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广东省珠海市2013届高三下学期5月综合测试(二)数学(理)试题


广东省珠海市 2013 届高三下学期 5 月综合测试(二)数学(理) 试题
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | ?1 ? ? x ? 2}, B ? {x | ? x ? 0}, 则 A ? B 等于 C A. {x | 0 ? x ? 2} B. {x | ?2 ? x ? ?1} C. {x | ?2 ? x ? 0} D. {x | ?1 ? x ? 0} )A

2.设 i 为虚数单位,则复数 A.-4 B.-4i

4 ? 3i 的虚部为 ( i
C.4 D.4i

? ? ? ? 3.已知非零向量 a , b 满足错误!未找到引用源。 ,则函数 f ? x ? ? ax ? b

?

? ? x ? R? 是
2

( )A A.偶函数 数

B. 奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函

4.设随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? 2 ) ,若 P(? ? c) ? a ,则 P(? ? 4 ? c) 等于 B A. a B. 1 ? a C. 2 a D. 1 ? 2a

? x? y ?0 ? 5.已知变量 x 、y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的值域是 D ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
3] A. [0 , 3) B. (0 ,
C. (?3 , )

3 2

D. [?3 , ]

3 2

6.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 x ?
2

y2 ? 1的离心率为( C ) m

A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

D.

5 或7 6
7. 如图是某几何体的三视图, 其中正视图为正方形, 俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形,则该几何体 的体积是 ( A )

A.

8 3

B.

8 2 3

C.

4 3

D.

4 2 3

【答案】A 8.已知 f (x ) 是 R 上的偶函数, f (0) ? 2 ,若 f (x ) 的图象向右平移一个单位后,则得到一 个奇函数的图象,那么 f (1) ? f (3) ? f (5) ? f (7) ? f (9) 的值为( A.1 B.0 C.-1 D. ? )C

9 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 。4 10. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具 体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据, 得到

?2 ?

50(13 ? 20 ? 10 ? 7) 2 ? 4.84 因为 ? 2 ? 3.841 , 所以断定主修统计专业与性 23 ? 27 ? 20 ? 30

别有关系,这种判断出错的可能性最高为 专 业 性别 男 女 P( ? ? k )
2

。 (5%(或 0.05))

非统计专业 13 7 0.050 3.841

统计专业 10 20 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828 (用数字作答)28

k 11. ( x ?

1 8 ) 展开式中的常数项的值是 x3

12.在 ?ABC 中, b ? 1, c ?

3, C ?

2? ,则 a ? __________________.1 3

t 13.在等比数列 ?an ? 中,若 r , s , t 是互不相等的正整数,则 有等式 atr ?s ? ars ?t ? as?r ? 1 成立.

类比上述性质,相应地,在等差数列 ?bn ? 中,若 r , s , t 是互不相等的正整数,则有等式 ________成立. (r ? s)bt ? (s ? t )br ? (t ? r )bs ? 0 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)

如 图 , 圆 内 的 两 条 弦 AB , CD 相 交 于 圆 内 一 点 P , 已 知 PA ? 4 , PB ? 2 ,

4 PC ? PD ,则 CD 的长为

.5 2

15. (坐标系与参数方程选做题) 已知在极坐标系下, A( 2, 点

?
6

) ,B ( 4,

2? ) ,O 是极点, ?AOB 的面积等于 则 3

. 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

|? 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 ,? ? 0 , |?
的部分图像如图所示 (1)求 f ( x) 的解析式; (2) g ( x) ? 3 f ( x ?

?
2

) , x ? R) (

?
4

) ? f ( x) 且 tan ? ? 3 ,求 g (? ) .

解: (1)由图像知 A ? 1 , 分) (2

T ? ? ? ? ? (? ) ? ,∴ T ? ? 2 3 6 2 2? ?2 ∴? ? (4 分) T
又 2 ? (?

?

6

) ? ? ? 0 得? ?

?

∴ f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

3

)

(6 分)

(2)∵ f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

)

∴ g ( x) ? 3 sin[2( x ?

?

? 3 sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) 6 3 ? 3(sin 2 x cos

?

) ? ] ? sin(2 x ? ) 4 3 3

?

?

(8 分)

?

?

? cos 2 x sin ) ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin 6 6 3 3

?

?

?

= 2 sin 2 x (10 分) ∵ tan ? ? 3 ∴ g (? ) ? 2sin 2? ?

4sin ? cos ? 4 tan ? 12 6 ? ? ? (12 分) 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 10 5

17. (本小题满分 12 分)某公益活动分别从 A、B 两个单位招募 9 名和 11 名志愿者,将这 20 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图, 将身高 180cm 及以上的人组成甲队, 不足 180cm 的人组成乙队. (1)根据志愿者身高茎叶图指出 A、B 两个单位志愿者身高的中位数; (2)如果用分层抽样的方法从甲、乙两队中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有 1人是甲队的概率是多少 (3)若只有 B 单位的志愿者能够胜任翻译工作,现从甲队中选 3 名志愿者,用ξ表示所选 志愿者中能够胜任翻译工作的人数,试写出ξ的概率分布列,并求ξ数学期望。 解 : (1)A 单 位 中 位 数 是 180cm , B 单 位 中 位 数 是 173cm ??????????????2 分 (2)∵总人数是 20 人,甲单位 8 人,乙单位 12 人, 设甲、乙各抽 m 人和 n 人,则

5 m n ? ? ,得 m ? 2 , n ? 3 20 8 12

∴甲队抽 2 人,乙队抽 3 人. ??????????????4 分 设“5 人中选 2 人,其中至少有 1 人是甲队的”为事件 A,
1 1 2 C2C3 ? C2 7 则 P( A) ? ? 2 C5 10

答:从这5人中选2人,至少有1人是甲队的概率是

7 10

?????????6 分 ??????7 分

1 2 3 (3)甲队中 B 单位有 3 人,这 3 人能胜任翻译工作,故 ? ? 0 ,, ,

? 的概率分布列
3 C5 5 P(? ? 0) ? 3 ? ; C8 28 1 C32C5 15 ? ; 3 C8 56 1 C3C52 15 P(? ? 1) ? ? ; 3 C8 28 3 C3 1 ? 3 C8 56

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

?

0

1
15 28

2
15 56

3

P

5 28

1 56
????????????12 分

??????????11 分

? 的期望是 E? ? 0 ?

5 15 15 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 28 28 56 56 8

18. (本小题满分 14 分)

。 ,且 FA ? FC . 如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60

(1)求证: AC ? 平面BDEF (2)求证: FC // 平面EAD ;



(3)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值. (1)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O,连结 FO. 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD ,且 O 为 AC 中点. 又 FA=FC,所以 AC ? FO . ????????????2 分 因为 FO ? BD ? O, FO ? 平面BDEF,BD ? 平面BDEF , 所以 AC ? 平面BDEF . (2)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD / / BC , DE / / BF , 因为 AD ? 平面FBC, DE ? 平面FBC 所以 AD//平面FBC,DE//平面FBC 又 AD ? DE ? D,AD ? 平面EAD,DE ? 平面EAD , 所以平面 FBC / /平面EAD 又 FC ? 平面FBC 所以 FC //平面EAD . ????????????6 分 (3)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60 ,所以 ?DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点,所以 FO ? BD. 由(Ⅰ)知 FO ? AC, AC ? BD ? O , 故
????????????3 分



F O? 平面 A B C. D 法一:由 OA, OB, OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐 标系 Oxyz . 。 设 AB=2.因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60 ,
则 BD=2,所以 OB=1, OA ? OF ? 3 .则
??? ? ??? ? 所以 CF ? ( 3,0, 3),CB ? ( 3,1,0) .

O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), F (0,0, 3)

???????8 分

? ??? ? ? ?n ? CF ? 0 ? 3x ? 3z ? 0, ? ? 设平面 BFC 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则有 ? ? ??? 所以 ? ? ? 3x ? y ? 0. ? ?n ? CB ? 0 ? ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1, ? 3, ?1) . ???????12 分 ? 易知平面 AFC 的法向量为 v ? (0,1,0) .
由二面角 A-FC-B 是锐角,得

? ? ? ? | n? v | 15 . | cos ? n, v ?|? ? ? ? 5 | n|?| v |
15 .………14 分 5 法二:取 CF 的中点 G ,连接 OG , BG , FD

所以二面角 A-FC-B 的余弦值为

。 ,且 FA ? FC ∵四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60
∴ AB ? BC ? CD ? DA ? BD ? BF ? FE ? ED ? FD ,设为 a ∵ O 为 AC 、 BD 中点, ∴ , FO ? BD

∴ OF ? OC ?

3 a 2

(8 分)

∴ OG ? CF , BG ? CF ∴ ?BGO 是二面角 A ? FC ? B 的平面角 (10 分) ∵ CF ?

6 a 2
a 6 10 a , BG ? a ,又 BO ? (12 分) 2 4 4

∴ OG ?

OG 2 ? BG 2 ? BO 2 15 ∴ cos ?BGO ? ? 2OG ? BG 5
∴二面角 A-FC-B 的余弦值为

15 (14 分) 5

19. (本小题满分 14 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ?1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
0 1 2 n (2)求和: S1Cn ? S2Cn ? S3Cn ? ? ? Sn?1Cn ;

(3)设各项均为正整数的等差数列 ?bn ? 的公差为 1,并且满足:

? ? ? 1? 1? 1 lg 2 ? lg ?1 ? ? ? lg ? 1 ? ? ? ? ? lg ?1 ? ? b1 ? ? b2 ? ? bm
试问数列 ?bn ? 最多有几项?并求这些项的和.

? ? ? lg ? log 2 am ? ?

19.解: (1)由 Sn ? 2an ? 1 得 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 ,相减得 an ?1 ? 2an ?1 ? 2an ,即 an ?1 ? 2an . 又 S1 ? 2a1 ? 1 , a1 ? 1 ? 0 , 数列 ?an ? 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列, an ? 2n ?1 . 得 ? ? ??????????????????4 分 (2)由(1)知 Sn ? 2n ? 1 .
0 1 0 1 2 n ? S1 ? Cn ? S2 ? Cn ? S3 ? Cn2 ? ?? Sn?1 ? Cnn ? (21 ? 1) ? Cn ? (22 ? 1) ? Cn ? (23 ? 1) ? Cn ?? (2n?1 ? 1) ? Cn 0 1 2 n 0 1 2 n ? 2(Cn ? 2Cn ? 22 Cn ? ?? 2n Cn ) ? (Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ) ? 2(1 ? 2)n ? 2n ? 2 ? 3n ? 2n

??????????????????9 分 (3)由已知得 2 ?

b1 ? 1 b2 ? 1 b ?1 ? ??? m ? m ?1. b1 b2 bm
2(bm ? 1) ? m ? 1 .??11 分 b1

又 ?bn ?是连续的正整数数列,? bn ? bn ?1 ? 1 .? 上式化为 又 bm ? b1 ? (m ? 1) ,消 bm 得 mb ? 3b1 ? 2m ? 0 . 1

m?

3b1 6 ,由于 m ? N ? ,? b1 ? 2 ,? b1 ? 3 时, m 的最大值为 9. ? 3? b1 ? 2 b1 ? 2

此时数列的所有项的和为 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 11 ? 63 ????????14 分 20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A、 B 分别为其 a 2 b2

左、右顶点,点 F1、F2 分别为其左、右焦点,以点 A 为圆心, AF1 为半径作圆 A ;以点 B 为圆心, OB 为半径作圆 B ;若直线 l : y ? ?

15 3 ; x 被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 6 3

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)己知 a ? 7 ,问是否存在点 P ,使得过 P 点有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦长之 比为

3 ;若存在,请求出所有的 P 点坐标;若不存在,请说明理由. 4

y

A

· F

1

O

· F2

B

x

解: (1)由 kl ? ?

3 ,得直线 l 的倾斜角为 150? , 3
a , 2
2 2

则点 A 到直线 l 的距离 d1 ? a sin(180? ? 150?) ?
2

故直线 l 被圆 A 截得的弦长为 L1 ? 2 (a ? c) ? d1 ? 2 (a ? c) ? ( ) ,
2

a 2

直线 l 被圆 B 截得的弦长为 L2 ? 2a cos(180? ?150?) ? 3a ,

(3 分)

a 2 (a ? c) 2 ? ( ) 2 L 15 2 ? 15 , 据题意有: 1 ? ,即 6 L2 6 3a
2 化简得: 16e ? 32e ? 7 ? 0 , 分) (5

(4 分)

7 1 或 e ? ,又椭圆的离心率 e ? (0, 1) ; 4 4 1 故椭圆 C 的离心率为 e ? . 分) (6 4
解得: e ? (2)假设存在,设 P 点坐标为 (m, n) ,过 P 点的直线为 L ; 当直线 L 的斜率不存在时,直线 L 不能被两圆同时所截; 故可设直线 L 的方程为 y ? n ? k ( x ? m) , 则点 A(?7,0) 到直线 L 的距离 D1 ? 由(1)有 e ?

? 7k ? km ? n 1? k 2



c 1 3a 21 ? ,得 rA ? a ? c ? = , a 4 4 4
2 2

故直线 L 被圆 A 截得的弦长为 L1 ' ? 2 rA ? D1 , 则点 B(7,0) 到直线 L 的距离 D2 ?

(8 分)

7k ? km ? n 1? k 2



2 rB ? 7 ,故直线 L 被圆 B 截得的弦长为 L2 ' ? 2 rB2 ? D2 ,

(10 分)

据题意有:

L1 3 2 2 2 ? ,即有 16(rA ? D12 ) ? 9(rB ? D2 ) ,整理得 4D1 ? 3D2 , L2 4



4 7k ? km ? n 1? k 2

?

3 7k ? km ? n 1? k 2

,两边平方整理成关于 k 的一元二次方程得

(7m2 ? 350m ? 343 k 2 ? (350m ? 14mn)k ? 7n 2 ? 0 , )
关于 k 的方程有无穷多解,

(12 分)

?7m 2 ? 350m ? 343 ? 0 ?n ? 0 ?n ? 0 ? 故有: ?350n ? 14m n ? 0 , ?? 或? ?m ? ?1 ?m ? ?49 ?7n 2 ? 0 ?
故所求点 P 坐标为(-1,0)或(-49,0) . (注设过 P 点的直线为 y ? kx ? m 后求得 P 点坐标同样得分) (14 分)

21.(本小题满分 14 分)

? x 2 ? ax ? 1, x ? a, ? 已知函数 f ? x ? ? ? x x ?a ?4 ? 4 ? 2 , x ? a ?
(1) 若 x ? a 时, f ? x ? ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (2) 若 a ? ?4 时,函数 f ? x ? 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.
解:

(1) 因为 x ? a 时, f ? x ? ? 4x ? 4 ? 2x ?a ,所以令 t ? 2x ,则有 0 ? t ? 2 ,
a

f ? x ? ? 1 当 x ? a 时恒成立,转化为 t 2 ? 4 ?


t ? 1, 2a

4 1 ? t ? 在 t ? ? 0, 2a ? 上恒成立, a 2 t

???????????????????2 分

1 1 1 a a 令 p (t)=t- , t ? 0, 2 ,则 p? ? t ? ? 1 ? 2 ? 0 ,所以 p (t)=t- 在 0, 2 上单调递增, t t t
所以

?

?

?

?

4 1 ? 2a ? a ,所以 2a ? 5 ,解得 a ? log2 5 . a 2 2

???????6 分

2 (2) 当 x ? a 时, f ? x ? ? x ? ax ? 1,即 f ? x ? ? ? x ?

? ?

a? a2 ? 1 ? ,???7 分 ? 2? 4

2



a ? a 时,即 a ? 0 时, f ? x ?min ? f (a) ? 1 ; 2



a a a2 ? a 时,即 ?4 ? a ? 0 , f min ( x) ? f ( ) ? 1 ? ;???????8 分 2 2 4
x x ?a
a ,令 t ? 2x , t ? 0, 2 ,则

当 x ? a 时, f ? x ? ? 4 ? 4 ? 2
2 2

?

?

4 2? 4 ? h ? t ? ? t ? a t ? ? t ? a ? ? a ,????10 分 2 ? 2 ? 4


2 1 2 4 ? 2a ,即 a ? 时, hmin (t ) ? h( a ) ? ? a ; a 2 2 2 4 2 1 ? 2a ,即 a ? 时, h(t ) 在开区间 t ? ? 0, 2a ? 上单调递减, h(t ) ? (4a ? 4,0) , a 2 2



无最小值;????????????????????12 分 综合 x ? a 与 x ? a ,所以当 a ? 当0 ? a ?

1 4 4 时,即 1 ? ? a ,函数 f ? x ? min ? ? a ; 2 4 4

1 a 时, 4 ? 4 ? 0 ? 1 ,函数 f ? x ? 无最小值; 2

a 当 ?4 ? a ? 0 时, 4 ? 4 ? ?3 ? 1 ?

a2 ,函数 f ? x ? 无最小值.???????13 分 4

综上所述,当 a ?

1 4 1 时,函数 f ? x ? 有最小值为 ? a ;当 ?4 ? a ? 时,函数 f ? x ? 无最小 2 4 2

值?????14 分.


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