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湖南省华容县2011-2012学年度高二数学第一学期期末考试试卷 理


湖南省华容县 2011-2012 学年度高二第一学期期末考试试卷数学(理 科)
注意事项: 1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页。时量 100 分钟,满分 150 分。答题前, 考生既要将自己的姓名、考号填写在本试题卷上,还要将自己的姓名、考号填写在答题卡上, 并且用 2B 铅笔在答题卡信息码上,将自己的考号对应的数字涂黑。 2、回答选择题时,用 2B 铅笔把

答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷和草稿纸上无效。 3、回答非选择题时,用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。写在本试 卷和草稿纸上无效。 4、考试结束时,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的。 ) 1. 1010(2)转化成十进制数是 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 2. 算法的三种基本结构是 A. 顺序结构 条件结构 循环结构 B. 顺序结构 模块结构 条件结构 C. 顺序结构 循环结构 模块结构 D. 模块结构 条件结构 循环结构 3. 已知 P 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2 2 4. ?是第三象限角,方程 x +y sin?=cos?表示的曲线是 A. 焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 y 轴上的椭圆 C. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线 ? ? ? ? 5. 若 a =(2x,1,3), b =(1, ?2y,9),如果 a 与 b 为共线向量,则 1 1 1 3 1 3 A. x=1,y=1 B. x= ,y=? C. x= ,y=- D. x=- ,y= 2 2 6 2 6 2 6. 已知直线 y=x+b 的横截距在[?2,3]范围内,则该直线在 y 轴上的纵截距大于 1 的概率 是 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 2 2 7. 设 x1,x2?R,常数 a>0,定义运算“○”x1○x2=(x1+x2) -(x1-x2) ,若 x≥0,则动点 + + P(x, x○a)的轨迹是 + A. 圆 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 8. 从一点 P 引三条两两垂直的射线 PA、PB、PC,且 PA:PB:PC=1:2:3,则二面角 P?AC?B 的 正弦值为 3 2 10 4 5 A. B. C. D. 7 7 7 7 二、填空题(本题共 7 小题,每题 5 分,共 35 分。把答案填在答题卡对应题号位的横线上。 ) 设双曲线 2- =1 (a>0)的渐近线方程为 2x?3y= a 4 0,则 a 的值为___________。 10. 已知某程序框图如图所示,若输入的 x 值为 –1,则输出的值为___________。 ? ? ? ? 11. 已知 a =(1?t,1?t,t), b =(2,t,t) ,则| b - a 9.

x2 y2

开始 输入 x 否
-1-

x>0? 是 输出 2x+3

输出 2x

|的最小值为___________。 ? ? ? ? ? 12. 已知向量 a , b 满足条件| a |=2,| b |= 2,且 a ? ? ? ? 与 2 b - a 互相垂直,则 a 与 b 的夹角为 ___________。 13. 某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3000 件, 根据分层抽样的结果,企业统计员作了如下统计表 格。 产品类别 A B C

产品数量(件)

1300

样本容量(件)

130

由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A 产品的 样本容量比 C 产品的样本容量多 10,根据以上信息,可得 C 产品的数量是___________。 14. 若 P 是以 F1F2 为焦点的椭圆 + =1 上一点,则?PF1F2 的周长等于__________。 100 36
2

x2

y2

15. 已知点 A(4,4),若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,该抛物线上有 10 6 一点 M,它在 y 轴上的射影为 N,则|MA|+|MN|的最小值为___________。

x2

y2

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了 5 次,成绩如下表 (单位:环) ,如果甲、乙两人中只有 1 人入选,计算他们的平均成绩及方差。问入选的 最佳人选应是谁? 甲 乙 10 10 8 10 9 7 9 9 9 9

17. (本小题满分 12 分) 2 2 已知 P: “直线 x+y?m=0 与圆(x?1) +y =1 相交” , 2 q: -4m<0” “m 若 p∪q 为真命题, p 为真命题,求 m 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 2 过点(?3,2)的直线与抛物线 y =4x 只有一个公共点,求此直线方程。

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19. (本小题满分 13 分) 已知 A(0,2,3),B(?2,1,6),C(1,?1,5) ? ? ? (1)求AB、AC、BC; ? ? (2)求以AB、AC为边的平行四边形的面积;

20. (本小题满分 13 分) 如图所示,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD?底面 ABCD,PD=DC,点 E 是 PC 的中点,作 EF?PB 交 PB 于点 F, (1)求证:PA//平面 EDB; (2)求证:PB?平面 EFD; (3)求二面角 C?PB?D 的大小。

21. (本小题满分 13 分)

x2 y2 3 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的点 M(1, )到它的两焦点 F1,F2 的距离之和为 4,A、B 分 a b 2
别是它的左顶点和上顶点。 (1)求此椭圆的方程及离心率; (2)平行于 AB 的直线 l 与椭圆相交于 P、Q 两点,求|PQ|的最大值及此时直线 l 的方程。

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华容县 2011-2012 学年度第一学期期末考试试卷 高二数学(理科)参考答案 一、选择题 1—4.CABD 5–8.CADB 二、填空题 1 3 5 9.3 10. 11. 12.45? 13.800 14.36 15.4 2 5 三、解答题 16.解:甲、乙、两人成绩的平均数分别为 10+8+9+9+9 x甲 = =9 5 10+10+7+9+9 x乙 = =9 5 故二人的平均水平相当????4 分 甲、乙两人成绩的方差分别为 1 2 2 2 2 2 S甲= [(10?9) +(8?9) +(9?9) +(9?9) ]=0.4????7 分 5 1 6 2 2 2 2 2 2 S乙= [(10?9) +(10?9) +(7?9) +(9?9) +(9?9) ]= =1.2????10 分 5 5 2 2 S甲<S乙 显然甲的成绩比乙稳定。 所以入选的最佳人选应是甲??????12 分 17.解:∵P∪q 为真命题, p 为假命题,所以 p 假 q 真????3 分 ?x+y-m=0 由? 2 2 ?(x?1) +y =1 2 2 若 p 为假,则?=4(1+m) -4?2?m ≤0 ∴m≥1+ 2或 m≤1- 2??????8 分 2 若 q 为真,m -4m<0,则 0<m<4????????10 分 ∴p 假 q 真时,1+ 2≤m<4 ∴m 的取值范围是[1+ 2, 4)??????????12 分 18.解:显然,直线存在斜率 k 设其方程为 y-2=k(x+3) ?y-2=k(x+3) 2 由? 2 消去 x,整理得 ky -4y+8+12k=0 ① ?y =4x (1)当 k=0 时,①化为?4y+8=0,即 y=2????5 分 此时过(?3,2)的直线方程 y=2 满足条件。 ?k≠0 (2)当 k≠0 时,由? ?16?4k(8+12k)=0 1 提 k= 或 k=–1 3 ∴直线方程 x?3y+9=0 或 x+y+1=0??????10 分 故所求的直线有三条,其方程分别为: y=2 或 x?3y+9=0 或 x+y+1=0????????12 分 19.(1)解:由于 A(0,2,3),B(?2,1,6),C(1, ?1,5) ? ? ? 则AB=(?2,–1,3),AC=(1,?3,2),BC=(3,?2,1)??????6 分 ?? AB?AC 1 ?? 而 cos(AB?AC)= = ??????9 分 ? ? 2 |AB|?|BC|
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3 ?? ∴sin(AB?AC)= 2 ? ? ?? ∴S=|AB|?|AC|sin((AB?AC)=)7 3??????13 分 ? ? 即以(AB、AC为边的平行四边形的面积为 7 3。 20.解:如右图所示建立空间直角坐标系,点 D 为坐标原点,设 DC=1。 (1)证明:连结 AC, AC 交 BD 于点 G,连结 EG. 1 1 依题意得 A(1,0,0),P(0,0,1),E(0, , ). 2 2 因为底面 ABCD 是正方形,所以点 G 是此正 z 1 1 方形的中心,故点 G 的坐标为( , ,0), 2 2 1 1 ? ? 且PA=(1,0,?1),EG=( ,0,? ). 2 2 ? ? 所以PA=2EG,即 PA//EG. 而 EG?平面 EDB, 且 PA?平面 EDB, 因此 PA//平面 EDB.????????4 分 y (2)证明:依题意得 ? B(1, 1, 0),PA=(1,1, ?1) x 1 1 ? 又DE=(0, , ), 2 2 1 1 ?? 故PB?DE=0+ - =0,所以 PB?DE. 2 2 由已知 EF?PB,且 EF∩DE=E,所以 PB?平面 EFD.??????8 分 (3)解:已知 PB?EF,由(2)可知 PB?DF,故?EFD 是二面角 C?PB?D 的平面角,设点 F ? 的坐标为(x,y,z),则PF=(x, y, z–1). ? ? 因为PF=kPB, 所以(x, y, z?1)=k(1, 1, ?1)=(k, k, ?k),即 x=k,y=k,z=1?k. ? ? 因为PF?DF=0, 所以(1, 1, ?1) ? (k, k, 1?k)=k+k-1+k=3k-1=0. 1 1 1 2 所以 k= ,点 F 的坐标为( , , ). 3 3 3 3 1 1 又点 E 的坐标为(0, , ). 2 2 1 1 1 ? 所以FE=(- , ,– ). 3 6 6 ?? FE?FD 因为 cos?EFD= ? ? |FE|?|FD| 1 1 1 1 1 2 1 (- , ,- )?(- ,- ,- ) 3 6 6 3 3 3 6 1 = = = , 1 2 6 6 ? 3 3 3 所以?EFD=60?,即二面角 C?PB?D 的大小为 60?。??????13 分 21、解:(1)由题意得 2a=4,∴a=2???????????2 分 3 1 9 将 M(1, )代入椭圆方程得: + 2=1 2 4 4b

-6-

∴b =3,因此所求椭圆方程为

2

x

2

+ =1????????????5 分 4 3 c 1 其离心率 e= = ????????6 分 a 2 3–0 3 (2)由题意,直线 l 的斜率 k=kAB= = ?????8 分 0–(–2) 2 ∴设 l 的方程为 y= 3 y= x+m ? 2 由? 2 2 ?x y + =1 4 3 得 6x +4 3mx+4m -12=0 2 2 由?=48m -24(4m -12)>0 2 2 3 2m -6 得? 6<m< 6,x1+x2=? m,x1?x2= 3 3 ∴|PQ|= = 3 2 (1+ )[(x1+x2) -4x1x2] 4
2 2

y2

3 x+m 2

7 2 (6?m )??????????????11 分 3

∴当 m=0 时,|PQ|max= 14 3 ∴l 的方程为 y= x 2 ∴|PQ|的最大值为 14,此时 l 的方程为 y= 3 x????13 分 2

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