学生的周围,教科书选用了运动、自然界、经 济生活中的实际例子进行分析,从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念,对学 生的抽象、归纳能力要求比较高,能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解.

三、教学目标:
(一)知识与技能 理解函数的定义,能用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作 用;了解构成函数的三要素. (二)过程与方法 通过三个实例共性的分析到函数概念的形成,再对三个实例进行拓展,让学生对函数概念进 行辨析,体现从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,渗透了归纳推理,实现了感性认识到 理性认识的升华. (三)情感、态度与价值观 通过从实际问题中抽象概括函数的概念,培养学生的抽象概括能力,体会函数是描述变量之 间依赖关系的重要数学模型,在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数,感受数学的抽象 性和简洁美.

四、教学重点与难点:
(一)教学重点 体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,并能用集合与对应的语言来刻画函数. (二)教学难点 函数概念的理解及符号“ y ? f ( x) ”的含义.
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五、教学策略:
首先,通过魔术表演,体现函数在实际生活中的运用,激发学生进一步学习函数的积极性; 其次,在学生习惯用解析式表示函数的基础上借助教科书实例,从解析法、图象法、列表法等不 同的方式,结合函数的数与形两个方面给学生充分的认识,为学生用集合与对应的语言刻画函数 打下感性基础;再次,分析讲解函数概念中的关键点时,对于对应关系 f 、函数关系中多对一的 情况、值域是集合 B 的子集等较为抽象问题的理解采取放乒乓球的实验,让抽象问题具体化;最 后,通过对三个实例进行拓展让学生抛开物理运动背景,用集合与对应的语言来分析函数并强调 函数关系中对应关系的方向.

六、教学基本流程:
一、情景引入
(魔术表演) 感受生活中的函数 关系.

二、复习回顾
(初中函数定义) 强调运动变化的过 程.

三、探索新知
(分析教材三个实 例中变量的共性) 感受用集合与对应 的语言描述.

四、新课讲解
(给出函数概念) 强调、分析概念中 的关键点.

八、课堂小结
(展示课堂流程) 感受课堂设计中所 蕴含的基本思想.

七、情景再现
(揭示魔术设计的 技巧性) 感受函数概念中 “唯一确定”的必 要性.

六、巩固新知
(拓展三个实例) 辨析函数概念,强 调对应关系的方 向,感受用集合与 对应语言描述函数 的必要性.

五、实验操作
(放乒乓球实验) 体会函数概念中抽 象的关键点,强调 初、高中对函数定 义本质是一样的, 只是出发点不同.

七、教学情景设计: 教学流程 教学内容 设计意图

缚. 用集合与对应的 语言来描述函数 可以摆脱物理运 师生活动 动的束缚. 师:让学生任意抽取一张 标有数字的卡片,给定学 生计算法则,在学生的配 合下,推算出所抽到的卡 片. 生:按照老师给定的对应 法则进行计算,准确告诉 老师最终计算结果.

一、 情 景 引 入

魔术表演

感受函数在实际生活中的运 用, 激发学生进一步学习函数 的积极性.

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教学流程
二、 复 习 回 顾

教学内容

设计意图

师生活动
师:提问初中函数的定 义. 生:回顾初中函数的定 义. 师 : 强调初中函数的概念 是从运动变化的观点描 述了变量之间的依赖关 系. 师:分析实例 1,提出问 题并让学生讨论. 生:根据初中函数的定 义,给出高度变量 h 为时 间变量 t 的函数的理由 . 同时用集合描述变量 h 和 t 的变化范围. 师:启发学生用集合与对 应的语言表述变量之间 的依赖关系.

阐述初中课本中函数的 定义.

巩固旧知识, 为本节课知识迁 移埋下伏笔,做好衔接准备.

( 1 )对教科书中的实例 1 ,让学生思考以下两个 问题: ①根据初中函数的定义, 分析高度量 h 是否为时间 变量 t 的函数? ②用集合描述变量 h 和 t 的变化范围分别是什 么? ( 2 )用集合与对应的语 言描述变量 h 和 t 的关 系.

从案例 1 中找出函数可以用 解析式来刻画, 培养学生发现 问题,分析问题的能力。 通过对两个问题的的思考, 巩固初中函数的定义, 为初高 中从不同角度刻画函数关系 做好铺垫. 通过启发学生用集合与对应 的语言表述变量之间的依赖 关系, 让学生感性点地认识用 集合与对应的语言描述函数 关系.

三、 探 索 新 知

对教科书中的实例 2,让 学生思考以下两个问题 : ①用集合描述变量 S 和 t 的变化范围分别是什 么? ②仿照实例 1,用集合与 对 应的 语言 描述 变量 S 和 t 的关系. 对教科书中的实例 3,让 学生思考以下两个问题 : ①用集合描述变量 r 和 t 的变化范围分别是什 么? ②仿照实例 1、2,用集合 与对应的语言描述变量 r 和 t 的关系.

从案例 2 中找出函数可以用 图象来刻画, 培养学生发现问 题,分析问题的能力。 通过对两个问题的的思考, 让学生感性地认识用集合与 对应的语言描述函数关系.

师:分析实例 2,提出问 题并让学生讨论. 生:用集合描述变量 S 和 t 的变化范围 . 仿照实例 1 ,用集合与对应的语言 描述变量 S 和 t 的关系.

从案例 3 中找出函数可以用 列表来刻画, 培养学生发现问 题,分析问题的能力。 通过对两个问题的的思考, 让学生感性地认识用集合与 对应的语言描述函数关系.

师:分析实例 3,提出问 题并让学生讨论. 生:用集合描述变量 r 和 t 的变化范围 . 仿照实例 1、2,用集合与对应的语 言描述变量 r 和 t 的关 系.

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教学流程
三、 探 索 新 知

教学内容
研讨探究: 分析、归纳三个实例中, 变量之间关系的共同点.

设计意图

师生活动
师:让学生分组讨论三个 实例中,变量之间关系的 共同点. 生 : 概括出三个实例中, 变量之间关系的共同点.

概括出函数的定义

一般地,设 A,B 是 非空的数集,如果按照某 种确定的对应关系 f,使 对于集合 A 中任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f : A ? B 为从 四、 新 课 讲 解 集合 A 到集合 B 的一个函 数, 记作 y ? f ( x), x ? A. 其中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数 的定义域;与 x 的值相对 应的 y 值叫做函数值,函 数值的集合 { f ( x) x ? A} 叫做函数的值域. 动一动: 请将 A 盒子中的所有乒乓 球放入 B 盒子中. 思考:A 中的乒乓球和 B 中的格子都标有数字,可 以把 A,B 看成两个非空数 集,那么每一种放法是从 A 到 B 的一个函数吗?若 是,它的值域是什么? 通过集合与对应的语言来刻 画初中已学函数, 使学生加深 理解函数的本质及构成函数 的基本要素. 师:强调、分析概念中的 关键点. ①A,B 是非空的数集; ②对应关系 f 可以通过 解析式、图象、列表来表 示; ③任意、存在、唯一; ④符号 “ y ? f ( x) ” 的含 义; ⑤函数三要素: 定义域 A、 值域、对应关系.

五、 实 验 操 作

师:启发学生思考每一种 通过放乒乓球的实验, 将函数 方 法 实 质 就 是 一 个 对 应 概念中: 关系,通过对应关系,可 以出现多对一,但不可一 ①对应关系 f ; 对多,同时,通过实验结 ②函数关系中多对一的情况; 果理解值域是集合 B 的一 ③值域是集合 B 的子集. 个子集. 等较为抽象的问题题具体化, 生:小组合作讨论每一种 生活化. 放法是否为从集合 A 到集 合 B 的一个函数.若是, 则求它的值域. 师:强调初、高中对函数 定义本质是一样的,只是 出发点不同,用集合与对 应的语言来描述函数可 以摆脱物理运动的束缚.

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教学流程

教学内容
例 1:拓展实例 1,抛开炮 弹运动变化的背景,保持 集合 A 和对应关系 f 不 变,分别缩小和扩大集合 B ,辨析对应关系 f 是否 为从集合 A 到集合 B 的函 数,若是,值域是什么? 集合 A,B 和对应关系都 不变,辨析对应关系 f 是 否为从集合 B 到集合 A 的 函数. 例 2: 拓展实例 2,抛开 臭氧层空洞面积 S 随时间 t 的变化的背景,辨析对 应关系 f 是否为从集合 A

设计意图

师生活动

六、 巩 固 新 知

到集合 B 的函数以及从集 合 B 到集合 A 的函数. 例 3: 拓展实例 3,抛开 恩格尔系数 r 随时间 t 的 变化的背景,辨析对应关 系 f 是否为从集合 A 到集 合 B 的函数以及从集合 B 到集合 A 的函数. 例 4:下列集合 A 到集合 B 的对应 f 中: ①A={-1,0,1},B={-1,0,1}, f:A 中的数的平方; ②A={0,1},B={-1,0,1}, f:A 中的数开方; ③A=R,B={正实数}, f:A 中的数取绝对值; 是从集合 A 到集合 B 的函 数为:

师:启发学生抛开物理运 动的背景,利用集合与对 应的语言描述函数关系. 辨析函数概念, 强化值域的定 同时,让学生感受用集合 义, 感受用集合与对应语言描 与 对 应 语 言 描 述 函 数 的 述函数的必要性, 强调对应关 必要性 . 并通过实例的拓 系 的 方 向 . 体 现 从 特 殊 到 一 展强调对应关系的方向. 般,再从一般到特殊的思想, 生:结合函数的定义,利 实现感性认识到理性认识的 用 集 合 与 对 应 的 语 言 描 升华. 述函数关系,感受用集合 与对应语言描述函数的 必要性.

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教学流程
七、 情 景 再 现

教学内容
揭示魔术设计的技巧: 由于魔术需要进行逆推, 所以设计时尽量选择一 对一的函数模型,有意回 避多对一的函数模型.

设计意图
揭示魔术设计的技巧性, 感受 函数概念中 “唯一确定”的 必要性, 实现感性认识到理性 认识的升华.

师生活动
师:揭示魔术设计的技 巧. 生:结合函数的概念,感 受魔术设计的技巧性 , 体 会函数在实际生活中的 运.

八、 课 堂 小 结

学生交流: 这一节课你有哪些收获 呢? 老师总结: 函数的概念: ①函数的传统定义(运动 变化的角度) ②函数的近代定义(集合 与对应的角度) 课堂设计思路: 1 、从特殊到一般,再从 一般到特殊的思想方法; 2 、实现从感性认识到理 性认识的升华; 3 、化抽象为具体,化数 学为生活的思想.

通过同桌交流本节课的收获, 培养学生的合作、沟通、交流 的意识,增加学生的自信心, 促进学习的积极性. 师:让学生同桌交流本节 通过老师总结, 让学生感受课 课的收获. 堂设计中所蕴含的基本思想, 生:相互交流收获. 增强对函数概念的理解. 师:总结课堂设计思路.

九、 课 后 作 业

课后作业: 1、习题 1.2 B 组 第 1 题. 2、阅读课本 26 页阅读材 料《函数概念的发展历 程》 ,以函数概念的发展 为背景,谈谈从初中到高 中学习函数概念的体会.

巩固函数的概念, 感受数学文 化.

师:布置作业,强调作业 要求.

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