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高中数学部分


一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.复数 z= -3+i 的共轭复数是( 2+i ) B.2-i D.-1-i )

A.2+i C.-1+i

2.已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)=( A.{1,

3,4} C.{3} B.{3,4} D.{4} )

3.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为(

3 A. 4 11 C. 12

1 B. 6 D. 25 24 ) B.不存在实数 x,使 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 )

4.命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( A.对任意实数 x,都有 x>1 C.对任意实数 x,都有 x≤1

5.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 6 )

1 6.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, f(x) =x2+ ,则 f(-1)=( x A.-2 C.1 B.0 D.2

7.直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于( A.2 5 C. 3 B.2 3 D.1

)

8.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(

)

A.108 cm3 C.92 cm3

B.100 cm3 D.84 cm3 )

9.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5=( A.1 C.4 B.2 D.8

x+y+5≥0 ? ? 10.已知 x,y 满足约束条件?x-y≤0 ,则 z=2x+4y 的最小值为( ? ?y≤0 A.-14 B.-15 C.-16 D.-17

)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上) 1? 2 11.函数 y=ln? ?1+x?+ 1-x 的定义域为________. π 2 12. 已知 sin 2α = ,则 cos2?α + ?=________. 3 4? ? 13.已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),若 a⊥(2a-b),则 k=________. x2 y2 14.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2, a b ∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为________. 15.关于直线 a、b、c,以及平面 M、N,给出下面命题: ①若 a∥M,b∥M,则 a∥b; ②若 a∥M,b⊥M,则 a⊥b; ③若 a∥b,b∥M,则 a∥M; ④若 a⊥M,a∥N, 则 M⊥N. 其中正确命题的个数为________个 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面

PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证:
(1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

17. 已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

参考答案 1.解析: z= ?-3+i??2-i? -5+5i = =-1+i, ∴z=-1-i, 5 ?2+i??2-i?

答案:D 2. 解析:?UA={3,4},?UB={1,4} 答案:D 3.答案:C 4.答案:C 存在改任意,x>1 改 x≤1. 5.解析:用列举法求出事件的个数,再利用古典概型求概率.从 1,2,3,4 中任取 2 个 不 同的数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共 12 种情形,而满足条件“2 个数之差的绝对值 为 2”的只有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共 4 种情形,所以取出的 2 个数之差 4 1 的绝对值为 2 的概率为 = . 12 3 答案:B 6.解析:利用奇函数的性质 f(-x)=-f(x)求解. 1 1 2 2 当 x>0 时,f(x)=x + ,∴f(1)=1 + =2. x 1 ∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2. 答案:A 7.解析:选 B.利于平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解.∵圆心到直线 x+ 3y |0+ 3×0-2| -2=0 的距离 d= =1,半径 r=2, 2 2 1 +( 3) ∴弦长|AB|=2 r -d =2 2 -1 =2 3. 答案:B
2 2 2 2

∴?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB)={4}.

8.解析:根据三视图还原出几何体,再根据几何体的形状及相应的尺寸 求其体积. 此几何体为一个长方体 ABCD-A1B1C1D1 被截去了一个三棱锥 A-DEF, 如图所示,其中这个长方体的长、宽、高分别为 6、3、6,故其体积 为 6×3×6=108(cm ).三棱锥的三条棱 AE、AF、AD 的长分别为 4、4、3,故其体积为 1 ?1 ? 3 3 ×? ×4×3?×4=8(cm ),所以所求几何体的体积为 108-8=100(cm ). 3 ?2 ? 答案:B
2 9.解析: a3a11=16?a2 7=16?a7=4=a5×2 ?a5=1.
3

答案:A 10.解析:选 B.由图可知当目标函数 z=2x+4y 经过 y=x 与 x+y+5=0 的交点时取得最
?y=x ? 小值,联立? ,解得交点坐标为(-2.5,-2.5),故 zmin=-15. ?x+y+5=0 ?

11.解析:列出函数有意义的限制条件,解不等式组. 1 x+1 ? ? ?1+ >0, ? >0, ? ?x<-1或x>0, x 要使函数有意义,需? 即? x 即? 解得 0<x≤1,所以定义 ?-1≤x≤1, ? 2 2 ? ? ?1-x ≥0, ?x ≤1, 域为(0,1]. 答案:(0,1]

12. 解析:结合二倍角公式进行求解. π? 2 2? ∵sin 2α= ,∴cos ?α + ?= 4? 3 ? 答案: 1 6 a⊥(2a-b), 1+cos?2α+ 2

? ?

π? 2 1- ? 2 ? 1-sin 2α 3 1 = = = . 2 2 6

13. 解析:∵2a-b=2(2,1) - (-1,k)= (5,2-k), ∴a·b=(2,1) ·(5,2-k) =10+2-k =0 ∴k=12 答案:k=12 14.解析:根据椭圆的定义以及三角知识求解.

|PF2| 1 如图,由题意知 sin 30°= = ,∴|PF1|=2|PF2|. |PF1| 2

又∵|PF1|+|PF2|=2a, 2a ∴|PF2|= . 3 2a |PF2| 3 3 ∴tan 30°= = = . |F1F2| 2c 3 c 3 ∴ = . a 3 答案: 3 3

15.解析:①中 a 与 b 可以相交或平行或异面,故①错.③中 a 可能在平面 M 内,故③错, 答案:2 16.证明:(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,所以 PA⊥底 面 ABCD.(2 分) (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE.(4 分) 所以四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD.(6 分) (3)因为 AB⊥AD,而且四边形 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD.(8 分) 由(1)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD. 所以 CD⊥PD.(10 分) 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF. 又因为 CD⊥BE,EF∩BE=E, 所以 CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD.(12 分) 17 解 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1- .(2 分) 2 (1)当 a=2 时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1- (x>0),

a x

x

因而 f(1)=1,f′(1)=-1

所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方

程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.(4 分) (2)由 f′(x)=1- =

a x-a ,x>0 知: x x

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值;(6 分) ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,(8 分) 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值.(12 分)


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