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(精选+详解)2013届高三数学名校试题汇编 (第1期)专题08 立体几何(理)


一.基础题
1.【2013 届河北省重点中学联合考试】设 a,b,c 表示三条直线, ? , ? 表示两个平面,则 下列命题中逆命题不成立的是 A.c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β B.b?α,c ? α,若 c∥α,则 b∥c C.b?β,若 b⊥α,则 β⊥α
[来源:学科网]

D.a,b? ? , a ? b ? p ,c⊥a,c⊥b,若 ? ⊥ ? ,则 c ? ?

2. 【广东省珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试】 已知 ? , ? 为不重合的两个平面, 直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】已知 ? , ? 是两个不同的平 面,下列四个条件:①存在一条直线 a, a ? ? , a ? ? ②存在一个平面 ? , ? ? ? ③存在两 个平行直线 a,b, a ? ? , b ? ? ,a / / ? , b / / ? , ④存在两条异面直线 a,b, a ? ? , b ? ? ,
a / / ? , b / / ? 。可以推出 ? / / ? 的是(

) D.②③

A.①③

B.②④

C.①④

4.【湖北省黄冈中学 2013 届高三十月月考】某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所 示, 则在图 2 的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )

A. , (1)(3) B. (1)(4) ,

C. (2)(4) ,

D. , , , (1) (2) (3) (4)

4.【2013 届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】已知 m , n 分别是两条不重合的直线, a , b 分别垂直于两不重合平面 ? , ? ,有以下四个命题:①若 m 若 m // a , n // b ,且 ? 且?
? ? ? ?

? a , n // b

,且 ?
? n

? ?

,则 m // n ;②
? a , n ? b,

,则 m

? n

; ③若 m // a , n

? b , 且 ? // ?

,则 m

;④若 m

,则 m // n .其中真命题的序号是 B.③④ C.①④

[来源:学科网 ZXXK]

A.①②

D.②③

5. 【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关 的尺寸如下图所示,则这个几何体的体积是( )

A . 8?

B. 7 ?

C. 2 ?

`D.

7? 4

6

【湖北省武汉市 2012 年 11 月模拟考试】 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是

.

7. 【2013 届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的表面积和体积分别为 A. C. 2
2 2? ? 2? ? 4 和 4 3 4 3 2? 和

?

B. 2 D. 2

2? ? 2?
8 3


?

4 3

?

?

2? 和

8.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】一个几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为

9. 【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】 如图, 在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E、F 分别为 CD、 D D 1 的中点,则异面直线 EF 与 A1 C 1 所成角的余弦值为 【答案】
1 2

【解析】连结 A1 B , B C 1 ,易证 E F / / A1 B ,可求得 ? A1 B C 1 为等边三角形, ∴ A1 B 与 A1 C 1 所成的角为 6 0 ,∴EF 与 A1 C 1 所成的角为 6 0 ,
0 0

∴直线 E F 与 A1 C 1 所成的角的余弦值为

1 2

10.【河北省唐山市 2012-2013 学年度 高三年级摸底考试】 空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A)8+2 5 (B)6+2 5
[来源:学科网 ZXXK]

(C)8+2 3

(B)6+2 3

【答案】A 【解析】根据三视图可知,其直观图为放倒的三棱柱,如图所示,AB⊥AC,且 AB=1,AC=2, CC1=2,则该几何体的表面积为 4+2+2+2 5 =8+2 5 .

11.【2013 届河北省重点中学联合考试】一个几何体的三视图如下图所示.则该几何体的体 积为_____

【答案】32 【解析】由三视图可知,该几何体是一个棱长为 4 的正方体被一个平面截 取一部分后余下的一部分,如右图.连结 AC,NC,则这个几何体的体 积是四棱锥 C-ABEN 的体积的两倍.则该几何体的体积为
V ? 2? 1 3 ? 1 2 ? (2 ? 4) ? 4 ? 4 ? 32

二.能力题
1.【河北省唐山市 2012-2013 学年度 高三年级摸底考试】 在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC= 3 ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°,则该三棱锥外 接球的体积为 (A) ? (B)
?
3

(C)4 ?

(D)

4? 3

P

H A O B 2.【浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考】如图是一个几何体的 三视图,则这个几何体的体积是 ( ) A.27 B.30 C.33 D.36 C

3.【2012 河北省名校名师俱乐部高 三第二次调研考试】如图,设正方体
A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1,E、F 分别是 B 1 C 1 、 C 1 D 1 的中点,则点 A 到

平面 EFDB 的距离为 A.
1 3

B.

2 3

C.

2 2

D.1

4.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】 如图, 三棱锥 V-ABC 的底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA=VC,已知其正视图的面积



2 3

,则其侧视图的面积为
3 2 3 3 3 4 3 6

A.

B.

C.

D.

5.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】某几何体 的三视图(单位:m)如图所示,则其表面积为( )
2 A. ( 9 6 ? 3 2 2 ) m 2 B. ( 6 4 ? 3 2 3 ) m

2 C. (1 4 4 ? 1 6 2 ? 1 6 3 ) m

2 D. (8 0 ? 1 6 2 ? 1 6 3 ) m

6.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上,AB=6, B C ? 2 3 ,棱锥 O-ABCD 的体积为 8 3 ,则球 O 的表面积为 A. 1 6 ? B. 3 2 ? C. 4 8 ? D. 6 4 ?

7.【2012-2013 学年度河北省普通高中 11 月高三教学质量监测】已知正六棱柱的 12 个顶点 都在一个半径为 3 的球面上,当正六棱柱的底面边长为 6 时,其高的值为( A. 3 3 B. 3 C. 2 6 D. 2 3 )

8.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上,AB=6, B C ? 2 3 ,棱锥 O-ABCD 的体积为 8 3 ,则球 O 的表面积为 A. 1 6 ? B. 3 2 ? C. 4 8 ? D . 6 4?

9. 【广东省珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试】 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体 积是 A.36 B.108 C.72 D.180 答案: B 解析:有几何体的三视图可知,该几何体为四棱锥和长方 体的组合体.体积 V ? V 椎 体 + V 柱 体
V椎 体 = 1 3 sh= 1 3 ? 6 ? 6 ? 3=36

,

V柱 体 ? sh ? 6 ? 6 ? 2 ? 72

故V ? 3 6 ? 7 2 ? 1 0 8 .

三.拔高题
1.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】.已知正六棱柱的 12 个顶点 都在一个半径为 3 的球面上,当正棱柱的体积最大值时,其高的值为( ) A. 3 3 【答案】D 【解析】设正六棱柱的底面边长为 a,高为 h,则可得 a ?
2

B. 3

C. 2 6

D. 2 3

h

2

? 9 ,即 a

2

? 9?

h

2

,那么

4

4

正 六 棱 柱 的 体 积 V ? (6 ?

3 4

a )? h ?
2

3 2

3

(9 ?

h

2

)h ?

3 2

3

(?

h

3

? 9h)

, 令

4

4

y ? ?

h

3

? 9 h ,则 y ? ?
'

3h 4

2

? 9 ,由 y ? 0 ,解得 h ? 2
'

3 ,易知当 h ? 2

3 时,正六棱

4

柱的体积最大。 2.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】已知 ABCD 为正方形,点 P 为平面 ABCD 外一点, P D ? A D , P D ? A D ? 2 ,二面角 P ? A D ? C 为 6 0 ,则点 C 到
0

平面 PAB 的距离为

3. 【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考】已知正方体错误!未找到引用源。的棱长 为错误!未找到引用源。, 长为错误!未找到引用源。的线段错误!未找到引用源。的一 个端点错误!未找到引用源。在棱错误!未找到引用源。 上运动, 另一端点错误!未找到 引用源。在正方形错误!未找到引用源。内运动, 则错误!未找到引用源。的 中点的轨迹 的面积( )
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

A.错误!未找到引用源。 源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用

D.错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

B1 A1 D1

C1

C A (M) D

4.【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考 】设 A、 B 、 C 、 D 是半径为 2 的球面上的四 个不同点,且满足 A B ? A C ? 0 , A C ? A D ? 0 , A D ? A B ? 0 ,用 S 1、 S 2 、 S 3 分别表示△
A B C 、△ A C D 、△ A B D 的面积,则 S 1 ? S 2 ? S 3 的最大值是
??? ???? ? ???? ???? ???? ??? ?

.

错误!未找到引用源。5.

【湖北省武汉市 2013 届高三 11 月调研测试】 如图,在棱长为错误!未找到引用源。的正方体错误!未找到引用源。 中,错 误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的中点,错误!未找到引用源。 是错误!未找到引用源。上任意一点,错误!未找到引用源。 错误!未找到引 、 用源。是错误!未找到引用源。上任意两点,且错误!未找到引用源。的长为定 值,现有如下结论: ①异面直线错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。所成的角为定值; ②点错误!未找到引用源。 到平面错误!未找 用源。的距离为定值; ③直线错误!未找到引用源。与平面定错误! 到引用源。所成的角为定值
[来源:Z*xx*k.Com]

到 引

未 找

④三棱锥错误! 未找到引用源。的体积为定值;

[来源:Z+xx+k.Com]

⑤二面角错误!未找到引用源。的大小为定值. 其中正确结论的个数是( ) B. 错 误 !未 找到 引用 源。 D. 错误!未找到引用源。

A . 错 误 !未 找到 引用 源。 C. 错误!未找到引用源。

6. 【 浙 江 省 温 州 八 校 2013 届 高 三 9 月 期 初 联 考 】 在 二 面 角 ? ? l ? ? 中 ,
A ? l , B ? l , AC ? ? , BD ? ? , 且 AC ? l , BD ? l , 已 知 AB ? 1,
CD ? 5 , 则二面角 ? ? l ? ? 的余弦值为

AC ? BD ? 2 ,

【答案】错误!未找到引用源。 【解析】过点 B 在平面错误!未找到引用源。内作错误!未找到引用
源。

又错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。 且错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的平面角.

7. 【重庆市部分重点中学 2012—2013 年高三上学期第一次联考】 (本题满分 13 分) 如图,平面 PAC⊥平面 ABC, AC⊥BC,△PAC 为等边三角形,PE∥ C B ,M, N 分别是线段 A E , A P 上的动点,且满足:
[来源:Zxxk.Com]

AM AE

?

AN AP

? ? ( 0 ? ? ? 1) .

(1) 求证: M N ∥平面 A B C ; (2) 求? 的值,使得平面 ABC 与平面 MNC 所成的锐二面角的大小为 45?.

(2) 解: M N

???? ? 1 3 ? ( 0 , ? ? ? t , 0 ), C M ? (1 ? ? , ? ? t , ? ) ,设平面 CMN 2 2 ?? ? ?? ???? ? ? ?? ???? ? ? ?? ? ? ? 2 n 1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ) ,则 n 1 ? M N ? 0 , n 1 ? C M ? 0 ,可取 n 1 ? (1 , 0 , ) , 3? ?? ? 又 n 0 =(0,0,1) 是平面 A B C 的一个法向量. ?? ?? ? ? | n 0 ? n1 | ? ?? ,以及 ? ? 4 5 ? 可得 ? 由 | c o s ? | ? ?? | n 0 | ? | n1 |

???? ?

的法向量

|

? ? 2
3?

| ?
2 2

2 2

,即 2 ? 2

? 4 ? ? 4 ?0

.解得 ?

?

3 ? 1 (将 ? ? ? 1 ?

3

舍去) ,故

1?

(? ? 2 ) 3?
3 ?1

? ?



方法二: (Ⅰ) 证明:由
AM AE ? AN AP
[来源:Z*xx*k.Com]

? ? ,得 MN∥PE,

又依题意 PE∥BC,所以 MN∥BC. 因为 M N
?

平面 A B C , B C

?

平面 A B C , P E

所以 M N //平面 A B C .

????6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 MN∥BC,故 C、B、M、N 共面,平面 ABC 与平面 MNC 所成的锐二面角 即 N—CB—A.因为平面 PAC⊥平面 ABC, 平面 PAC ∩ 平面 ABC = AC,且 CB⊥AC ,所 以 CB⊥平面 PAC.故 CB⊥CN,即知 ? N C A 为二面 角 N—CB—A 的平面角. 所以 ? N C A ? 4 5 ? . 在△NCA 中运用正弦定理得,
[来源:学科网 ZXXK]

N

M

C

B

2 AN AC ? s in 4 5 ? s in 7 5 ? ? 2 6 ? 4 2 ? 3 ?1.

A

(第 18 题)

所以, ? ?

AN AP

?

3 ?1.
A

8.【2013 届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】 (本小题满分 14 分) 已知 A B
CD ? 2
? 平 面 B E D , A B // C D , B E ? E D

, AB

? BE ?

1 2

ED ? 4


C B

, F 是 E D 中点, G 是 C F 中点. (Ⅰ)求证:平面 A B E ? 平 面 C D F ; (Ⅱ)求 A G 与平面 A B C 所成角的余弦值.
E

G F D

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数 形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分 14 分. (I)取对角面 D 1 D B B 1 ,可知: B 1 N 2 所以 M N
B1 N ? A ? B1N
? MN
2

? B1 M

2

,又由 A B 1 ? C B 1 , N 是 A C 中点,故 ,于是 B 1 N ? 平 面 M A C ,直线 l 与 B 1 C 所成角即为 C

B1 N

与 B 1 C 所成角. B 1 N
2a ?
2

?

6a 2

, B 1C ?

2a,CN ?

2a 2

,所以
D1 A1 B1 M C1

3 2

a ?
2

1 2

a

2

c o s ? N B 1C ? 2?

?

3 2

,于是 ? N B 1 C

?

?
6



6 2

a?

2a

D

即 l 与 B 1 C 所成角为

?
6



A

N

C B

9.【浙江省温州八校 2013 届高三 9 月期初联考】 (本题满分 14 分)如图,四棱锥 P ? A B C D 的底面 A B C D 为矩形,且 P A ? A D ? 1 ,
AB ? 2 ,? PAB ? 120 , ? PBC ? 90 ,
? ?

(Ⅰ)平面 P A D 与平面 P A B 是否垂直?并说明理由; (Ⅱ)求直线 P C 与平面 A B C D 所成角的正弦值. 【解析】 (I)平面 P A D ? 平 面 P A B ; ??????1 分 证明:由题意得 A D ? A B 且 A D // B C 又 B C ? P B ,则 D A ? P B ??????? ???3 分 则 D A ? 平面 P A B , ??????5 分 故平面 P A D ? 平面 P A B ??????7 分 (Ⅱ)以点 A 为坐标原点,AB 所在的直线为y轴建立

D

C

A

B

P

空间直角坐标系如右图示,则 D ( 0 , 0 , 1) , C ( 0 , 2 ,1) , P ( 平面 ABCD 的单位法向量为 m 设 直 线
?
?? ? (1, 0 , 0 )

3 2

,?

1 2

, 0)

可得 C P

??? ?

? (

3 2

,?

5 2

, ? 1)

,

9分



??????????????11 分 所 成 角 为 ?
6

PC

与 平 面
3 2 1? 3 4 ? 25 4

ABCD

, 则

z D C

c

?? ??? ? m ?CP ? o s? ?( ? ??? ) ???? ? 2 | m |?|CP |

? ?1

???13 分
A

8

B y


6 8

s in ? ?

6 8

, 即 直 线 PC 与 平 面 ABCD 所 成 角 的 正 弦 值

P

x

???????????14 分

10.【河北省唐山市 2012-2013 学年度 高三年级摸底考 试】 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 A A1⊥底面 ABC. AB=AC=l,∠BAC=120,异面直线 B1C 与 A1C1 所成的角为 60°。 (I)求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积: (II)求二面角 B1-AC- B 的余弦值.

1 因此二面角 B1-AC-B 的余弦值为 3 . 11.【湖北省武汉市 2013 届高三 11 月调研测试】 如图,在直三棱柱 中,错误!未找到 错误!未找到引用源。 , ,点 、 引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用源。和错误! 未找到引用源。的中点.

?12 分

(1)求证:错误!未找到引用源。∥平面错误!未找到引用源。 ; (2)若二面角错误!未找到引用源。为直二面角,求错误!未找到引用源。的值. 法(一) :如图,连结错误!未找到引用源。′, 错误!未找到引用源。 . 由已知错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 , ,三棱柱错误!未找到引用源。为直 三棱柱, ∴错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的中点, 又∵点错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的中点, ∴错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。 , 又错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。平面错误!未 找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。∥平面错误!未找到引用源。. ???????? 6分

12.【2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试】如图,四棱锥 P-ABCD 的底 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD,AD=2,AB=1,E,F 分别是 AB,BC 的中点 N 在轴上 (I)求证:PF⊥FD; (II)在 PA 上找一点 G,使得 EG∥平面 PFD; (III)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 A-PD-F 的余弦值。

(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系,因为 PA⊥平面 ABCD , 所以错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所 成的角.

又由已知可得错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,所以 错误!未找到引用源。 . 设平面错误!未找到引用源。的法向量为错误!未找到引用源。 ,由错误!未找到引用 源。得错误!未找到引用源。 , 令错误!未找到引用源。 ,解得:错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 . 又因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。是平面错误!未找到引用源。 的法向量, 所以错误!未找到引用源。 . 由图知,二面角错误!未找到引用源。的余弦值为错误!未找到引用 源。 . ????????13 分

13. 【山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考】 (本小题 12 分) 下图是一几何体的直观图、 主视图、俯视图、左视图. (Ⅰ)若错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的中点,求证:错误!未找到引 用源。错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。; (Ⅱ)证明错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。; (Ⅲ)求面错误!未找到引用源。与面错误!未找到引用源。所成的二面角(锐角)的余 弦值.

P(0,4,4)

E(0,0,2) M B N C(4,0,0) D(4,4,0) F(2,4,2) A(0,4,0)

(Ⅲ)分别以 BC,BA,BE 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 C( 4,0,0),D(4 ,4 , 0),E(0,0,2),A(0,4 ,0),P(0,4,4), ∵F 为 PD 的中点,∴F(2,4,2). ∵AF⊥面 PCD,∴ FA 为面 PCD 的一个法向量,
FA =(-2,0,-2),设平面 PEC 的法向量为 n =(x,y ,z),

则?

? ? n ? CE ? 0 ? n ? CP ? 0 ?

, ∴?

?z ? 2x ?? x ? y ? z ? 0
3 2

,令 x=1,∴ n ? (1, ? 1, 2 ) ,

∴ cos ? FA , n ??

FA ? n | FA || n |

? ?

, ∴ FA 与 n 的夹角为

5? 6



面 PEC 与 面 PDC 所成的二面角(锐角)的余弦值为

3 2



14. 【 广 东 省 珠 海 市 2012 年 9 月 高 三 摸 底 考 试 】 如 图 1, 在 直 角 梯 形 A B C D 中, ? A D C ? 9 0 ? , C D / / A B , A B ? 2 A D , A D ? C D , M 为线段 A B 的中点.将 ? A D C 沿
A C 折起,使平面 A D C ? 平面 A B C ,得到几何体 D ? A B C ,如图 2 所示.

(Ⅰ) 求证: B C ? 平面 A C D ; (Ⅱ) 求二面角 A ? C D ? M 的余弦值. C D

D

C

A

M 图1

.

B
第 18 题图

A

M 图2

B

1 8. (本题满分 12 分)




2 2



建 立 空
2 2





角 坐 标
2 2 a)



O ? xyz





所 示

,



M (0, ???? ? CM ? (

a , 0) ,C (? 2 2 2 2

a , 0, 0) , D (0, 0, 2 2

a,

???? a, 0) ,C D ? (

a, 0,

2 2

a)

8分 z D

设 n1 ? ( x , y , z ) 为面 C D M 的法向量,
? 2 2 ???? ? ax ? ay ? 0 ? ?CM ? 0 ?y ? ?x ? 2 2 即? ,解得 ? ???? ?CD ? 0 2 ?z ? ?x ? 2 ax ? az ? 0 ? 2 ? 2 ?? 令 x ? ? 1 ,可得 n1 ? ( ? 1,1,1) ?? ? 又 n 2 ? ( 0 ,1, 0 ) 为面 A C D 的一个 发向量 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n 2 1 3 ? ? ∴ c o s ? n 1 , n 2 ? ? ?? ?? ? 3 | n 1 || n 2 | 3
?? ?n ? 1 则 ? ?? ? n1 ?

??

C O A x M B y

∴二面角 A ? C D ? M 的余弦值为 ……14分

3 3

.

15.【浙江省考试院 2013 届高三上学期测试】(本题满分 15 分) 如图,平面 ABCD⊥平面 ADEF,其中 ABCD 为矩形,

B

C

A F

D E

ADEF 为梯形, AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2 DE=2 . (Ⅰ) 求异面直线 EF 与 BC 所成角的大小; (Ⅱ) 若二面角 A-BF-D 的平面角的余弦值为 ,求 AB 的长.
3 1

本题主要考查空间点、线、面位置关系,异面直线所成角、二面角等基础知识, 空间向量 的应用,同时考查空间想象能力 和运算求解能力。满分 15 分。

(Ⅱ) 方法一: 设 AB=x.取 AF 的中 点 G.由题意得 DG⊥AF. 因为平面 ABCD⊥平面 ADEF,AB⊥AD,所以 AB⊥平面 ADEF, 所以 AB⊥DG. 所以 DG⊥平面 ABF. 过 G 作 GH⊥BF,垂足为 H,连结 DH,则 DH⊥BF, 所以∠DHG 为二面角 A-BF-D 的平面角. 在直角△AGD 中,AD=2,AG=1,得 DG= 在直角△BAF 中,由
AB BF GH x
3

. ,得

=sin∠AFB= =

GH FG
1



x ? 4
2

所以 GH= 在直角△DGH 中,DG=
3

x x ? 4
2

. ,得

,GH=

x x ? 4
2

DH= 2 因为 cos∠DHG=
GH DH

x x

2 2

? 3 ? 4



= ,得
3

1

x= 所以 AB=

2 5 2 5

15



15



[来源:学科网]

???? 15 分 方法二:设 AB=x. 以 F 为原点,AF,FQ 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系 Fxyz.则 F(0,0,0),A(-2,0,0),E( 所以
???? DF
3

,0,0),D(-1,

3

,0),B(-2,0,x),

=(1,-

3

,0), B F =(2,0,-x).
?? ?
[来源:学,科,网]

????

因为 EF⊥平面 ABF,所以平面 ABF 的法向量可取 n 1 =(0,1,0).
?? ? 设 n2

=(x1,y1,z1)为平面 BFD 的法向量,则
? 2 x1 ? z 1 x ? 0 , ? ? ? x1 ? 3 y 1 ? 0 , ?

z B C

所以,可取 n 2 =( 因为

?? ?

3

,1,

2

3

).
A D E F x (第 20 题图)

x ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? n1 ? n 2 ? ?? ? cos< n 1 , n 2 >= ?? | n1 | ? | n 2 |

= ,得
3

1

y

x= 所以 AB=

2 5

15



2 5

15

. ???? 15 分

16. 【湖北省黄冈中学 2013 届高三 11 月月考】 (本小 题满分 12 分)在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥ 平面 ACD ,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1, G 为 AD 中点. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有 直线 BF∥平面 ACD,并证明这一事实; (2)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大 小; (3)求点 G 到平面 BCE 的距离.

E

B

A

G

D

C

解法一: D 点为原点建立如图所示的空间 以 直角坐标系,使得 x 轴和 z 轴的正半轴分别 经过点 A 和点 E,则各点的坐标为 D (0, 0, 0) , A (2, 0, 0 ) ,
E ( 0 , 0 , 2 ) , B ( 2 , 0 , 1)

z

E

,C

(1,

3, 0)



B

F

(1)点 F 应是线段 CE 的中点,下面证明: 设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标为
???? 3 3 F ( , , 1) ,∴ B F ? ( ? , , 0) 2 2 2 2 1 3

x

A

G

D

, C
y

显然 B F 与平面 x O y 平行,此即证得 BF∥ 平面 ACD; ????????4 分
?

??? ?

(2)设平面 BCE 的法向量 为 n ? ( x , y , z ) , 则 n ? C B ,且 n ? C E , 由 C B ? (1, ? 3 , 1) , C E ? ( ? 1, ? 3 , 2 ) ,
?x ? ? ?? x ? ? 3y ? z ? 0 3y ? 2z ? 0
??? ? ??? ?

?

??? ?

?

??? ?

∴?

,不妨设 y ?

3

,则 ?

?x ? 1 ?z ? 2

,即 n ? (1, 3 , 2 ) ,

?

? n ? ( 0 , 0 ,1) ? ∴所求角 ? 满 足 c o s ? ? ? |n |

2 2

,∴ ? ?
????

?
4



????????8 分

(3)由已知 G 点坐标为 (1,0,0) ,∴ B G ? ( ? 1, 0 , ? 1) , 由(2)平面 BCE 的法向量为 n ? (1, 3 , 2 ) ,
???? ? BG ? n 3 ? ∴所求距离 d ? | |? 4 |n | 2 .
?

[来源:学科网 ZXXK]

?????? ??12 分

解法二: (1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB//ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点, 连接 FH,则 F H
// 1 E D ? 2

,∴ F H

// ? AB



???????2 分

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ B F // A H , 由 B F ? 平面 ACD 内, A H ? 平面 ACD,? B F // 平面 ACD; (2)由已知条件可知 ? A C D 即为 ? B C E 在平面 ACD 上的射影, 设所求的二面角的大小为 ? ,则
cos ? ? S ?ACD S ?BCE

?????4 分

E , ????????6 分 B

A

G C

D

易求得 BC=BE ?
1 2

5 ,CE ? 2

2 ,

∴ S ?BCE ?

|CE |?

BE

2

?(

CE 2

)

2

?

6 ,

而 S ?ACD ?

3 4

| AC | ?
2

3 ,

∴ cos ? ?
?
4
源:Z#xx#k.Com]

S ?ACD S ?BCE

?

2 2

,而 0 ? ? ?

?
2



∴? ?



??????8 分

[来

(3)连结 BG、CG、EG,得三棱锥 C— BGE, 由 ED ? 平面 ACD,∴平面 ABED ? 平面 ACD , 又 C G ? A D ,∴ C G ? 平面 ABED, 设 G 点到平面 BCE 的距离为 h ,则 V C ? B G E ? V G ? B C E 即 S ? B G E ? G C ?
3 1 1 3 S ?BCE ? h ,

由 S ?BGE ?

3 2

, S ?BCE ?
3

6 ,C G ?
3 ? 6

3 ,

∴h ?

S ?BGE ? G C S ?BCE

?

2

3 4

2 即为点 G 到平面 BCE 的距离.??????12 分

17.【2013 届浙江省重点中学协作体 高三摸底测试】 如 图 , 斜 三 棱 柱 ABC ? A 1 B 1 C 1 , 已 知 侧 面 BB 1 C 1 C 与 底 面 ABC 垂 直 且 ∠BCA=90°, ∠ B1 B C
? 60
?

, BC ? BB 1 =2,若二面角 A ? B 1 B ? C 为 30°,

(Ⅰ)证明 AC ? 平面 BB 1 C 1 C 及求 AB 1 与平面 BB 1 C 1 C 所成角的正切值; (Ⅱ) 在平面 AA 1 B 1 B 内找一点 P, 使三棱锥 P ? BB 1 C 为正三棱锥, 并求 P 到平面 BB 1 C 距离 B B1

C A

C1 A1

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的 位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证

能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用 意识. 满分 14 分. 解: (Ⅰ)面 BB 1 C 1 C ? 面 ABC ,因为面 BB 1 C 1 C ? 面 BB 1 C 1 C = BC , AC ? BC , 所以 AC ? 面 BB 1 C 1 C .……………3 分 取 BB 1 中点 E ,连接 CE , AE ,在 ? CBB 1 中, BB 1 ? CB ? 2 , ? CBB
? ? CBB ? BB
1

1

? 60

0

是正三角形,? CE ? BB 1 ,又 AC ? 面 BB 1 C 1 C 且 BB 1 ? 面 BB 1 C 1 C ,

1

? AE ,即 ? CEA 即为二面角 A ? B 1 B ? C 的平面角为 30°,
? 中, CE ? 3 , ? AC ? CE ? tan 30
0

在 ? AC ? 面 BB 1 C 1 C , AC ? CE , Rt ? ECA

? 1,

又 AC ? 面 BB 1 C 1 C ,? ? CB 1 A 即 AB 1 与面 BB 1 C 1 C 所成的线面角, 在 Rt ? B 1 CA 中, tan ? CB 1 A ?
AC CB
1

?

1 2

……………8 分


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