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江苏省2012届高考数学二轮复习:高考题中的填空题解法


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专题八 高考数学题型训练 第22讲 高考题中的填空题解法

江苏数学高考试题中填空题共 14 题,每小题 5 分,共计 70 分.填空题在整个试卷中占 有相当大的比重, 填空题的得分不仅对做整个试卷影响很大, 而且对学生整个高考都起非常 重要的作用. 填空题是一种客观性试题,它只要求写出结果(简练、概括、准确),不要求写出解答过 程. 高考数学填空题涉及考点少,目标比较集中,以基础题和中档题为主,只有一两道题综 合性较强,难度较大;填空题主要还是考查数学的基础知识和基本方法. 目前高考填空题, 基本上都是计算型和概念判断型的试题, 求解填空题的基本策略是在 “准”、“巧”、“快”上下功夫,合情推理、优化思路、少算多思,充分利用各种数学思 想方法是准确解答填空题的基本要求. 解填空题的常用方法: (1) 直接法:指直接从题目的条件或已知的公理、定理等出发,通过严密推理或准确计 算(注意运算技巧)而得出正确的结果. (2) 特例法:题中的条件提供的信息暗示结论是一个定值或结论是唯一的,这样可以把 题中变化的量(图形、式子、位置等)用特殊的图形或值等代替,而得出正确的结果. (3) 数形结合法:借助于图形进行直观的分析,辅之简单的计算而得出正确的结果. 此外在解填空题的过程中,定义法、等价转化法、逆向思维法等也是我们必须掌握的解 题方法.

1. a,b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3 则|5a-b| =________.

2.若命题“?x∈R,使得 x2 +(1-a)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ________.

?2x+y-6≥0, ? 3.设 x,y 满足约束条件?x+2y-6≤0, ?y≥0, ?

则目标函数 z=x+y 的最大值是________.

4.设 a,b 为不重合的两条直线,α,β 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1) 若 a∥α 且 b∥α,则 a∥b; (2) 若 a⊥α 且 b⊥α,则 a∥b; (3) 若 a∥α 且 α∥β,则 α∥β; (4) 若 a⊥α 且 a⊥β,则 α∥β.
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上面命题中,所有真命题的序号是________.

【例 1】 ________.

数列{an}的通项公式为 an=

1 n+ n+1

, 若{an}前 n 项和为 24, 则 n=

【例 2】 三棱锥 PABC 中,PA=BC=4 2,PC=AB=AC=2 5,则三棱锥 PABC 的外接球的体积是________. 1 不等式 logax>x2(a>0,a≠1)对 x∈?0,2?恒成立,则实数 a 的取值范围是 ? ?

【例 3】 ________.

【例 4】 n∈N*且 n≥2,则 3n+4n 与 5n 的大小关系是________.

1. (2011·全国)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数.若向量 a+b 与向量 ka -b 垂直,则 k=________. 1 (x>2)在 x=a 处有最小值,则实数 a=________. x-2

2. (2011·重庆)若函数 f(x)=x+

π 1 3. (2011·北京)在△ABC 中,若 b=5,B= ,sinA= ,则 a=________. 4 3 4. (2011·安徽)已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则△ABC 的面积为________.

?g(x)+x+4,x<g(x), ? 5. (2010·天津)设函数 g(x)=x2-2(x∈R), f(x)=? 则 f(x)的值域是 ? ?g(x)-x,x≥g(x),

________.

→ → → → → → 6. (2011·湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设BC=2BD,CA=3CE,则AD·BE= ________. 7. (2011·辽宁)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF| =3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为________.

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8. (2011·山东)已知函数 f(x)=loga -x+b(a>0,a≠1),当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x) 的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________. 专题八 高考数学题型训练 第 22 讲 高考题中的填空题解法

1. 设{an}是等差数列,从{a1,a2,…,a20}中任取 3 个不同的数,使这 3 个数仍成等差 数列,则这样不同的等差数列的个数最多有__________个. 【答案】 180 解析:本题要进行分类讨论.设原数列公差为 d,则抽出的三个数公 差为±d 的有 36 个;公差为±2d 的有 32 个;公差为±3d 的有 28 个,…,公差为±9d 的有 4 个,所以共计 180 个.

2. 如图放置的边长为 1 的正三角形 PAB 沿 x 轴滚动,设顶点 A(x,y)的纵坐标与横坐 标的函数关系式是 y=f(x),则 f(x)在区间[-2,1]上的解析式是____________.

【答案】

? y=? ?

1 1-(x+1)2,x∈?-2,-2?, ? ? 1 1-x2,x∈?-2,1? ? ?

3. 关于函数 y=f(x),有下列命题: ① 若 a∈[-2,2],则函数 f(x)= x2+ax+1的定域为 R; 3 1 ② 若 f(x)=log (x2-3x+2),则 f(x)的单调增区间为?-∞,2?; ? ? 2 a ③ 函数 f(x)=loga?x+x-4?(a>0 且 a≠1)的值域为 R, 则实数 a 的取值范围是 0<a≤4 ? ? 且 a≠1; ④ 定义在 R 上的函数 f(x),且对任意的 x∈R 都有 f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x), 则 4 是 y=f(x)的一个周期. 其中真命题的序号是__________. 【答案】 ①③④ 基础训练 1. 7 解析:本小题考查向量的线性运算.|5a-b|2=(5a-b)2=25a2-10a·b+b2=49, 故|5a-b|=7. 2. a>3 或 a<-1 解析:由(1-a)2-4>0,得 a>3 或 a<-1. 3. 6 解析:不等式表示的区域是一个三角形,3 个顶点是(3,0),(6,0),(2,2),目标函数 z=x+y 在(6,0)取最大值 6.画图,数形结合. 4. (2)(4) 解析:取一个正方体,将其中的棱、面分别看成是直线 a、b,平面 α、β.

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例题选讲 例 1 解:an= 1 = n+1- n,{an}前 n 项和为 Sn= n+1-1, n+ n+1

∴ n+1-1=24,n=624.本题通过直接对通项变形,求和,从而求出结果. 例 2 解:将三棱锥 P—ABC 放入长方体中,则 PA,BC;PC,AB,AC 是长方体对应

?b +c =32, ?2 2 的面对角线.设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,则?a +b =20, ?a2+c2=20. ?

2

2

从而 a2+b2+c2

=36,则三棱锥 P—ABC 的外接球的半径 R 满足 2R= a2+b2+c2=6,外接球体积为 36π. 1 1 1 例 3 解:在同一直角坐标系中作出函数 y=logax,y=x2 的图象,则 loga ≥?2?2, 故 2 ? ? 16 ≤a<1. 3n+4n 3 4 例 4 解:构造函数 f(n)= n =?5?n+?5?n,f(n+1)-f(n)<0,故函数 f(n)在 n≥2 时 ? ? ? ? 5 单调减,f(2)=1,∴ 3n+4n≤5n(当且仅当 n=2 时取等号). 高考回顾 1. 1 解析: 由已知|a|=|b|=1, 且(a+b)·(ka-b)=0, 所以 ka2+(k-1)a·b-b2=(k-1)(1 +a·b)=0,所以 k=1. 2. 3 解析:本题考查利用均值不等式求最值,考查学生转化与化归能力、运算求解能 1 1 力.∵ x>2,∴ f(x)=x+ =x-2+ +2≥2 x-2 x-2 = 1 ,x=3 时取等号,即 a=3,fmin(x)=4. x-2 3. 5 2 3 解析:由正弦定理可得. 1 (x-2)× +2=4,当且仅当 x-2 x-2

4. 15 3 解析:设三角形的三边长分别为 a-4,a,a+4,最大角为 θ,由余弦定理得 (a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)cos120°,则 a=10,所以三边长为 6、10、14.△ABC 的面积 1 为 S= ×6×10×sin120°=15 3. 2
?x +x+2,x<g(x), ? 9 5. ?-4,0?∪(2,+∞) 解析:由题意 f(x)=? 2 ? ? ? ?x -x-2,x≥g(x) ?x2+x+2,x∈(-∞,-1)∪(2,+∞), ? =? 2 ? ?x -x-2,x∈[-1,2]
2

??x+2? +4,x∈(-∞,-1)∪(2,+∞), ? ? =? 1 9 ??x-2? -4,x∈[-1,2]. ? ?
1
2

7

2

所以当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f(x)的值域为(2,+∞);当 x∈[-1,2]时,f(x) 9 的值域为?-4,0?. ? ?

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1 6. - 4

→ → → 1→ → → → → 1→ → 解析:由题AD=CD-CA= CB-CA,BE=CE-CB= CA-CB, 2 3

1→ → 1→ → 1 1 7→ → 1 → → 所以AD·BE=?2CB-CA?·?3CA-CB?=- - + CB·CA=- . ? ?? ? 2 3 6 4

7.

5 4

解析:本题考查抛物线定义的应用,考查学生的等价转换能力,利用转化思想得

到|AM|+|BN|=|AF|+|BF|是解题的关键.利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点 C 的 横坐标. 3 3 由抛物线的定义知,|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3,|CD|= ,所以中点 C 的横坐标为 - 2 2 1 5 = . 4 4 8. 5 解析:本题考查函数的零点、方程的解和函数图象的综合. 方程 logax-x+b=0(a>0,a≠1)的根为 x0,即函数 y=logax(2<a<3)的图象与函数 y =x-b(3<b<4)的图象交点横坐标为 x0, x0∈(n, 且 n+1), n∈N*.结合图象, 因为当 x=a(2 <a<3)时,y=1,此时对应直线上 y=x-b 的点的横坐标 x=1+b∈(4,5);当 y=2 时,对 数函数 y=logax(2<a<3)的图象上点的横坐标 x∈(4,9),直线 y=x-b(3<b<4)的图象上点 的横坐标 x∈(5,6),故所求的 n=5.

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