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2012年高考真题理科数学解析分类汇编2函数与方程


2012 年高考真题理科数学解析分类汇编 2 一、选择题

函数与方程

1. 2012 高考重庆理 7】 【 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且以 2 为周期, “ f ( x ) 为 [ 0 ,1] 则 上的增函数”是“ f ( x ) 为 [ 3, 4 ] 上的减函数”的 (A)既不充分也不必要的条件 (C)必要而不

充分的条件 【答案】D (B)充分而不必要的条件 (D)充要条件

【解析】因为 f ( x ) 为偶函数,所以当 f ( x ) 在 [ 0 ,1] 上是增函数,则 f ( x ) 在 [ ? 1, 0 ] 上则为减 函数,又函数 f ( x ) 的周期是 4,所以在区间 [ 3, 4 ] 也为减函数.若 f ( x ) 在区间 [ 3, 4 ] 为减函 数,根据函数的周期可知 f ( x ) 在 [ ? 1, 0 ] 上则为减函数,又函数 f ( x ) 为偶函数,根据对称 性可知, f ( x ) 在 [ 0 ,1] 上是增函数,综上可知, f ( x ) 在 [ 0 ,1] 上是增函数”是“ f ( x ) 为区 “ 间 [ 3, 4 ] 上的减函数”成立的充要条件,选 D. 2.【2012 高考北京理 8】某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录 的结果看,前 m 年的年平均产量最高。m 值为( )

A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】C 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C。 3.【2012 高考安徽理 2】下列函数中,不满足: f (2 x ) ? 2 f ( x ) 的是(
( A) f ( x) ? x (B ) f ( x) ? x ? x (C ) f ( x ) ? x ? ?


(D) f (x) ? ? x

【答案】C 【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。 【解析】 f ( x ) ? kx 与 f ( x ) ? k x 均满足: f (2 x ) ? 2 f ( x ) 得: A , B , D 满足条件. 4.【2012 高考天津理 4】函数 f ( x ) ? 2 x ? x 3 ? 2 在区间(0,1)内的零点个数是 (A)0 (B)1
——1——

(C)2 (D)3 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在定理以及作 图与用图的数学能力. 【解析】解法 1:因为函数 f ( x ) ? 2 x ? x 3 ? 2 的导数为 f ' ( x ) ? 2 x ln 2 ? 3 x 2 ? 0 ,所以函 数 f ( x ) ? 2 x ? x 3 ? 2 单 调 递 增 , 又 f (0)=1+ 0 ? 2 = ? 1 , f (1)= 2+ 2 3 ? 2 = 8 , 即
f ( 0 ?) f
8

且函数 ( 1 ) < 0 f ( x ) 在 (0,1) 内连续不断,故根据根的存在定理可知 f ( x ) 在 (0,1) 内

的零点个数是 1.
6

解法 2:设 y1 = 2 x , y 2 = 2 ? x 3 ,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示:可知 B 正确.
4

2

5

5

10

2

5.【20124高考全国卷理 9】已知 x=lnπ ,y=log52, z ? e

?

1 2

,则

(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x 6 【答案】D 【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小比较方法。
8

【解析】 x ? ln ? ? 1 , y ? log
y ? z ? x ,选 D.

5

2 ?

1 log
2

? 5

1 2

,z ? e

?

1 2

?

1 e



1 2

?

1 e

? 1 ,所以

6. 【2012 高考新课标理 10】已知函数 f ( x ) ?

1 ln ( x ? 1) ? x

; y ? f ( x ) 的图像大致为 则 (



——2——

【答案】B 【命题意图】 本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。 要是函数图像与 x 轴 有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可。 【解析】法 1:因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大 值或者极小值为零即可满足要求。而 f ?( x ) ? 3 x 2 ? 3 ? 3( x ? )( x ? 1) ,当 x ? ? 1 时取得极值 由 f (1) ? 0 或 f ( ? 1) ? 0 可得 c ? 2 ? 0 或 c ? 2 ? 0 ,即 c ? ? 2 。
1 ln 2 ? 2

法 2:排除法,因为 f ( 2 ) ?

? 0 ,排除 A. f ( ?

1 2

) ? ln

1 1 2 ? 1 2

? ln

1 e 2

? 0 ,排除

C,D,选 B. 7.【2012 高考陕西理 2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x 2 C. y ?
1 x



D. y ? x | x |

【答案】D. 【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知 A 非奇非偶的增函数;B 是奇函数 且是减函数; 是奇函数且在 ( ?? , 0 ) , 0 , ?? ) 上是减函数; 中函数可化为 y ? ? C D ( 易知是奇函数且是增函数.故选 D. 8. 【 2012 高 考 重
? x ,x ? 0
2

?? x , x ? 0
2





10













? 1 ? 2 2 A ? ? ( x , y ) ( y ? x )( y ? ) ? 0 ? , B ? ( x , y ) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ,则 A ? B 所表示的平 x ? ?

?

?

面图形的面积为 (A) ?
4 3

(B) ?
5

3

(C) ?
7

4

(D)

?
2

【答案】D 【解析】法 1:由对称性:
1 x

y ? x, y ?

1 x

, ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 围 成 的 面 积 与
2 2

y ? x, y ?

, ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

围成的面积相等 得: A ? B 所表示的平面图形的面积 ,
1 2 ?? R
2

为 y ? x , ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,围成的面积既

?

?
2 。

?y ? x ? 0 ?y ? x ? 0 ? ? 法 2:由 ( y ? x )( y ? ) ? 0 可知 ? 或者 ? ,在同一坐标系中做出平面区 1 1 x y ? ? 0 y ? ? 0 ? ? x x ? ?
1

——3——

域如图:

,由图象可知 A ? B 的区域为阴影部分,根据对称性可
?
2

知,两部分阴影面积之和为圆面积的一半,所以面积为

,选 D.

9.【2012 高考山东理 3】设 a ? 0 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x ) ? a x 在 R 上是减函数 ” ,是“函 数 g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 3 在 R 上是增函数”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】若函数 f ( x ) ? a x 在 R 上为减函数,则有 0 ? a ? 1 。函数 g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 3 为增函 数,则有 2 ? a ? 0 ,所以 a ? 2 ,所以“函数 f ( x ) ? a x 在 R 上为减函数”是“函数
g ( x ) ? ( 2 ? a ) x 为增函数”的充分不必要条件,选 A.
3

?x ?9 ,x ? 3 ? 10.【2012 高考四川理 3】函数 f ( x ) ? ? x ? 3 在 x ? 3 处的极限是( ? ln ( x ? 2 ), x ? 3 ?
2



A、不存在 【答案】A.

B、等于 6

C、等于 3

D、等于 0

?x ?9 ? x ? 3, x ? 3 ,x ? 3 ? 【解析】 f ( x ) ? ? x ? 3 即为 f ( x ) ? ? ,故其在 x ? 3 处的极限不 ? ln ( x ? 2 ), x ? 3 ? ln ( x ? 2 ), x ? 3 ?
2

存在,选 A. [点评] 分段函数在 x=3 处不是无限靠近同一个值, 故不存在极限.对于分段函数, 掌握好定 义域的范围是关键。
x 11.【2012 高考四川理 5】函数 y ? a ?

1 a

( a ? 0 , a ? 1) 的图象可能是(



——4——

【答案】D 【解析】当 a ? 1 时单调递增, ?
x 因为 y ? a ?

1 a

? 0 ,故 A 不正确;

1 a

恒不过点 (1,1) ,所以 B 不正确;
1 a ? 0 ,故 C 不正确 ;D 正确.

当 0 ? a ? 1 时单调递减, ?

[点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用. 12.【2012 高考山东理 8】定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x ) .当 ? 3 ? x ? ? 1 时,
f ( x ) ? ? ( x ? 2) ,当 ? 1 ? x ? 3 时, f ( x ) ? x 。则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? f (2012) ?
2

(A)335 【答案】B

(B)338

(C)1678

(D)2012

【 解 析 】 由 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) , 可 知 函 数 的 周 期 为 6 , 所 以 f ( ? 3) ? f (3) ? ? 1 ,
f ( ? 2 ) ? f ( 4 ) ? 0 , f ( ? 1) ? f ( 5 ) ? ? 1 , f ( 0 ) ? f ( 6 ) ? 0 , f (1) ? 1 , f ( 2 ) ? 2 ,所以

在 一 个 周 期 内 有

f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( 6 ) ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1

, 所 以

f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( 2012 ) ? f (1) ? f ( 2 ) ? 335 ? 1 ? 335 ? 3 ? 338 ,选 B.

13.【2012 高考山东理 9】函数 y ?

cos 6 x 2 ?2
x ?x

的图像大致为

【答案】D 【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A,令 y ? 0 得 cos 6 x ? 0 ,所以
6x ?

?
2

? k? , x ?

?
12
x

?

k 6

? ,函数零点有无穷多个,排除 C,且 y 轴右侧第一个零点为
?x

(

?
12

,0 ) , 又函数 y ? 2

?2

为增函数, 0 ? x ? 当

?
12

时,y ? 2 x ? 2 ? x ? 0 ,cos 6 x ? 0 ,

——5——

所以函数 y ?
2

cos 6 x
x

? 2

?x

? 0 ,排除 B,选 D.

14.【2012 高考山东理 12】设函数 f ( x ) ?

1 x

, g ( x ) ? a x ? b x ( a , b ? R , a ? 0 ) ,若 y ? f ( x )
2

的图象与 y ? g ( x ) 图象有且仅有两个不同的公共点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则下列判断正确的 是 A.当 a ? 0 时, x1 ? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 B. 当 a ? 0 时, x1 ? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 C. 当 a ? 0 时, x1 ? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 D. 当 a ? 0 时, x1 ? x 2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 【答案】B 【解析】法 1:在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当 a ? 0 时,要想满足条件,则

有如图

,做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为 ( ? x1 , ? y1 ) ,

由 图 象 知 ? x1 ? x 2 , ? y1 ? y 2 , 即 x1 ? x 2 ? 0 , y1 ? y 2 ? 0 , 同 理 当 a ? 0 时 , 则 有
x1 ? x 2 ? 0 , y1 ? y 2 ? 0 ,故答案选 B.

法 2: F ( x ) ?
x1 , x 2

x ? bx ? 1 ,则方程 F ( x ) ? 0
3 2



f (x) ? g (x)

同解,故其有且仅有两个不同零点
F (0) ? 0

. 由 F ?( x ) ? 0 得 ,故必有
3

x?0
2 3



x ?

2 3

b

. 这 样, 必须 且只 须
? 3 2
3
3

或F(
x2 ?

2 3

b) ? 0

, 因为 .所以 ,由此

F (0) ? 1

F(

b) ? 0

由此得 b

2

.不妨设

x1 ? x 2
1 2

,则 . x1

2 3 1 2
3

b ?

3

2

F ( x ) ? ( x ? 1 ) ( x? x
1 x1
2

2 ),比较系数得 ? x1
2

4 ? 1 ,故 x 1 ? ?

3

2

? x2 ?

2 ? 0

知 y1

? y2 ?

?

1 x2

?

x1 ? x 2 x1 x 2

? 0 ,故答案为

B.

法 3:令

1 x

? ax

? bx , 1 ? ax 则

3

设 ? bx ( x ? 0 ) , F ( x ) ? ax
2

3

? bx , ? ( x ) ? 3 ax F
2

2

? 2 bx

令 F ? ( x ) ? 3 ax

2

? 2 bx ? 0 ,则 x ? ?

2b 3a

,要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不

——6——

同的 公共点 只 需 F (

? 2b 3a

) ? a (?

2b 3a

) ? b(?
3

2b 3a
3

)

2

? 1 ,整理得 4 b
2

3

? 27 a , 于是可 取
2

a ? ? 2 , b ? 3 来研究,当 a ? 2 , b ? 3 时, 2 x ? 3 x

? 1 ,解得 x 1 ? ? 1, x 2 ?
3

1 2

,此时
2

y 1 ? ? 1, y 2 ? 2 ,此时 x 1 ? x 2 ? 0 , y 1 ? y 2 ? 0 ;当 a ? ? 2 , b ? 3 时, ? 2 x ? 3 x

? 1,

解得 x 1 ? 1, x 2 ? ?

1 2

,此时 y 1 ? 1, y 2 ? ? 2 ,此时 x 1 ? x 2 ? 0 , y 1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B。
1 x
2

法 4:令 f ( x ) ? g ( x ) 可得 设 y? ?
1 x
2

? ax ? b 。

, y ?? ? ax ? b

y ?? ? ax ? b (a ? 0)

y

y

y ?? ? ax ? b (a ? 0)

不妨设 x 1 ? x 2 ,结合图形可知, 当 a ? 0 时如右图,此时 x 1 ? x 2 , 即 ? x 1 ? x 2 ? 0 ,此时 x 1 ? x 2 ? 0 , y 2 ?
1 x2 ? ?

x1

x2

x

x1

x2

x

1 x1

? ? y 1 ,即 y 1 ? y 2 ? 0 ;同理可由图

形经过推理可得当 a ? 0 时 x 1 ? x 2 ? 0 , y 1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B。 15. 【2012 高考辽宁理 11】 设函数 f(x) ( x ? R ) 满足 f( ? x )=f(x), f(x)=f(2 ? x), 且当 x ? [0,1] 时, f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos (? x ) |,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [ ? (A)5 【答案】B 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等基础知 识,是难题. 【 解 析 】 法 1 : 因 为 当 x ? [ 0 , 1 时 , f(x)=x3. 所 以 当 x ? [ 1 , 2 ] , (2 x - ?) 时 ] f(x)=f(2 ? x)=(2 ? x)3, 当 x ? [ 0 , ] 时, g(x)=xcos (? x ) ; x ? [ , ] 时, 当 g(x)= ? xcos (? x ) , 注意到函数 f(x)、 g(x)
2 2 2 1 3 1 1 3 1 3 , ] 上的零点个数为 2 2

(B)6

(C)7

(D)8

[ 0, ] ,1

都是偶函数,且 f(0)= g(0), f(1)= g(1), g ( ) ? g ( ) ? 0 ,作出函数 f(x)、 g(x)的大致图
2 2 1 1 1 3 , 0 ]、0 , ]、 , 1 ]、 , ] 上各有一 [ [ [1 2 2 2 2

象,函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外,分别在区间 [ ? 个零点,共有 6 个零点,故选 B

法 2:由 f ( ? x ) ? f ? x ? 知,所以函数 f ( x ) 为偶函数,所以 f ? x ? = f ? 2- x ? = f ? x -2 ? ,所以函 数 f ( x ) 为 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 且 f ? 0 ? = 0, f ? 1 ? =1 , 而
g

? x? =

x c o s? ? x ?













——7——

?1? ? 1? ?3? ? 1 3? g ? 0 ? = g ? ? = g ? - ? = g ? ? = 0 ,在同一坐标系下作出两函数在 - , 上的图像,发现 ? 2 2? ?2? ? 2? ?2? ? ?

在 ?-

? 1 3? , 内图像共有 6 个公共点, 则函数 h ? x ? = g ? x ? - f ? ? 2 2?

? x? 在?-

? 1 3? , 上的零点个数为 6, ? ? 2 2?

故选 B. 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、 运算求解能力、 推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大。 16.【2012 高考江西理 2】下列函数中,与函数 y ?
1 sin x ln x x

1
3

定义域相同的函数为
sin x x

x

A. y ?

B. y ?

C.y=xex

D. y ?

【答案】D 【命题立意】 本题考查常有关对数函数, 指数函数, 分式函数的定义域以及三角函数的值域. 【 解 析 】 函 数 y ?
1
3

的 定 义 域 为 { x x ? 0} 。 y ?
ln x x

1 sin x

的 定 义 域 为
sin x x

x

{ x sin x ? 0} ? { x x ? k ? , k ? Z } , y ?

的定义域为 { x x ? 0} ,函数 y ?

的定义域

为 { x x ? 0} ,所以定义域相同的是 D,选 D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解 根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于 0:4) ( 实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域, 来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法. 17.【2012 高考江西理 3】若函数 f ( x ) ? ? A.lg101 B.2 【答案】B C.1 D.0
?x
2

? 1, x ? 1

? lg x , x ? 1

,则 f(f(10)=

【命题立意】本题考查分段函数的概念和求值。 【解析】 f (10 ) ? lg 10 ? 1 ,所以 f ( f (10 )) ? f (1) ? 12 ? 1 ? 2 ,选 B. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数 的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量 x 的取值对应着哪一段区间,就 使用哪一段解析式, 体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用, 来年需要注意分段函数 的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式. 18.【2012 高考江西理 10】如右图,已知正四棱锥 S ? A B C D 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 过点 E 垂直于 S C 的截面将正四棱锥分成上、 下两部分, SE ? x (0 ? x ? 1), 记 S C 上一动点, 截面下面部分的体积为 V ( x ), 则函数 y ? V ( x ) 的图像大致为

——8——

【答案】A 【命题立意】本题综合考查了棱锥的体积公式,线面垂直,同时考查了函数的思想,导数法 解决几何问题等重要的解题方法. 【解析】 (定性法)当 0 ? x ? 减的速度越来越快;当
1 2 1 2

时,随着 x 的增大,观察图形可知, V ? x ? 单调递减,且递

? x ? 1 时,随着 x 的增大,观察图形可知,V

? x ? 单调递减,且递

减的速度越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有 A 图象符合.故选 A. 【点评】对于函数图象的识别问题,若函数 y ? f ? x ? 的图象对应的解析式不好求时,作为 选择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的 计算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用 定性法,不但求解快速,而且准确节约时间. 19. 【2012 高考湖南理 8】已知两条直线 l1 : y=m 和 l 2 : y=
8 2m ? 1

(m >0), l1 与函数

y ? lo g 2 x 的图像从左至右相交于点 A,B , l 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于

C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时, A. 1 6 2 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出 y=m,y=
8 2m ? 1

b a

的最小值为

B. 8 2

C. 8 4

D. 4 4

(m>0), y ? log 2 x 图像如下图,
8 2m ? 1

由 log 2 x = m,得 x1 ? 2

?m

, x 2 ? 2 , log 2 x =
m

,得 x 3 ? 2

?

8 2 m ?1

8

, x4 ? 2

2 m ?1

.

——9——

8

依照题意得 a ? 2

?m

?2

?

8 2 m ?1

8

2 , b a 2 ?

m

?2

2 m ?1

8

,b ? 2

m

?2

2 m ?1

?m

?2
b

?

8 2 m ?1

? 2 2
m

2 m ?1

? 2

m?

8 2 m ?1

.

?m ?

8 2m ? 1

? m ?

1 2

?

4 m ? 1 2

?

1 2

? 4?

1 2

? 3

1 2

,? ( ) m in ? 8 2 .
a

y ? log 2 x
C
D
y ? 8 2m ? 1

A

B

y ?m

O

1

x

【点评】在同一坐标系中作出 y=m,y= 20.【2012 高考湖北理 9】函数 A.4 C.6 【答案】C

8 2m ? 1
2

(m>0), y ? log 2 x 图像,结合图像可解得.

f ( x ) ? x cos x

在区间 [0, 4] 上的零点个数为

B.5 D.7

考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.
2 【解析】f ( x ) ? 0 , x ? 0 或 cos x 2 ? 0 ,x ? k ? ? 则

?
2

, k ? Z , x ? ?0 , 4 ? , ? 0 ,1, 2 ,3 , 4 又 k

所以共有 6 个解.选 C. 21.【2012 高考广东理 4】下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A.y=ln(x+2) B.y=【答案】A 【解析】函数 y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函数;函数 y=- x ? 1 在区间(0,+∞) 上为减函数;函数 y=(
1 2

x ?1

C.y=(

1 2

)x

D.y=x+

1 x

)x 在区间(0,+∞)上为减函数;函数 y=x+

1 x

在区间(0,+∞)

上为先减后增函数.故选 A. 22.【2012 高考福建理 7】设函数 D ( x ) ? ? A.D(x)的值域为{0,1} B. D(x)是偶函数 C. D(x)不是周期函数 D.
——10——

? 1, x 为有理数 ? 0, x 为无理数

, 则下列结论错误的是

D(x)不是单调函数 【答案】C. 考点:分段函数的解析式及其图像的作法。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为分段函数的定义,单调性、奇偶性和周期性的定义和判定。 解答:A 中, D ( x ) 由定义直接可得, D ( x ) 的值域为 {0 ,1} 。
? 1, x 为有理数 ? 0 , x 为无理数

B 中, D ( x ) 定义域为 R , D ( ? x ) ? ?
? 1 , x 为有理数 ? 0 , x 为无理数

? D ( x ) ,所以 D ( x ) 为偶函数。

C 中, D ( x ? 1 ) ? ?

? D ( x ) ,所以可以找到 1 为 D ( x ) 的一个周期。

D 中, D (1) ? 1, D ( 2 ) ? 0 , D ( 2 ) ? 1 ...... ,所以不是单调函数。 23.【2012 高考福建理 10】函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1 ,x2 ∈[a,b],有 则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x)在[1,3]上具有性 质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的; ②f(x2)在[1, 3 ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【答案】D. 考点:演绎推理和函数。 难度:难。 分析:本题考查的知识点为函数定义的理解,说明一个结论错误只需举出反例即可,说明 一个结论正确要证明对所有的情况都成立。

【解析】法 1:若函数 f ( x ) 在 x ? 3 时是孤立的点,如图

,则①可以排除;

函数 f ( x ) ? ? x 具有性质 p,而函数 f ( x 2 ) ? ? x 2 不具有性质 p,所以②可以排除;设
x1 ? x 2 2 ? 2 , x1 , x 2 ? [1, 3 ] ,则 f ( 2 ) ?
1 2 [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] ? 1 2 [ f ( x 1 ) ? f ( 2 )] ,

即 f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? 1 ,又 f ( x1 ) ? 1 ,所以 f ( x1 ) ? 1 ,因此③正确;

——11——

f(

x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 4

)?

1 2

[f(

x1 ? x 2 2

)? f(

x3 ? x4 2

)] ?

1 4

[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 )]

所以④正确.故选 D. 法 2:A 中,反例:如图所示的函数 f ( x ) 的是满足性质 P 的,但 f ( x ) 不是连续不断的。

B 中,反例: f ( x ) ? ? x 在 [1, 3 ] 上具有性质 P , f ( x 2 ) ? ? x 2 在 [1, 3 ] 上不具有性 质P 。 C 中,在 [1, 3 ] 上, f ( 2 ) ? f (
x ? (4 ? x ) 2 ) ? 1 2 [ f ( x ) ? f ( 4 ? x )] ,

? f ( x ) ? f (4 ? x ) ? 2 ? ? f (x) ? 1 , ? f ( x ) ? f ( x ) max ? f ( 2 ) ? 1 ? f (4 ? x ) ? f ( x ) ? f (2) ? 1 max ?

所以,对于任意 x 1 , x 2 ? [1, 3 ], f ( x ) ? 1 。 D 中, f (
1 2 ? ? x1 ? x 2 2
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 2 ) ? f( ( x1 ? x 2 ) ? ( x 3 ? x 4 ) 2 )

?

[f(

)? f(

x3 ? x4 2

)]

1 1 1 [ ( f ( x 1 ) ? f ( x 2 )) ? ( f ( x 1 ) ? f ( x 2 ))] 2 2 2 1 4 [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 )]

二、填空题
24.【2012 高考福建理 15】对于实数 a 和 b,定义运算“﹡” a ? b ? ? :
? a ? ab , a ? b ?
2

? b ? ab , a ? b ?
2



设 f ( x ) ? ( 2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实 数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是_________________.

——12——

【答案】 (

1? 16

3

,0 ) .

【命题立意】本题属于新概念型题目,考查了根据条件确定分段函数解析式的能力,以及数 形结合的思想和基本推理与计算能力,难度较大. 【解析】法 1:由新定义得
2 2 ? ( 2 x ? 1 ) ? ( 2 x ? 1 )( x ? 1 ), 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? x, x ? 0 f (x) ? ? ? ? ,所以可以画出草图 2 2 ? ( x ? 1 ) ? ( 2 x ? 1 )( x ? 1 ), 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? x ? x , x ? 0

,若方程 f ( x ) ? m 有三个根,则 0 ? m ?
2 2

1 4

,且当 x ? 0 时方程可化为

? x ? x ? m ? 0 ,易知 x 2 x 3 ? m ;当 x ? 0 时方程可化为 2 x ? x ? m ? 0 ,可解得
1? 1 ? 8m 4 1? 1 ? 8m 4 1? 16 3

x1 ?

,所以 x 1 x 2 x 3 ? m ?
1?

,又易知当 m ?

1 4

时m ?

1?

1 ? 8m 4

有最

小值,所以

1 4

?

1? 4

3

? m?

1 ? 8m 4

? 0 ,即

? x1 x 2 x 3 ? 0 .

法 2:由题可得, f ( x ) ? ?

? x ( 2 x ? 1 ), x ? 0 ? ? x ( x ? 1 ), x ? 0

(

1 2

,

1 4

)

y ? m

x ? x 1( 0 , 0 ) x ? x 2

x ? x3

(1, 0 )

可得 m ? ( 0 , ), x 2 ? x 3 ?
4

1

1 2

, x1 ? 0 ,

且m ?

1 4

, x 2 x 3 ? , | x 1 |?
1 4

所以 m ?

时, | x 1 x 2 x 3 | max ?

1? 16

3



——13——

所以 m ? (

1? 16

3

,0 ) 。

25.【2012 高考上海理 7】已知函数 f ( x ) ? e | x ? a | ( a 为常数) 。若 f ( x ) 在区间 [1, ?? ) 上是 增函数,则 a 的取值范围是 。 【答案】 ( ?? ,1] 【解析】令 t ? x ? a ,则 t ? x ? a 在区间 [ a , ?? ) 上单调递增,而 y ? e t 为增函数,所以 要是函数 f ( x ) ? e
x?a

在 [1, ?? ) 单调递增,则有 a ? 1 ,所以 a 的取值范围是 ( ?? ,1] 。

【点评】本题主要考查指数函数单调性,复合函数的单调性的判断,分类讨论在求解数学问 题中的运用.本题容易产生增根,要注意取舍,切勿随意处理,导致不必要的错误.本题属于 中低档题目,难度适中. 26.【2012 高考上海理 9】已知 y ? f ( x ) ? x 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 , 则 g ( ? 1) ? 。 【答案】 - 1 【 解 析 】 因 为 y ? f ( x) ? x 2 为 奇 函 数 , 所 以 f (? x) ? x 2 ? ? f ( x) ? x 2 , 所 以
f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? 2 x , g (1) ? f (1) ? 2 ? 3 ,
2

所以 g ( ? 1) ? f ( ? 1) ? 2 ? ? f (1) ? 2 ? 2 ? ? f (1) ? ? 1 。 【点评】 本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意: 函数 y ? f ( x ) 为奇函数, 所以有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) 这个条件的运用,平时要加强这方面的训练,本题属于中档题,难 度适中. 27.【2012 高考江苏 5】 分)函数 f ( x ) ? (5 【答案】 ? 0, 6 ? 。
?

1 ? 2 log

6

x 的定义域为

▲ .

【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得
?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? 2 lo g 6 x ? 0 ? lo g 6 x ? ?x ? 62 = ? 2 ?

? 0< x ? 6

6



28.【2012 高考北京理 14】已知 f ( x ) ? m ( x ? 2 m )( x ? m ? 3 ) , g ( x ) ? 2 x ? 2 ,若同时满 足条件:

——14——

① ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ; ② ? x ? ( ?? , ? 4 ) , f ( x ) g ( x ) ? 0 。 则 m 的取值范围是_______。 【答案】 m ? ( ? 4 , ? 2 ) 【解析】根据 g ( x ) ? 2 x ? 2 ? 0 ,可解得 x ? 1 。由于题目中第一个条件的限制 ? x ? R ,
f ( x ) ? 0 或 g ( x ) ? 0 成立的限制,导致 ( x ) 在 x ? 1 时必须是 f ( x ) ? 0 的。当 m ? 0 时, f ( x ) ? 0 不能做到 f ( x ) 在 x ? 1 时 f ( x ) ? 0 ,所以舍掉。因此, f ( x ) 作为二次函数开口

只能向下,故 m ? 0 ,且此时两个根为 x1 ? 2 m , x 2 ? ? m ? 3 。为保证此条件成立,需要
1 ? ? x1 ? 2 m ? 1 ?m ? ? ? 2 ,和大前提 m ? 0 取交集结果为 ? 4 ? m ? 0 ;又由于条件 2: ? ?x2 ? ?m ? 3 ? 1 ?m ? ?4 ?

要求 x ? ( ?? , ? 4 ) , f ( x ) g ( x ) ? 0 的限制,可分析得出在 x ? ( ?? , ? 4 ) 时, f ( x ) 恒负,因 此就需要在这个范围内 g ( x ) 有得正数的可能,即 ? 4 应该比 x1 , x 2 两根中小的那个大,当
m ? ( ? 1, 0 ) 时, ? m ? 3 ? ? 4 ,解得,交集为空,舍。当 m ? ? 1 时,两个根同为 ? 2 ? ? 4 ,

舍。当 m ? ( ? 4 , ? 1) 时, 2 m ? ? 4 ,解得 m ? ? 2 ,综上所述 m ? ( ? 4 , ? 2 ) .
x
2

29. 2012 高考天津理 14】 【 已知函数 y ? 点,则实数 k 的取值范围是_________.

?1

x ?1

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交

【答案】 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 4 【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点,从 而确定参数的取值范围. 【解析】函数 y ?
x
2

?1

x ?1

?

( x ? 1 )( x ? 1 ) x ?1

,当 x ? 1 时, y ?

x

2

?1

x ?1

? x ? 1 ? x ? 1 ,当

x ?1





y ?

x

? ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? x ?1 ? x ? 1, x ? ? 1

2

?1











——15——

y ?

x

? x ? 1, x ? 1 ? ? ? ? x ? 1, ? 1 ? x ? 1 ,做出函数的图象(蓝线),要使函数 y 与 y ? kx ? 2 有两 x ?1 ? x ? 1, x ? ? 1 ?
2

?1

个不同的交点, 则直线 y ? kx ? 2 必须在四边形区域 ABCD 内(和直线 y ? x ? 1 平行的直线

除外,如图

,则此时当直线经过 B (1, 2 ) , k ?

2 ? (?2) 1? 0

? 4 ,综

上实数的取值范围是 0 ? k ? 4 且 k ? 1 ,即 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 4 。 30. 【2012 高考江苏 10】 分) f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, (5 设 在区间 [ ? 1 , 上, 1]
? a x ? 1 ,? 1 ≤ x ? 0 , ? f ( x) ? ? bx ? 2 其中 a ,b ? R ,0 ≤ x ≤ 1 , ? ? x ?1
?1 ? ? 3? ? ? f ? ?, ?2? ? 2?

.若 f ?

则 a ? 3 b 的值为 ▲ . 【答案】 ? 10 。 【考点】周期函数的性质。 【解析】∵ f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,∴ f ? ? 1 ? ? f ?1 ? ,即 ? a 又∵
1 2 ? 1= b ? 2 2

①。

1 ?3? ? 1? f ? ? ? f ?? ?= ? a ?1 2 ?2? ? 2?
a ? 1= b? 4 3



?1 ? ? 3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ? 2?

∴?

②。

联立①②,解得, a = 2. b = ? 4 。∴ a ? 3b = ? 10 。

三、解答题
31.【2012 高考江西理 21】 (本小题满分 14 分) 若函数 h(x)满足 (1)h(0)=1,h(1)=0; (2)对任意 a ? ? 0,1? ,有 h(h(a))=a; (3)在(0,1)上单调递减。

——16——

则称 h(x)为补函数。已知函数 (1)判函数 h(x)是否为补函数,并证明你的结论; (2)若存在 m ? ? 0,1? ,使得 h(m)=m,若 m 是函数 h(x)的中介元,记



h(x)的中介元为 xn,且

,若对任意的 n ? N ? ,都有 Sn<

1 2

,求 ? 的取值范围;

(3)当 ? =0, x ? ? 0,1 ? 时,函数 y= h(x)的图像总在直线 y=1-x 的上方,求 P 的取值范围。 解: (1)函数 h ( x ) 是补函数。证明如下:
1? 0 1? 0
1

① h (0 ) ? (

)

p

? 1, h (1) ? (

1?1 1? ?

1

)

p

? 0;

1

? 1? a p ? 1? p 1? a 1? ?a ② h ( h ( a )) ? h (( )) ? ? p p 1? ?a ?1? ? 1? a ? p 1? ?a ?
p

?p 1 p ? (1 ? ? ) a p ) ? a; ? ? ( 1? ? ? ? ?
p p p ?1

③令 g ( x ) ? ( h ( x )) p ,有 g ? ( x ) ?

? px

p ?1

(1 ? ? x ) ? (1 ? x ) ? p x (1 ? ? x )
p 2

?

? p (1 ? ? ) x (1 ? ? x )
p

p ?1 2



因为 ? ? ? 1, p ? 0 ,所以当 x ? (0,1) 时, g ?( x ) ? 0 ,所以 g ( x ) 在(0,1)上单调递减, 故函数 h ( x ) 在(0,1)上单调递减。
1 n
2 1

(2) 当 p ?

( n ? N ) ,由 h ( x ) ? x ,得: ? x

?

n

? 2 x n ? 1 ? 0 ? ? (? )

①当 ? ? 0 时,中介元 x n ? ( ) ;
n

1

2

1

②当 ? ? ? 1 且 ? ? 0 时,由(*)可得 x ?
n

1 1? ? ?1

1

? ( 0 ,1) 或 x n ?

1 1?
1 1? ? ?1
1

1? ?

? ( 0 ,1) ;

得中介元 x n ? (

1 1? ? ?1

) , 综上有对任意的 ? ? ? 1 , 中介元 x n ? (
n

) (n ? N? )
n

于是,当 ? ? ? 1 时,有 S n ?

?
i ?1

n

xi = ? (
i ?1

n

1 1? ? ?1

) ?
i

1 1? ?

(1 ? (

1? ? ?1

) )?
n

1 1? ?

——17——

当 n 无限增大时, (

1 1? ? ?1

) 无限接近于, S n 无限接近于

n

1 1? ?

, 故对任意的 n ? N ? ,

Sn ?

1 2

成立等价于

1 1? ?

?

1 2

,即 ? ? [3, ?? ) ;

1 p p

p (3) 当 ? ? 0 时, h ( x ) ? (1 ? x ) ,中介元是 x p ? ( )

1

1

2

①当 0 ? p ? 1 时,

1

? 1 ,中介元为 x p ? ( ) 2 p

1

1 p

?

1 2

,所以点 ( x p , h ( x p )) 不在直线 y=1-x

的上方,不符合条件;
1 p p ②当 p ? 1 时,依题意只须 (1 ? x ) ? 1 ? x 在 x ? (0,1) 时恒成立,也即 x p ? (1 ? x ) p ? 1 在

x ? (0,1) 时恒成立,设 ? ( x ) ? x ? (1 ? x ) , x ? [0,1] ,则 ? ? ( x ) ? p [ x
p p

p ?1

? (1 ? x )

p ?1

],

由 ? ?( x ) ? 0 可得 x ?

1 2

,且当 x ? ( 0 , ) 时,? ?( x ) ? 0 ,当 x ? ( ,1) 时,? ?( x ) ? 0 ,又因
2 2

1

1

为 ? (0) ? ? (1) =1,所以当 x ? (0,1) 时, ? ( x ) ? 1 恒成立。 综上:p 的取值范围为(1,+ ? ) 。 【点评】本题考查导数的应用、函数的新定义,函数与不等式的综合应用以及分类讨论,数 形结合的数学思想. 高考中,导数解答题一般有以下几种考查方向:一、导数的几何意义, 求函数的单调区间;二、用导数研究函数的极值,最值;三、用导数求最值的方法证明不等 式.来年需要注意用导数研究函数最值的考查. 32.【2012 高考上海理 20】 (6+8=14 分)已知函数 f ( x ) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x ) ? f ( x ) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2) g ( x ) 是以 2 为周期的偶函数, 若 且当 0 ? x ? 1 时, g ( x ) ? f ( x ) , 有 求函数 y ? g ( x ) ( x ? [1, 2 ] )的反函数. 【解析】已知函数 f ( x ) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x ) ? f ( x ) ? 1 ,求 x 的取值范围; 分) (6 (2)若 g ( x ) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x ) ? f ( x ) ,求函数 y ? g ( x ) ( x ? [1, 2 ]) 的反函数.(8 分) [解](1)由 ?
?2 ? 2 x ? 0 ? x ?1? 0

,得 ? 1 ? x ? 1 .
2?2x x ?1

由 0 ? lg( 2 ? 2 x ) ? lg( x ? 1) ? lg

? 1 得1 ?

2?2x x ?1

? 10 .
2 3

……3 分
1 3

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ?

? x?

.

——18——

由?

??1? x ?1 ??
2 3

? x ?

1 3

得?

2 3

? x?

1 3

.

……6 分

(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此
y ? g ( x ) ? g ( x ? 2 ) ? g ( 2 ? x ) ? f ( 2 ? x ) ? lg( 3 ? x ) .

……10 分

由单调性可得 y ? [ 0 , lg 2 ] . 因为 x ? 3 ? 10 y ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10 x , x ? [ 0 , lg 2 ] . ……14 分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识.考查数形结合思想,熟练 掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,属于中档题. 33.【2012 高考上海理 21】 (6+8=14 分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当 前位置为原点,以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度) ,则 救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛 物线 y ?
12 49 x ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发 t 小时后,失事
2

船所在位置的横坐标为 7 t . (1)当 t ? 0 . 5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求 救援船速度的大小和方向;

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? 【解析】 (1) t ? 0 . 5 时,P 的横坐标 xP= 7 t ? 中,得 P 的纵坐标 yP=3. 由|AP|=
949 2
7 2

,代入抛物线方程 y ?

12 49

x

2

……2 分 ……4 分

,得救援船速度的大小为 949 海里/时.
7 2

由 tan∠OAP= 3 ? 12 ?

7 30

7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

7 为北偏东 arctan 30 弧度.

……6 分

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 ( 7 t , 12 t 2 ) . 由 vt ? 因为 t 2 ?
( 7 t ) ? (12 t ? 12 ) ,整理得 v ? 144 ( t ?
2 2 2
2 2 1 t
2

1 t
2

) ? 337 .……10 分

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,

所以 v 2 ? 144 ? 2 ? 337 ? 25 2 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船.

……14 分

34.【2012 高考陕西理 21】 (本小题满分 14 分) 设函数 f n ( x ) ? x n ? bx ? c
(n ? N ? , b, c ? R )
——19——

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

?1 ? c ? ? 1 ,证明: f n ( x ) 在区间 ? , 1 ? 内存在唯一的零点; ? 2 ?

(2)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x 2 ? [ ? 1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x 2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 x n 是 f n ( x ) 在 ? 性。 【解析】 (1) b ? 1, c ? ? 1, n ? 2 时, f n ( x ) ? x n ? x ? 1
1 1 1 1 ? f n ( ) f n (1 ) ? ( n ? ) ? 1 ? 0 , ? f n ( x ) 在( , 内存在零点 1) 2 2 2 2
?1 ? , 1 ? 内的零点,判断数列 x 2 , x 3 , ? , x n ? 的增减 ? 2 ?



又当 x ? ( ,1 ) 时, f n( x ) ? nx
'

1

n ?1

? 1 ? 0, ? f n ( x ) 在( 1 2 , 1)内存在唯一零点。

2

? f n ( x ) 在(

1 2

, 1)上是单调递增的,

(2)当 n=2 时, f 2 ( x ) ? x 2 ? bx ? c 对任意 x 1 , x 2 ? [ ? 1,1]都有 f 2 ( x 1 ) ? f 2 ( x 2 ) ? 4 等价于 f 2 ( x ) 在 [ ? 1,1] 上的最大值与最 小值之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下: (Ⅰ) 当
b 2 ? 1, 即 b ? 2 时,

M ? f 2 (1) ? f 2 ( ? 1) ? 2 b ? 4 , 与题设矛盾



(Ⅱ) 当 - 1 ? -

b 2

? 0 , 即 0 ? b ? 2 时, b 2 ) ? ( b 2 ? 1)
2

M ? f 2 (1 ) ? f 2 ( ?

? 4 , 恒成立



(Ⅲ) 当 0 ? -

b 2

? 1, 即 - 2 ? b ? 0 时, b 2 ) ? ( b 2 - 1)
2

M ? f 2 ( - 1) ? f 2 ( ?

? 4 , 恒成立



综上可知, - 2 ? b ? 2 。 注:(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下: 用 max{ a , b}表示 a , b 中的较大者 当-1 ? b 2 ? 1, 即 - 2 ? b ? 2 时,

——20——

M ? max{ f 2 (1 ), f 2 ( ? 1 ), f 2 ( ? ? f 2 ( ? 1 ) ? f 2 (1 ) 2 ? 1 ? c ? b ? (? ? (1 ? b ) 2 b
2

b 2

)} ? f 2 (? b 2

?

f 2 ( ? 1 ) ? f 2 (1 ) 2 ? c)

)

4
2

? 4 恒成立。
1 2
n ?1

(3)证法一:设 x n 是 f n ( x ) 在(
n

, 1)内的唯一零点(

n ? 2),

f n ( x n ) ? x n ? x n ? 1 ? 0 , f n ?1 ( x n ?1 ) ? x n ?1 ? x n ?1 ? 1 ? 0 , x n ?1 ? (
n ?1 于是有 f n ( x n ) ? 0 ? f n ? 1 ( x n ? 1 ) ? x n ? 1 ? x n ?! ? 1 ? f n ( x n ? 1 ) ,

1 2

,1 )

又由(1)知 f n ( x ) 在(

1 2

, 1)上市递增的,故

x n ? x n ?1 ( n ? 2 ) ,

所以,数列 x 2 , x 3 ,.... x n ,....... 是递增数列 证法二:设 x n 是 f n ( x ) 在(
f n ? 1 ( x n ) f n ? 1 (1) ? ( x n
n ?1

1 2

, 1)内的唯一零点
n ?1


n ?1

? x n ? 1)( 1

? 1 ? 1) ? x n

? xn ? 1 ? xn ? xn ? 1 ? 0 ,
n

则 f n ? 1 ( x )的零点 x n ? 1 在( x n ,1)内,故 x n ? x n ? 1 n ? 2) ( , 所以,数列 x 2 , x 3 ,.... x n ,....... 是递增数列 35.【2012 高考江苏 17】 (14 分)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴 垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
y ? kx ? 1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 )
2 2

表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地

点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

——21——

【答案】解: (1)在 y

? kx ?

1 20

(1 ? k ) x ( k ? 0 )
2 2

中,令 y ? 0 ,得 k x

?

1 20

(1 ? k ) x = 0
2 2



由实际意义和题设条件知 x > 0, k > 0 。 ∴x=
20k 1? k
2

=

20 1 k ? k

?

20 2

=1 0

,当且仅当 k =1 时取等号。

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2) a > 0 , ∵ ∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 , k a 使 成立, 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20 ak ? a 2 ? 64 = 0 有正根。 由 ? = ? ? 20 a ? ? 4 a 2 ? a 2 ? 64 ? ? 0 得 a ? 6 。
2

?

1 20

(1 ? k ) a = 3 .2
2 2

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a
2

2

?a

2

? 64 ? >0

(不考虑另一根) 。

2a

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y 基本不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。 36. 【2012 高考湖南理 20】 (本小题满分 13 分) 某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数 量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或 C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人 数与生产A部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (2) 假设这三种部件的生产同时开工, 试确定正整数 k 的值, 使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【答案】解: (Ⅰ)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为
T1 ( x ), T 2 ( x ), T3 ( x ), 由题设有
? kx ? 1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 )
2 2

与 x 轴的横坐标,求出后应用

——22——

T1 ( x ) ?

2 ? 3000 6x

?

1000 x

, T2 ( x ) ?

2000 kx

, T3 ( x ) ?

1500 2 0 0 ? (1 ? k ) x

,

期中 x , kx , 200 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数. (Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x ) ? m ax ?T1 ( x ), T 2 ( x ), T3 ( x )? , 其定义域为
? 200 ? ? , x ? N ? . 易知, T1 ( x ), T 2 ( x ) 为减函数, T3 ( x ) 为增函数.注意到 ?x 0 ? x ? 1? k ? ?
T2 ( x ) ? 2 k T1 ( x ), 于是

(1)当 k ? 2 时, T1 ( x ) ? T 2 ( x ), 此时
1500 ? ?1000 f ( x ) ? m a x ? T1 ( x ), T 3 ( x ) ? ? m a x ? , ?, 200 ? 3 x ? ? x

由函数 T1 ( x ), T3 ( x ) 的单调性知,当
x ? 400 9 44 ? 400 9 ? 4 5, 而 f ( 4 4 ) ? T1 ( 4 4 ) ?

1000 x

?

1500 200 ? 3 x

时 f ( x ) 取得最小值,解得

.由于
250 11 , f ( 4 5 ) ? T3 ( 4 5 ) ? 300 13 250 11 , f (44) ? f (45) .

故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f ( 4 4 ) ? ( 2 ) 当 k ? 2 时 , T1 ( x ) ? T 2 ( x ),
T (x) ? 375 50 ? x

.

由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?3 , 此 时

, ? ( x ) ? m a x ? T1 ( x ), T ( x ) ? 易知 T ( x ) 为增函数,则

f ( x ) ? m ax ?T1 ( x ), T3 ( x )? ? m ax ?T1 ( x ), T ( x )?
375 ? ?1000 ? ? ( x ) ? m ax ? , ?. 50 ? x ? ? x

由函数 T1 ( x ), T ( x ) 的单调性知,当
36 ? 400 11

1000 x 250 9

? ?

375 50 ? x 250 11

时 ? ( x ) 取得最小值,解得 x ?
375 13 ? 250 11 ,

400 11

.由于

? 3 7 , 而 ? (3 6 ) ? T1 (3 6 ) ?

, ? (3 7 ) ? T (3 7 ) ?

此时完成订单任务的最短时间大于

250 11

. 由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?1 , 此 时

( 3 ) 当 k ? 2 时 , T1 ( x ) ? T 2 ( x ),

——23——

750 ? ? 2000 f ( x ) ? m a x ? T 2 ( x ), T 3 ( x ) ? ? m a x ? , ? . 由函数 T 2 ( x ), T3 ( x ) 的单调性知, 100 ? x ? ? x



2000 x

?

750 100 ? x

时 f ( x ) 取得最小值,解得 x ?
250 9

800 11

.类似(1)的讨论.此时

完成订单任务的最短时间为

,大于

250 11

.

综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为 44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数 学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解 决,体现分类讨论思想.

——24——


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