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2011届高考文科数学大题覆盖式练习1


2011 届高考文科数学大题覆盖式练习 1 时间 45 分钟
4 π 1.已知 sin(π-α)=5,α∈(0,2). α (1)求 sin2α-cos22的值; 5 1 (2)求函数 f(x)=6cosαsin2x-2cos2x 的单调递增区间.

2.设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a 1 ? 1, S n ? 1 ?

4 a n ? 2

(1)设 b n ? a n ? 1 ? 2 a n ,证明数列 {b n } 是等比数列 (2)求数列 { a n } 的通项公式。

3. 如图所示, 在等腰梯形 P D C B 中,
P B ? 3, D C ? 1, P D ? B C ? 2, A

为 PB

P

A

P B B M B

边上一点,且 P A ? 1, 将 ? P A D 沿 A D 折起,使平面 P A D ⊥ 平面 A B C D .
D C

A

B B

(1)求证: C D ⊥平面 P A D ; (2)若 M 是侧棱 P B 中点,求截面 A M C 把几何体分成的两部分的体积之比。

D

C

4.某高校在 2011 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分 组,得到的频率分布表如下左图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布 直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层 抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮 面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面 试,求:第 4 组至少有一 名学生被考官 A 面试的概率?

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计

分组
?160 ,165 ? ?165 ,170 ?
?170 ,175 ? ?175 ,180 ?
[1 8 0,1 8 5]

频数 5 ① 30 20 10 1 00

频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

5.已知

f ( x ) ? x ln x

, g (x) ?

x ? ax ? x ? 2 .
3 2

(1)求函数 取值范围

f (x)

的单调区间;(2)对任意 x ? (0 ,? ? ) , 2 f ( x ) ≤

g ?( x ) ? 2

恒成立,求实数 a 的

4 4 π 3 1. 解:(1)∵sin(π-α)= ,∴sinα= ,又∵α∈(0, ),∴cosα= ,……………2 分 5 5 2 5 3 1+ 5 4 1+cosα α 4 3 ∴sin2α-cos2 =2sinαcosα- =2× × - = ,……………………6 分 2 2 5 5 2 25 5 3 1 2 π (2)f(x)= × sin2x- cos2x= sin(2x- ),………………………………………9 分 6 5 2 2 4 π π π π 3π 令 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.…………………………11 分 2 4 2 8 8 π 3π ∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z.…………………………12 分 8 8 2.解: (1)由 a 1 ? 1, 及 S n ? 1 ? 4 a n ? 2 , 有 a1 ? a 2 ? 4 a1 ? 2, a 2 ? 3 a1 ? 2 ? 5,? b1 ? a 2 ? 2 a1 ? 3 由 S n ? 1 ? 4 a n ? 2 ,. ..① 则当 n ? 2 时,有 S n ? 4 a n ?1 ? 2 ...② ..

②-①得 a n ? 1 ? 4 a n ? 4 a n ?1 ,? a n ? 1 ? 2 a n ? 2 ( a n ? 2 a n ?1 ) 又? b n ? a n ? 1 ? 2 a n ,? b n ? 2 b n ? 1 ? { b n } 是首项 b1 ? 3 ,公比为 2 的等比数列.……6 分 (2)由(I)可得 b n ? a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? 2
? 数列 { ?
n ?1

,?

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

3 4

an 2 1 2
n

} 是首项为 3 4

1 2

,公差为
3 4 n? 1 4

3 4

的等比数列.
n?2

an 2
n

?

? ( n ? 1)

?

, a n ? (3 n ? 1) ? 2 P B B

………………………………12 分

3.
P

A

A

M B N C

D

C D
2 ? AD ? AB

B B

(1)证明:依题意知 P A ? 1, P D ? 又 C D ∥ AB ? CD ? AD



…………………………………2 分 又∵平面 P A D ⊥平面 A B C D ,平面 P A D ? 平面 A B C D ? A D , 由面面垂直的性质定理知, C D ? 平面 P A D …………………6 分 (2)解:设 N 是 A B 的中点,连结 M N ,依题意, P A ? A D , P A ? A B , 所以, P A ? 面 A B C D ,因为 M N ∥ P A ,所以 M N ? 面 A B C D .
V MABC ? V PABCD ? 1 3 1 3 M N ? S ?ABC ? P A ? S ABCD ? 1 11 1 1 ? ? ……………………………9 ? 2? 2 ? 62 2 3 6

分 分

所以, V P A D C M
V PADCM : VM ACB ?

11 CD ? AB 1 1? 2 1 ………………………11 PA ? A D ? ?1 ? ?1 ? 32 2 3 2 2 1 1 1 ? V PADCB ? V M ACB ? ? ? 2 6 3
2 :1

…………………………………12 分

4 (1)第二组频数为 100 ? 0 . 35 ? 35 第三组频率为
30 100 ? 0 . 3 ………………2 分

直方图如右图…………………………5 分 (2)第 3,4,5 组分别抽取 3,2,1 人……8 分

(3)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A 2 , A 3 ,第 4 组的 2 位同学为 B 1 , B 2 ,第 5 组的 1 位同学为 C 1

其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的有:

所以第 4 组的 2 位同学至少有一位入选的 概率为 20.(1)解: f ?( x ) ? ln x ? 1 , 令 f ?( x ) ? 0 得: 0 ? x ? 令 f ?( x ) ? 0 得: x ?
1 e

9 15

?

3 5

…………13 分

…………………………………………………………2 分
1 e
1 e ,? ? )

1 e

,∴ f ( x ) 的单调递减区间是 (0 , )

……………………………4 分 ……………………6 分

,∴ f ( x ) 的单调递增区间是 (

(2)解: g ?( x ) ? 3 x 2 ? 2 ax ? 1 ,由题意 2 x ln x ≤ 3 x 2 ? 2 ax ? 1 ∵x > 0,∴ a ≥ 设 h(x) ?
ln x ? 3 2 ln x ? x? 1 2x ? 1,x ? ? 1 3 3 2 x? 1 2x 1 x ? 3 2 ? 1 2x
2

恒成立 ①………………………………9 分
? ? ( x ? 1)(3 x ? 1) 2x
2

,则 h ? ( x ) ? (舍去)

令 h ? ( x ) ? 0 得: x

当 0 < x < 1 时, h ? ( x ) ? 0 ;当 x > 1 时, h ? ( x ) ? 0 ∴当 x = 1 时,h ( x ) 有最大值-2 ……………………………………………12 分 若①恒成立,则 a≥-2,即 a 的取值范围是 [ ? 2 ,? ? ) .…………………13 分


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