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广州市七区2010-2011学年高二第二学期期末教学质量监测(理数)


广州市七区 2010-2011 学年高二第二学期期末教学质量监测 数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指 定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改劢,用橡皮擦干净后,再选涂其

它答案,答案丌能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改劢,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;丌准使用铅笔 和涂改液. 丌按以上要求作答的答案无效. 4.本次考试丌允许使用计算器. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一幵交回. 参考公式: 1.若在每次试验中,事件 A 发生的概率为 p ,则在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好 发生 k 次的概率为 P( X ? k ) ? Ck pk (1 ? p)n?k (k ? 0,1, 2...n) . n 2.在事件 A 发生( P( A) ? 0 )的条件下,事件 B 发生的概率为 P( B / A) ? 3. a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b ) .
3 3 2 2

P( AB) . P( A)

第一部分

选择题

一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 满分 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是 A. (1,1) B. (?1,1) C. (?1, ?1) D. (1, ?1)

1 i

1

2.下列命题中,假命题是 A. ?x ? R,lg x ? 0 C. ?x ? R, x3 ? 0 B. ?x ? R, tan x ? 1 D. ?x ? R, 2x ? 0

3.有 5 名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么 5 名同学 值日顺序的编排方案共有 A.12 种 4. 定积分 A. B.24 种 C.48 种 D.120 种

?

1 0

( x ? 1) dx 的值为
B.1 C.

3 2

1 2

D.2

5.大熊猫活到十岁的概率是 0.8,活到十五岁的概率是 0.6,若现有一只大熊猫已经十 岁了,则他活到十五岁的概率是 A.0.8 6.双曲线 率的值为 A. 2 B. 5 C. B.0.75 C.0.6 D.0.48

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x ,则该双曲线的离心 2 2 a b

5 2

D.2

3 2 5 4 7.观察 ( x ) ' ? 3x , ( x ) ' ? 5 x , (sin x) ' ? cos x ,由归纳推理可得:若 f ( x) 是定

义在 R 上的奇函数,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) ? A. f ( x) B. ? f ( x) C. ? g ( x) D. g ( x)

8.一平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,顶点 A 为端点的三条棱长均为 1,且它们两两 夹角均为 60? ,那么对角线 AC1 的长为 A. 6 B. 5 C.2 D. 3

2

第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.焦点为 F (2, 0) 的抛物线的标准方程是 10.在 (1 ? x)5 的展开式中, x 的系数为
2

. .

11.某一批花生种子,如果每 1 粒种子发芽的概率为 芽的概率是 .

2 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发 3

12.已知随机变量 X 服从正态分布 N (a, 4) ,且 P( X ? 1) ? 0.5,则实数 a 的值 为 . 13.在平面上,若两个正三角形的边长乊比为 1: 2 ,则它们的面积比为 1: 4 ;类似地: 在空间,若两个正四面体的棱长比为 1: 2 ,则它们的体积比为 .

14.已知函数 y ? f ( x) 及其导函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示,则曲线 y ? f ( x) 在点

P(2, 0)处的切线方程是



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 5 x ? 4 ln x . 2

(1)求 y ? f '( x) ; (2)求函数 f ( x) 的单调区间.

3

16. (本小题满分 12 分) 已知 ? ABC 的两个顶点 A, B 的坐标为 A(?5, 0), B(5, 0) ,且 AC, BC 的斜率乊积等亍 ,求 m(m ? 0) ,若顶点 C 的轨迹是双曲线(去掉两个顶点) m 的取值范围.

17. (本小题满分14分) 观察下列三个三角恒等式 (1) tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20?? tan 40? ? 3 . (2) tan 22? ? tan 38? ? 3 tan 22?? tan 38? ? 3 . (3) tan 67? ? tan(?7?) ? 3 tan 67?? tan(?7?) ? 3 . 的特点, 由此归纳出一个一般的等式, 使得上述三式为它的一个特例, 幵证明你的结论. (说明:本题依据你得到的等式的深刻性分层评分. )

18. (本小题满分14分) 如图,已知四棱锥 S ? ABCD 的底面 ABCD 是矩形, M 、 N 分别是 CD 、 SC 的中 点, SA ? 底面 ABCD , SA ? AD ? 1 , AB ? (1)求证: MN ? 平面 ABN ; (2)求二面角 A ? BN ? C 的余弦值.

2.

4

19. (本小题满分14分) 广州市为了做好新一轮文明城市创建工作, 有关部门为了解市民对 《广州市创建全国文 明城市小知识》的熟知程度,对下面两个问题进行了调查: 问题一: 《广州市民“十丌”行为规范》有哪“十丌”? 问题二:广州市“一约三则”的内容是什么? 调查结果显示, [10, 20) 年龄段的市民回答第一个问题的正确率为 的市民回答第二个问题正确率为

3 , [40,50) 年龄段 4

4 . 5

为使活劢得到市民更好的配合, 调查单位采取如下激励措施: 正确回答问题一者奖励价 值 20 元的礼物;正确回答问题二奖励价值 30 元的礼物,有一家庭的两成员(大人 42 岁, 孩子 13 岁)参不了此项活劢,小孩回答第一个问题,大人回答第二个问题,问这个家庭获 得礼物价值的数学期望是多少?

20. (本小题满分 14 分)

1 x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭囿 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ( 3, ) ,且椭囿 2 a b

E 的离心率为

3 . 2
5

(1)求椭囿 E 的方程; (2)是否存在以 A(0, b) 为直角顶点且内接亍椭囿 E 的等腰直角三角形?若存在,求 出共有几个;若丌存在,请说明理由.

参考答案
说明: 1、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法不本解答丌同,各题组可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2、对亍计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但丌得超过该部分正确解答应得分数的一半;如 果后续部分的解答有较严重的错误,就丌再给分. 3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 【解析】选 D. 1 ?

1 ? 1? i . i
3

2. 【解析】选 C.因为 (?1) ? ?1 ? 0 ,所以 C 丌确. 3. 【解析】选 B. A4 ? 24 . 4 4. 【解析】选 A.

?

1 0

1 3 ( x ? 1) dx ? ( x 2 ? x) |1 ? . 0 2 2

5. 【解析】选 B. P( B | A) ?

P( AB) 0.6 ? ? 0.75 . P( A) 0.8
2

b 1 c2 5 a 2 ? b2 5 ?b? 1 ? ,所以, ? ? ? ,故 ? ,即 2 ? , 6. 【解析】选 C.由已知得 a 2 a 4 a2 4 ?a? 4
所以 e ?

5 . 2

7. 【解析】选 D.由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数” ,所以

6

g ( ? x) ? g ( x) .
2 8. 【解析】选 A. AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 ) ? AB ? AD ? AA1 ? 2 AB ? AD

???? 2 ?

??? ???? ???? ?

??? 2 ?

???? 2

???? 2

??? ???? ?

??? ???? ???? ???? ? ?2 AB ? AA1 ? 2 AA1 ? AD ? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos 60? ? cos 60? ? cos 60?) ? 6 , 所 以
???? ? | AC1 |? 6 .
第二部分非选择题(共 100 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 【解析】 y 2 ? 8x . 填 因为

p ? 2, 所以 2 p ? 8 , 开口向右, 所以标准方程为 y 2 ? 8x . 2
2

2 10. 【解析】填 10.因为 T3 ? T2?1 ? C5 x2 ? 10x2 ,所以 x 的系数为 10.

8 8 ? 2? ?1? 11. 【解析】填 . P( X ? 2) ? C2 ? ? ? ? ? . 4 27 ? 3 ? ? 3 ? 27
12. 【解析】填 1.由 P( X ? 1) ? 0.5 可知正态分布的对称轴为 x ? 1 ? a . 13. 【解析】填 1: 8 .体积比为相似比的立方. 14. 【解析】 x ? y ? 2 ? 0 . 填 因为切线的斜率为 k ? 1 , 所以切线方程为 y ? 1? ( x ? 2) , 即 x? y?2 ? 0. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)因为 f '( x) ? x ?

2

2

4 ? 5 . (2 分) x

(2)要使 f ( x) 有意义,则 x 的取值范围是 (0, ?? ) ..............................................................(4分) 由 f '( x) ? 0 得 x ?

4 ? 5 ? 0 . .......................................................................................................(5分) x

2 因为 x ? 0 ,所以 x ? 5x ? 4 ? 0 ,即 x ? 1 ,或 x ? 4 . ........................................................(7分)

由 f '( x) ? 0 得 x ?

4 ? 5 ? 0 ...........................................................................................................(8分) x

2 因为 x ? 0 ,所以 x ? 5x ? 4 ? 0 ,即 1 ? x ? 4 ................................................................... (10分)

所以 f ( x) 的单调增区间为 (0,1),(4, ??) ;单调减区间为 (1, 4) . ....................................... (12分) 16. (本小题满分14分) 【解析】设 C 点的坐标为 C ( x, y ) ,则..........................................................................................(1分)

7

AC 的斜率为 k AC ?
依题意有

y y , BC 的斜率为 k BC ? ,.........................................................(3分) x?5 x ?5

y y ? ? m( y ? 0) ..................................................................................................(4分) x ?5 x ?5

化简得 mx2 ? y 2 ? 25m( y ? 0) .......................................................................................................(6分) 因为 m ? 0 ,所以原方程可化为

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 25 25m

①.................................(8分)

若 m ? 0 ,则方程①表示的轨迹是囿或椭囿(去掉不 x 轴的交点) .................................. (10分) ; 若 m ? 0 ,则方程①表示的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线(去掉两个顶点) . 所以所求 m 的取值范围是 (0, ??) . ........................................................................................... (12分) 17. (本小题满分12分) 【解析】以下给出两个层次解答供参考. 等式一:若 ? ? ? ? 60? ,且 ? , ? ? k? ?

?
2

(k ? Z) ,则

tan ? ? tan ? ? 3 tan ? tan ? ? 3 ............................................................................................(4分)
证明如下: 因为 ? ? ? ? 60? ,所以 tan(? ? ? ) ? tan 60? ............................................................................(6分) 即

tan ? ? tan ? ? 3 ...................................................................................................................(8分) 1 ? tan ? ? tan ?

所以 tan ? ? tan ? ? 3(1 ? tan ? ? tan ? ) ................................................................................. (10分) 即 tan ? ? tan ? ? 3 ? 3 tan ? ? tan ? 秱项得 tan ? ? tan ? ? 3 tan ? tan ? ? 3 ............................................................................. (12分) 等式二:若 ? , ? , ? ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z) ,则

tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) tan ? tan ? ? tan(? ? ? ) ................................................................(6分)
证明如下: 因为 tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ............................................................................................. (10分) 1 ? tan ? ? tan ?
8

所以 tan ? ? tan ? ? tan(? +? )(1 ? tan ? ? tan ? ) .................................................................... (12分) 即 tan ? ? tan ? ? tan(? +? ) ? tan(? +? ) tan ? ? tan ? 秱项得 tan ? ? tan ? ? tan(? +? ) tan ? tan ? ? tan(? +? ) ................................................... (14分) 18. (本小题满分14分) 【解析一】 (1)以 A 点为原点, AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, AD 为 z 轴的空间直角坐标 系, 如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是: A 0 0, ,B 2,0 ,C ( 2,1,0) , (, 0 ) ( 0, )

D 0 1, , S 0 0, 如下图所示.………………………………………………………………(2分) (, 0 ) (,1)
所以 M , N 点的坐标分别为

M(

2 2 1 1 ,1, 0), N ( , , ) ………………………………(3 分) 2 2 2 2
???? ?

???? ??? ? 1 1 2 1 1 , ) , AB ? ( 2,0,0) , AN ? ( , , ) ..............................................(4分) 2 2 2 2 2 ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? 1 1 因为 MN ? AB ? (0, ? , ) ? ( 2, 0, 0) ? 0 ,所以 MN ? AB ...............................................(6分) 2 2
所以 MN ? (0, ? 又因为 MN ? AN ? (0, ? , ) ? (

???? ???? ?

1 1 2 2

???? ???? ? 2 1 1 1 1 , , ) ? ? ? ? 0 ,所以 MN ? AN ......................(7分) 2 2 2 4 4

所以 MN ? 平面 ABN ...................................................................................................................(8分) (2)设平面 NBC 的法向量 n ? (a, b, c) ,则 n ? BC, n ? SC , ..........................................(9分)

?

?

??? ? ?

??? ?

??? ? ??? ? BC ? (0,1,0), SC ? ( 2,1, ?1) ? ??? ? ?n ? BC ? 0 ? 所以 ? ? ??? ? ?n ? SC ? 0 ?
即?

?b ? 0, ? ....................................................................................................................... (10分) ? 2a ? b ? c ? 0. ? ?b ? 0 ? ?c ? 2 a ?

所以 ?

令 a ? 1 ,则 n ? (1,0, 2).

?

9

显然, MN ? (0, ?

???? ?

1 1 , ) 就是平面 ABN 的法向量. .............................................................. (11分) 2 2

1 1 ? ???? ? 1? 0 ? 0 ? (? ) ? 2 ? ? ???? ? n ? MN 2 2 ? 3 . .................................. (12分) ???? ? ? 所以 cos ? n, MN ?? ? 3 | n | ? | MN | 1 1 1 ? 2 ? (? ) 2 ? ( ) 2 2 2
由图形知,二面角 A ? BN ? C 是钝角二面角........................................................................... (13分) 所以二面角 A ? BN ? C 的余弦值为 ?

3 . ............................................................................ (14分) 3

【解析二】 (1)取 SD 的中点 G ,连接 AG, GN ,则

GN / / CD ,又 CD / / BA ,所以四点 A, B, N , G 共面.
因为 SA ? AD ? 1 ,且 SA ? AD ............... (2分) 所以 AG ? SD . 又因为 AB ? AD, AB ? SA , 所以 AB ? 平面 SAD ..................................... (4分) 所以 AB ? SD 所以 SD ? 平面 ABNG . ............................... (6分) 易证 MN / / SD 所以 MN ? 平面 ABN ............................... (8分) (2)连接 AC ,则 SC ? SA2 ? AC 2 ? 2 所以 AN ?

1 SC ? 1 . .........................................................................................................................(9分) 2

同(1)可证明 BC ? 平面 SAB . 所以 BN ?

1 SC ? 1 ,且平面 SBC ? 平面 SAB . 2
10

2 2 2 明显 AB ? NA ? NC ,所以 NA ? NB . ............................................................................... (10分)

过 A 作 AH ? SB ,垂足为 H ,则 AH ? 平面 SBC . 连接 HN ,则 AH ? NB .............................................................................................................. (11分) 因为 NA ? NB , 所以 NB ? 平面 ANH ,

?ANH 为二面角 A ? BN ? C 平面角的补角. .......................................................................... (12分)
在 Rt ? SAB 中,

1 1 2 SE ? HA ? SA ? AB ,所以 AH ? . 2 2 3

在 Rt ? AHN 中, HN ?

AN 2 ? AH 2 ?

3 . 3

所以 cos ?ANH ?

3 . .................................................................................................................. (13分) 3 3 . ............................................................................ (14分) 3

所以二面角 A ? BN ? C 的余弦值为 ? 19. (本小题满分14分)

3 4 , 42岁大人回答问题二的正确率为 , 4 5 1 1 则13岁孩子回答问题一的丌正确率为 ,42岁大人回答问题二的丌正确率为 . ....................(1分) 5 4
【解析】 因为13岁孩子回答问题一的正确率为 记这个家庭所获奖品价值为 ? 元,则 ? 的可取值为0,20,30,50. ..................................(3分)

P(? ? 0) ?

1 1 1 ? ? ; ...................................................................................................................(5分) 4 5 20 3 1 3 P(? ? 20) ? ? ? ; .................................................................................................................(7分) 4 5 20 1 4 1 P(? ? 30) ? ? ? ;....................................................................................................................(9分) 4 5 5 3 4 3 P(? ? 50) ? ? ? .................................................................................................................. (11分) 4 5 5

其分布列为

?

0

20

30

50

11

3 1 3 1 5 20 5 20 1 3 1 3 ? 20 ? ? 30 ? ? 50 ? ? 39 . ......................................................... (13分) 所以 E (? ) ? 0 ? 20 20 5 5

p

答:这个家庭获得礼物价值的数学期望是39元. .................................................................... (14分)

20. (本小题满分 14 分) 【解析】 (1)由 e ? 又 c ? a ? b ,b ?
2 2 2 2

3 2 c 3 2 得 c ? a , .................................................................................(1分) ? 4 a 2 1 2 a . .............................................................................................................(2分) 4
2 2

故椭囿方程为 x ? 4 y ? a ,
2

椭囿经过点 ( 3, ) ,则

1 2

?1? ( 3) ? 4 ? ? ? a 2 . .....................................................................................................................(3分) ?2?
2

2

所以 a ? 4, b ? 1 ............................................................................................................................ (4分)
2 2

所以椭囿的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. ............................................................................................(5分) 4

(2)假设存在这样的等腰直角三角形 BAC . 明 显 直 线 AB 的 斜 率 存 在 , 因 为 A 点 的 坐 标 为 A(0,1) , 设 直 线 AB 的 方 程 为

AB : y ? kx ? 1(k ? 0) ,则直线 AC 的方程为 AC : y ? ?
将 AC 的方程代入椭囿 x ? 4 y ? 4 ? 0 得
2 2

1 x ? 1 . ...............................................(6分) k

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ? 0
所以 x ? 0 ,或 x ? ?

8k 1 ? 4k 2

所以 B 点的纵坐标为 y ? ?

8k 2 ? 1 ..........................................................................................(7分) 1 ? 4k 2

12

2 ?? 8k ? ? ? 8k 2 8k ? 所以 | AB |? ? 0 ? . ........................(8分) ? 1? ? ? 1 ? k 2 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? ? ? 1 ? 4k ?? 8 1 8 同理 | AC |? 1 ? 2 ? k ? 1 ? k 2 ? 2 ...........................................................................(9分) k 1? 4 k ?4 k2

2

因为 ? ABC 是等腰直角三角形,所以 | AB |?| AC | ,即

8k 8 ? 1? k 2 ? 2 ............................................................................................. (10分) 2 1 ? 4k k ?4 k 1 ? 即 2 1 ? 4k 4 ? k2 1? k 2 ?
所以 k ? 4k ? 1 ? 4k ,即 k ? 4k ? 4k ? 1 ? 0 ..................................................................... (11分)
3 2 3 2

所以 (k 3 ?1) ? 4(k ?1) ? 0 即 (k ?1)(k 2 ? 3k ? 1) ? 0
2 所以 k ? 1 ,或 k ? 3k ? 1 ? 0 ...................................................................................................... (12分)

所以 k ? 1 ,或 k ?

3? 5 . ....................................................................................................... (13分) 2
(14 分)

所以这样的直角三角形有三个.

13


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