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高考总复习全套完整资料------第24课时 数列的综合应用


课题:数列的综合应用 (一) 主要知识: 1. 等差数列的概念、性质及基本公式。 2. 等比数列的概念、性质及基本公式。

(二)主要方法:
1. 解决等差数列和等比数列的问题时,通常考虑两类方法:①基本量法:即运用条件转 化为关于 a1 和 d (q ) 的方程;②巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质
可以化繁为简,减少运算量

. 2. 深刻领会两类数列的性质,弄清通项和前 n 项和公式的内在联系是解题的关键. 3. 解题时,还要注重数学思想方法的应用,如“函数与方程” 、 “数形结合” 、 “分类讨论” 、 “化归转化”.

(三)典例分析: 问题 1.?1? 若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列, c 、 a 、 b 成等比数列,且
a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? A. 4 B. 2 C. ?2 D. ?4

? 2?
A. 2

设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0 , a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ?

B. 4

C. 6

D. 8

则 ? 3? 已知 x ? 0 ,y ? 0 ,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列, 的最小值是

( a ? b) 2 cd

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

? 4 ? 已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,且 a1, a3 , a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 ? a2 ? a4 ? a10

? 5? 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S 2 , 3S3 成等差数列, 则 ?an ? 的公比为
189

问题 2 . 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,
a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13

?1? 求 {an } , {bn} 的通项公式; ? 2 ? 求数列 ? bn ? 的前 n 项和 Sn .
?
n

?a ? ?

问题 3 . 在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 , a2 是 a1 与 a4 的等比中项,已知数列
a1、a3、 ak1、 ak2 ... 、akn、 ...成等比数列,求数列 ?an ? 的通项 kn

问题 4.数列 {an } 的前 n 项和记作 S n ,满足 S n ? 2an ? 3n ? 12 , (n ? N * ) .

?1? 证明数列 {an ? 3} 为等比数列;并求出数列 {an } 的通项公式. ? 2 ? 记 bn ? nan ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .
190

问题 5.已知数列 {an } ( n 为正整数)是首项是 a1 ,公比为 q 的等比数列.
1 2 0 1 2 3 ? a3C2 , a1C3 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3 ; ?1? 求和: a1C20 ? a2C2 ? 2 ? 由 ?1? 的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明.

(四)巩固练习:
1. 在等差数列 ?an ? 中,若 a10 ? 0 ,则有不等式 a1 ? a2 ? ??? ? an
则有不等式
191

? a1 ? a2 ? ??? ? a19?n ? n ? 19, n ? N * ? 成立,相应地:在等比数列 ?bn ? ,若 b9 ? 1 ,
成立.

2. 定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 {a n } 是等和数列, 且 a1 ? 2 ,公和为 5 ,那么 a18 的值为 _____ ,这个数列的前 n 项和 S n 的计算公式为
________

3. 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 ?Sn ? 是等差数列,则 q ?

4. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数 的和是 16 ,第二个数与第三个数的和是 12 ,求这四个数.

(五)课后作业:

5. 若 Sn 是公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. ?1? 求数列

S1 , S2 , S4 的公比; ? 2 ? 若 S2 ? 4 ,求 ?an ? 的通项公式.

192

?1? 求 q 的值;? 2 ? 设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn ,当 n
≥ 2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.

6. 已知 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列.

(六)走向高考:
7. 已知各项全不为零的数列 {an } 的前 k 项和为 Sk ,且 S k ?

1 ak ak ?1 (k ? N * ) ,其中 2 a1 ? 1 . ?1? 求数列 {an } 的通项公式; ? 2 ? 对任意给定的正整数 n(n ≥ 2) ,数列 {bn } 满



bk ?1 k ? n , 2, ,n ? 1 ) ? (k ?1 , b1 ? 1 ,求 b1 ? b2 ? bk ak ?1
193

? bn .

8. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ,{bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 ,b2 (a2 ? a1 ) ? b1 ,

?1? 求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

? 2 ? 设 cn ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn bn

194

9. 已知实数列 ?an ? 是等比数列,其中 a7 ? 1 ,且 a4 , a5 ? 1 , a6 成等差数列. (Ⅰ)求
, 2, 3, ) . (Ⅱ)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,证明: Sn ? 128 (n ? 1
数列 ?an ? 的通项公式;

2 2 10. 设 Sn 是数列 {an } ( n ? N * )的前 n 项和, a1 ? a ,且 Sn ? 3n2an ? Sn ?1 , an ? 0 , n ? 2, 3, 4, ??? . (Ⅰ)证明:数列 {an? 2 ? an } ( n ≥ 2 )是常数数列; * (Ⅱ)试找出一个奇数 a ,使以 18 为首项, 7 为公比的等比数列 {bn } ( n ? N )中的 所有项都是数列 {an } 中的项,并指出 bn 是数列 {an } 中的第几项.

195

11. 在数列 {an } 中,若 a1 , a2 是正整数,且 an ? an?1 ? an?2 , n ? 3,4,5,
前十项) ;



则称 {an } 为“绝对差数列”. ?1? 举出一个前五项不为零的“绝对差数列” (只要求写出

? 2 ? 若 “ 绝 对 差 数 列 ” {an } 中 , a2 0 ? 3 ,a 2 1?

0, 数 列 {bn } 满 足

如果存在,求出其极限值; ? 3? 证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

bn ? an ? an?1 ? an?2 , n ? 1, 2,3,

,分别判断当 n ?? 时, an 与 bn 的极限是否存在,

196

12. 如果有穷数列 a1 , a2 , a3 , ???, am ( m 为正整数)满足条件 a1 ? am , a2 ? am?1 ,…,
2 , m) ,我们称其为“对称数列” . am ? a1 ,即 ai ? am?i ?1 ( i ? 1,,

,其中 b1 , b2 , b3 , b4 是等差数列,且 b1 ? 2 ,b4 ? 11.依 ?1? 设 ?bn ?是 7 项的“对称数列” 次写出 ?bn ?的每一项; ,其中 c25 , c26 , c27 , ???, c49 是首项为 1 ,公比为 2 的等 ? 2 ? 设 ?cn ?是 49 项的“对称数列” 比数列,求 ? cn ?各项的和 S ; ,其中 d51 , d52 , ???, d100 是首项为 2 ,公差为 3 的等差 ? 3? 设 ? d n ?是100 项的“对称数列” 2 , 100 ) . 数列.求 ? d n ? 前 n 项的和 S n ( n ? 1,,
197

2 5 2 1 与数列 8, 4, 2, 2, 4, 8 都是“对称数列” 例如,数列 1,,,, .

198


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