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2011年数学竞赛选拔赛试题(1)


一、填空题(本题共有5小题,每小题2分,满分10分)
(1) lim
1 ? ? ____ 4 sin x ta n 2 x
x

1? x

2

?1

x? 0

? ? lim ? x ? 2 a ? (2) 设 x? ? ? x ? a ?<

br />
ln 2 ? 8 ,则 a ? ____
100! ? 100! 101 101 ( x ? 3) ( x ? 2) ____________

1 (100 ) ? (3) 设 y ? 2 , y x ? 5x ? 6

(4) 函数 F ( x ) ?
?

?

x 1

? 1 ? dt( x ? 0) 的单调减少区间为 ____ ?2? ? t ? ? ? 1 ? ? 1?
? 0, ? 或 ? 0 ? ? 4 ? ? 4?

co s x ln 1 ? x d x ? (5) ? ? ? 1? x 4
4

0 ____

二.(本题满分10分)

设 f ( x ) ? nx(1 ? x )( n 为正整数),
n

(1)求 f ( x ) 在闭区间 [0 , 1]上的最大值 M ( n ) ;

? 1 ? M ( n) ? ?1? ? 1? n ? 1? n ? n
n

n

(2)求 lim M ( n )
n? ?

? 1 ? ?1 lim M ( n) ? lim ?1 ? ? ?e n ?? n ?? 1 ? n ? 1? n ? n

三.(本题满分10分)
? , x ? 0 ? x ? a r c s in x ? ? f ( x ) ? ? 6, x ? 0 ? ? e ax ? x 2 ? a x ? 1 ,x ? 0 ? x ? x sin

ln (1 ? a x )
3

设函数

4

(1) a 为何值时,f (x)在 x=0点处连续; (2) a为何值时,x=0为f (x)的可去间断点。

a ? ?1

a ? ?2

四.(本题满分10分,每题5分)
? x2 ,0 ? x ? 1 1. 设函数 f ( x ) ? ? ,试求 F ( x ) ? ? 3 ? x ,1 ? x ? 2

?

x

f ( t )d t
0

并讨论F(x)在 x=1处的连续性.

? 1 x3 , 0 ? x ? 1 ?3 F ( x) ? ? ? ? 13 ? 3 x ? 1 x 2 , 1 ? x ? 2 2 ? 6

2. 设 f ( x ) ?

?

x 1

2

1 sin t d t ,求 ? x f ( x ) d x 0 t

1 2

[cos 1 ? 1]

五.(本题满分10分) 已知曲线的极坐标方程是, ? 1 ? co s ? r
x? y?
x? y?

5 4
1 4

?
?

3 4
3 4

3?0
?0

求该曲线上对应于? ? ? 处的切线与法线方程.
6

六.(本题满分10分)
y 已知 y ? y ( x )由方程 e ? x y ? e 所确定,求 y ?? ( 0 ) .

e

?2

七.(本题满分10分)
设函数
f (x)

连续,且 f ( 0 ) ?

0

,求极限

lim

?

x 0

( x ? t ) f ( t )d t
x 0

x? 0

.
f ( x ? t )d t

1 2

八.(本题满分10分)
已知
2 2 f ? (sin x ) ? c o s 2 x ? ta n x

x?

,求

f (x)

.

? x ? ln 1 ? x ? c
2

九.(本题满分10分) 设f(x)是( ? ? , ? ? ) 上连续、正值偶函数,

又设

F (x) ?

?

a ?a

x ? t f ( t )d t , ? a ? x ? a ( a ? 0 )

F (1) 试证:

?? ( x ) ? 0

(2) 求 F ( x ) 最小值点。

x?0

十.(本题满分10分) 设函数f(x)在[0, 3]上连续,在(0, 3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2) =3, f(3)=1 试证必存在 ?
? (0, 3)

,使

f ?(? ) ? 0 .


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