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高中数学必修4三角函数知识点与题型总结


三角函数典型考题归类
1.根据解析式研究函数性质 例 1(湖南文)已知函数

π? π? π? ? ? ? f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ? ?

求:(I)函数

f ( x) 的最小正周期;(II)函数

f ( x) 的单调增区间.

【相关高考 2】(湖南理)已知函数

1 π? ? f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 ? 2 ?

(I)设 x

? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值.(II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.
π y ? 2cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周 0 2
y

2.根据函数性质确定函数解析式 例 2(江西)如图,函数 期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值; (2) 已知点

3 ?π ? 点 当 , A ? ,? , P 是该函数图象上一点, Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 0 点 2 ?2 ?

3

P

O
?π ? x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. ?2 ?
【相关高考 1】 (辽宁) 已知函数

A

x

π? π? ?x ? ? , 求函数 f ( x) f ( x) ? sin ? ? x ? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2 cos 2 ,x ? R(其中 ? ? 0 ) (I) 6? 6? 2 ? ?

的值域; (II)若函数 3.三角函数求值 例 3(四川)已知 cosα=

y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为

π ,求函数 y ? f ( x) 的单调增区间. 2

1 π 13 ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,(Ⅰ)求 tan2α 的值;(Ⅱ)求 β. 7 2 14

【相关高考 1】 (重庆理)设 f ( x ) = 求 tan

6 cos2 x ? 3 sin 2 x(1) f( x )的最大值及最小正周期; 若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 , 求 (2)

4 ? 的值. 5

4.三角形中的函数求值 例 4(全国Ⅰ)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小;(文)(Ⅱ)若 a

? 3 3 , c ? 5 ,求 b.(理)(Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.
A? 1 3 , tan B ? .(Ⅰ)求角 C 的大小;文(Ⅱ)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 4 5

【相关高考 1】(福建)在 △ ABC 中, tan

边的长.理(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 7.三角函数与不等式 例 7(湖北文)已知函数

17 ,求最小边的边长.

?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? .(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; ?4 ? ?4 2?

-1-

(II)若不等式

?π π? f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

三角函数易错题解析
例题 1 已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A、

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

2? 2? , cos 3 3 11? D、 6

),则角 ? 的最小值为(

)。

例题 2

A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形

2

? 5x ? 1 ? 0 的两个实数根,则 ? ABC 是(



D、等边三角形 , ? 、? 且

例题 3

已知方程 x

2

? 4ax ? 3a ? 1 ? 0(a 为大于 1 的常数)的两根为 tan? ,tan ?

? ?? ? ? ?? ? ? ? , ? ,则 tan 2 ? 2 2?

的值是_________________. 例题 4 例题 5 例题 6 例题 7 函数

f ( x) ? a sin x ? b 的最大值为 3,最小值为 2,则 a ? ______, b ? _______。
sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x

函数 f(x)= 若 2sin2α

? sin 2 ? ? 3 sin ? , 则 sin 2 ? ? sin 2 ?

的取值范围是

已知 ?? ? ?

? ? ,求 y ? cos? ? 6sin? 的最小值及最大值。

例题 8

求函数

f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos( ? x) ? 3 的值域 4

?

例题 9

已知函数

f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是

R 上的偶函数,其图像关于点 M (

上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。

3 ? ? ,0) 对称,且在区间[0, 4 2

]

-2-


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