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潮阳区2013届高一上学期期末质检(数学)


潮阳区 2010~2011 学年度第一学期高一级期末质检
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分为 150 分,考试用时 120 分钟。 参考公式: 锥体的体积公式 V ? 球的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

4 3 ?R ,球的表面积公式 S ? 4?R 2 ,

R 是球的半径. 3

第Ⅰ卷 选择题 (共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? {x | x ? ?2 或 x ? 4 },B ? {x | ?3 ? x ? 3} , (CU A) ? B ? 则 A. {x | ?3 ? x ? 4} C. {x | ?3 ? x ? ?2 或 3 ? x ? 4} B. {x | ?2 ? x ? 3} D. {x | ?2 ? x ? 4}

2.若函数 y ? f (x) 的定义域 M ? ?x | ?2 ? x ? 2?,值域为 N ? ?y | 0 ? y ? 2? ,则函数

y ? f (x) 的图象可能是:

A B C 3、过点 P(4,-1)且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程是 A.4x+3y-13=0 B. 4x-3y-19=0 C. 3x-4y-16=0 D. 3x+4y-8=0 4.已知 a ? log 3 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是 A. 5a ? 2 B. a ? 2 C. 3a ? (1 ? a)
2

D

D. 3a ? a ? 1
2

? 1 x ?( ) , x ? [?1,0) 5.若函数 f ( x) ? ? 4 , 则 f (log4 3) ? x ?4 , x ? [0,1] ?
A.

1 3

B.

1 4

C. 3

D. 4

6.已知长方体的长、宽、高分别为 2,3,6,则其外接球的表面积为 A.196π B.49π C.44π

D.36π

1

7. 已知函数 f (x) 是定义在 ?? 5, 上的偶函数, f (x) 在 ?0,5? 上是单调函数,且 5?

f (?3) ? f (1) ,则下列不等式中一定成立的是
A. f (?1) ? f (?3) B. f (2) ? f (3) C. f (?3) ? f (5) D. f (0) ? f (1)

8.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 9.若函数 y ? ? x ? A. (0 , 4]

? ?

25 3 ? 25 ? ? 的定义域为[0 , m],值域为 [? ,?4] ,则 m 的取值范围是 4 2? 4
B. [ , 4 ]

2

3 2

C. [ ,3]

3 2

D. [ ,?? )
c

3 2

a 10.设 a, b, c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log2 c 。则 2
2

?1? ?2?

b

?1? ?2?

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

D.

b?a?c

第Ⅱ卷 非选择题 (共 100 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11.直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 和 6 x ? 8 y ? 6 ? 0 间的距离是 .

12.某简单几何体的三视图如图所示,其正视图、h 侧视图、俯视图 均为直角三角形,则这个几何体的体积为 . 13.若幂函数 y ? f ?x ? 的图象过点(9,

1 ), 则 f (25) =______ 3
,若函数 g(x)=f(x)-m

? x ?2 ? 1 14、已知函数 f ( x) ? ? ?? x 2 ? 2 x ?
有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是

( x ? 0) ( x ? 0)


三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15、 (本小题满分 12 分)已知集合 A= ?x | a ? x ? a ? 3?,B= ?x | x ? ?1或x ? 5?. (1) 若 A∩B= ? ,求实数 a 的取值范围; (2) 若 A ? B,求实数 a 的取值范围.

2

16、 (本小题满分 12 分)已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) B(-2,-1) C(4, 、 、 3) M 是 BC 边上的中点。 , (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长。

17、本小题满分 14 分) ( 甲商店某种商品 4 月份(30 天,4 月 1 日为第一天)的销售价格 P (元) 与时间 t (天)函数关系如图(一)所示,该商品日销售量 Q (件)与时间 t (天)函数关系如图(二) 所示。

f ,写出图(二)表示的日销 (1) 写出图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式 P ? (t)
h . ( ,及日销售金额 M(元)与时间的函数关系 M ? (t) 售量与时间的函数关系式 Q ? g t)
(2)乙商店销售同一种商品,在 4 月份采用另一种销售策略,日销售金额 N (元)与时间

t (天)之间的函数关系为 N ? ?2t 2 ? 10t ? 2750 ,试比较 4 月份每天两商店销售金额的大小
关系.

18 、( 本 小 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 为 矩 形 , DA ? 平 面 ABE , AE ? EB ? BC ? 2 ,BF ? 平面 ACE 于点 F , 点 F 在 CE 上, M 是线段 AB 且 点 的中点。 (1)求证: AE ? BE ; (2)求三棱锥 D ? AEC 的体积; (3)试在线段 CE 上确定一点 N ,使得 MN // 平面 DAE 。

19、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? a ? 3 ,

3

g ( x ) ? m x ? 5 ? 2m
(1)若 y ? f (x) 在[-1,1]上存在零点,求实数 a 的取值范围; (2)当 a=0 时,若对任意的 x1 ∈[1,4],总存在 x2 ∈[1,4],使 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成 立,求实数 m 的取值范围;

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? log a (1)判断函数 f (x) 的奇偶性;

x ?1 (a ? 0, a ? 1) . x ?1

(2)判断函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上的单调性,并给出证明; (3)当 x ? (n, a ? 2) 时,函数 f ( x ) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 n 的值;

4

数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) BBABC BDDCA 1.B

CU A ? ?x | ?2 ? x ? 4?

由图可知: (CU A) ? B ? {x | ?2 ? x ? 3} 。选B 2.B A 中定义域是 ?x | ?2 ? x ? 0?,不是 M,C 中图象不表示函数关系, D 中值域不是

N ? ?y | 0 ? y ? 2?。选B
3.A 4.B 5.C 6.B 设所求直线方程为 4 x ? 3 y ? m ? 0 ,将 P(4,?1) 代入得 m=-13。选A

log3 8 ? 2 log3 6 ? 3 log3 2 ? 2(1 ? log3 2) ? log3 2 ? 2 ? a ? 2 。选 B ? log4 3 ? (0,1),? f (log4 3) ? 4log4 3 ? 3 。选C
长方体的对角线长为 22 ? 32 ? 62 ? 7 ,所以其外接球的直径为 2R=7,即 R=
2

7 , 2

所以它的表面积为 4 ? ? ? R ? 49? 。选 B 7.D 8.D 9.C 观察右边图象可知 m ? ? ,3? 选 C 2 因为 a, b, c 均为正数,由指数函数和对数函数单调性得: 易知 f (x) 在[-5,0]递增,在[0,5]递减,结合 f (x) 是偶函数可知选 D.

?3 ? ? ?

10.A

log 1 a ? 2 a ? 1 ? 0 ? a ?
2
b

1 2

1 ?1? log 1 b ? ? ? ? ?0,1? ? ? b ? 1 2 ?2? 2

?1? log2 c ? ? ? ? 0 ? c ? 1 ,所以 a ? b ? c ,选 A。 ? 2?
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11.3 12. 4 13.

c

1 5

14. (0 ,1)

5

12.该几何体为三棱锥, V ? 13.设 f ( x) ? x? ,则 9
?

1 1 ? ? 2 ? 3? 4 ? 4 3 2
1

?

? 1 1 1 ,所以 ? ? ? , f (25) ? 25 2 ? 3 2 5

14. g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,即函数

y ? f (x) 与函数 y ? m 的图象有三个不同交点。
观察图象可知: m ? (0,1)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15、 (本小题满分 12 分) 解: (1)由 A∩B= ? 得: ?

?a ? ?1 ,………………………………………………………3 分 ?a ? 3 ? 5
………………………………………………………6 分 ……………………………………………9 分

解得: ? 1 ? a ? 2

(2)由 A ? B 得: a ? 3 ? ?1或a ? 5 所以: a ? ?4或a ? 5 16、 (本小题满分 12 分) 解: (1)由两点式写方程得

……………………………………………………………12 分

y ?5 x ?1 ? , …………………………………………4 分 ?1? 5 ? 2 ?1

即 6 x ? y ? 11 ? 0 ……………………………………………………………6 分



直线 AB 的斜率为

k?

?1? 5 ?6 ? ?6 ? 2 ? (?1) ? 1

……………………………………3 分

直线 AB 的方程为 即 6 x ? y ? 11 ? 0

y ? 5 ? 6( x ? 1)
…………………………………………………………………6 分

(2)设 M 的坐标为( x0 , y0 ) ,则由中点坐标公式得

x0 ?

?2?4 ?1? 3 ? 1, y 0 ? ?1 2 2

故 M(1,1) ………………………………9 分

AM ? (1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5 …………………………………………………12 分
17、 (本小题满分 14 分) 17. 解:(1)设价格函数是 y ? kt ? b ,过点(0,15) (30,30)则

6

?b ? 15 ?b ? 15 1 ? ?? ? 1 ∴ P ? f (t ) ? t ? 15(0 ? t ? 30, t ? N ) 2 ?30k ? b ? 30 ?k ? 2 ?
销售量函数 y ? at ? m ,过点 (0, 160), (30, 40)

……………3 分

则?

?m ? 160 ?m ? 160 ?? ?30a ? m ? 40 ?a ? ?4
……………………………………………6 分 …………………9 分

∴ Q ? g (t ) ? ?4t ? 160(0 ? t ? 30, t ? N )

则 M ? ( t ? 15)(?4t ? 160) ? ?2t ? 20t ? 2400(0 ? t ? 30, t ? N )
2

1 2

(2) N ? ?2t 2 ?10t ? 2750(t ? N )

?? 0 0 ? t ? 11 (t ? N ) M ? N ? 30t ? 350? ?? 0 12 ? t ? 30

………………………………12 分

即前 11 天甲商店销售额少,以后乙均比甲少 …………………………………………14 分 18、 (本小题满分 14 分) 解: (1)证明:由 AD ? 平面 ABE 及 AD // BC ∴ BC ? 平面 ABE ,∴ AE ? BC ……………………2 分 而 BF ? 平面 ACE ,∴ BF ? AE ,又 BC ? BF ? B , ∴ AE ? 平面 BCE ,又 BE ? 平面 BCE ,∴ AE ? BE 。 ……………………5 分 (2)连接 EM,∵M 为 AB 中点,AE=EB=BC=2,∴ EM ? AB 又 DA ? 平面 ABE,EM ? ABE 平面,∴ DA ? EM , 所以 EM ? 平面 ACD …………………………………………………………7 分 由已知及(1)得 EM ? 故 VD ? AEC ? VE ? ADC

1 AB ? 2 , S ?ADC ? 2 2 . 2 1 4 ? ?2 2? 2 ? …………………………………9 分 3 3

(3)取 BE 中点 G ,连接 MG, GF , FM 。 ∵ BF ? 平面 ACE ,∴ BF ? CE , 又 EB ? BC ,所以 F 为 CE 中点,∴GF//BC 又∵BC//AD,∴GF//AD 所以 GF//平面 ADE ………………………………11 分 同理 MG // 平面 ADE ,所以平面 GMF //平面 ADE 又 MF ? 平 面 M G F 则 MF // 平 面 , A D 。E ……………………………………13 分 ∴当点 N 与点 F 重合,即 N 为线段 CE 的中点时, MN // 平面 ADE 。………14 分 19、 (本小题满分 14 分) 解: :因为函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a ? 3 的对称轴是 x=2, (1)
2

7

所以 f (x) 在区间[-1,1]上是减函数, …………………………………………………2 分 又因为函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有:

?a≤0 ? f (1)≤0 即? , ? ? f (?1)≥0 ?a ? 8≥0

…………………………………………………………………4 分

解得 -8≤a≤ ,故所求实数 a 的取值范围为[-8,0] . ……………………………6 分 0 (2)若对任意的 x1 ? ?1,4? ,总存在 x2 ? ?1,4? ,使 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立,只需 x ? ?1,4? 时函 数 y ? f (x) 的值域为函数 y ? g (x) 的值域的子集.

f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3 , x ? ?1,4? 的值域为 ?? 1,3? , ………………………………………8 分
①当 m =0 时, g ( x) ? 5 ,不符合题意舍去;……………………………………………9 分 ②当 m >0 时, g (x) 的值域为 ?5 ? m,5 ? 2m? ,要使 ?? 1,3? ? 需?

?5 ? m,5 ? 2m?,

?5 ? m ? ?1 ,解得 m ? 6 ; ……………………………………………………………11 分 ?5 ? 2m ? 3

③当 m <0 时, g (x) 的值域为 ?5 ? 2m,5 ? m? ,要使 ?? 1,3? ? ?5 ? 2m,5 ? m? , 需?

?5 ? 2m ? ?1 ,解得 m ? ?3 ;…………………………………………………………13 分 ?5 ? m ? 3
…………………………………………14 分

综上, m 的取值范围为 ?? ?,?3? ? ?6,??? 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由

x ?1 ? 0 得函数 f ( x) 的定义域为 (1, ??) ? (??, ?1) , ………………2 分 x ?1

又 f (? x) ? loga

? x ?1 x ?1 ? x ? 1? ? loga ? loga ? ? ? x ?1 x ?1 ? x ?1?

?1

? ? loga

x ?1 ? ? f ( x) x ?1

所以 f (x) 为奇函数。 ……………………………………………………………4 分 (2)由(1)及题设知: f ( x) ? log a ∴当 x1 ? x2 ? 1时, t1 ? t2 ?

x ?1 x ?1 x ?1? 2 2 ? ? 1? ,设 t ? , x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
∴ t1 ? t2 . ……6 分

2( x2 ? x1 ) 2 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

当 a ? 1 时, loga t1 ? loga t2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ∴当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是减函数.

8

同理当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数. (3)①当 n ? a ? 2 ? ?1 时,有 0 ? a ? 1 .

………………………………8 分

由(2)可知: f ( x ) 在 (n, a ? 2) 为增函数,………………………………………9 分

1? n ? ?1 ?log a 由其值域为 (1, ??) 知 ? ,无解 …………………………………11 分 n ?1 ?a ? 2 ? ?1 ?
②当 1 ? n ? a ? 2 时,有 a ? 3 .由(2)知: f ( x ) 在 (n, a ? 2) 为减函数,

?n ? 1 ? 由其值域为 (1, ??) 知 ? a ? 1 ……………………………………………13 分 ?log a a ? 3 ? 1 ?
得 a ? 2? 3 ,n ?1. ………………………………………………………14 分

9


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