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2016-2017 学年高中数学 第一章 数列 1.2.2.1 等差数列的前 n 项 和课后演练提升 北师大版必修 5
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知数列{an}为等差数列,a1=35,d=-2,Sn=0,则 n 等于( A.33 C.35 解析: 由题可得 35n+ B.34 D.36 )

n?n-1?
2

×(-2)=0,

解得 n=36 或 n=0(舍去). 答案: D 2.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7=( A.12 C.14 5?a1+a5? 解析: S5= =25, 2 ∴a1+a5=10,又∵a1+a5=2a3. ∴a3=5,a2=3,∴d=2. ∴a7=a3+(7-3)d=5+4×2=13.故选 B. 答案: B 3.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则数列{an}的前 10 项和 S10=( A.138 C.95 B.135 D.23 ) B.13 D.15 )

解析: 方法一:由 a2+a4=4,a3+a5=10, 得 2a1+4d=4,2a1+6d=10,从而可得 a1=-4,d=3, 所以 S10=10a1+45d=95.故选 C. 方法二:(a3+a5)-(a2+a4)=(a3-a2)+(a5-a4)=2d=6,从而 d=3;又 a2+a4=2a3 =4,从而 a3=2, 10?a1+a10? 10?a3+a8? 10?a3+a3+5d? 所以 S10= = = =95.故选 C. 2 2 2 方法三:由 a2+a4=4,a3+a5=10, 得 a4+a6=16,a5+a7=22, ?a4+a6?+?a5+a7? 于是 a4+a7= =19, 2

1

10?a1+a10? 10?a4+a7? 所以 S10= = =95.故选 C. 2 2 方法四:注意到 a2+a4=2a3=4,a3+a5=2a4=10, ∴a3=2,a4=5.又 Sn=an +bn, 所以 a3=S3-S2=9a+3b-(4a+2b)=2,a4=S4-S3=16a+4b-(9a+3b)=5, 3 11 3 2 11 从而 a= ,b=- ,即 Sn= n - n, 2 2 2 2 所以 S10=95.故选 C. 答案: C 4.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以 Sn 表示{an}的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 C.19 解析: ∵{an}为等差数列, ∴a1+a3+a5=105? a3=35, ) B.20 D.18
2

a2+a4+a6=99? a4=33, d=a4-a3=33-35=-2,
∴{an}是递减数列.

an=a3+(n-3)d=35+(n-3)×(-2)=-2n+41, an≥0,-2n+41≥0,n≤ ,
∴当 n≤20 时,an>0, ∴n=20 时,Sn 最大,故选 B. 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6=S3=12,则{an}的通项 an=________. 解析: 由 a6=S3=12 可得{an}的公差 d=2,首项 a1=2, 故易得 an=2n. 答案: 2n 6.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=29,5a8=a5-8,则 Sn 的最大值为________. 解析: 依题意得 5(a1+7d)=a1+4d-8, ∴5(29+7d)=29+4d-8, 解得 d=-4. 41 2

n?n-1? Sn=n×29+ ×(-4)
2

2

=-2n +31n
2 ? 31?2 31 =-2?n- ? + . 4? 8 ?

2

∴当 n=8 时,Sn 最大值.

Sn 最大为-2×82+31×8=120.
答案: 120 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知等差数列{an}中, 1 (1)a1= ,S4=20,求 S6; 2 5 3 (2)a1= ,an=- ,Sn=-5,求 n 和 d; 6 2 (3)a1=4,S8=172,求 a8 和 d. 4?4-1? 解析: (1)S4=4a1+ d=4a1+6d=2+6d=20, 2 ∴d=3. 6?6-1? 故 S6=6a1+ d=6a1+15d=3+45=48. 2

(2)由题意,得 Sn= 解得 n=15.

n?a1+an?
2

?5 3? n? - ? ?6 2?
2 =-5,



5 3 又 a15= +(15-1)d=- , 6 2 1 ∴d=- . 6 8?a1+a8? 8?4+a8? (3)由已知,得 S8= = , 2 2 解得 a8=39, 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. 8.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3·a4=117,a2+a5=22. (1)求通项 an; (2)求 Sn 的最小值. 解析: (1)∵数列{an}为等差数列, ∴a3+a4=a2+a5=22. 又∵a3·a4=117,∴a3,a4 是方程 x -22x+117=0 的两实根, 又公差 d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,
3
2

∴?

?a1+2d=9 ? ?a1+3d=13 ?

,解得?

?a1=1 ? ?d=4 ?



∴an=4n-3. (2)由(1)知 a1=1,d=4, ∴Sn=na1+

n?n-1? ? 1? 1 d=2n2-n=2?n- ?2- ,
2

?

4?

8

∴当 n=1 时,S1 最小,最小值为 S1=a1=1. ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (1)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (2)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式. 解析: (1)由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0, 故解得 d=-2,a1=20. 因此,{an}的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3,….

S14≤77, ? ? (2)由?a11>0, ? ?a1≥6,

2a1+13d≤11, ? ? 得?a1+10d>0, ? ?a1≥6, ①

2a1+13d≤11, ? ? 即?-2a1-20d<0, ② ? ?-2a1≤-12. ③ 11 由①+②得-7d<11,即 d>- . 7 1 由①+③得 13d≤-1,即 d≤- . 13 11 1 于是- <d≤- . 7 13 又 d∈Z,故 d=-1.④ 将④代入①②得 10<a1≤12. 又 a1∈Z,故 a1=11 或 a1=12. 所以,所有可能的数列{an}的通项公式是

an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,….

4


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