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广东省惠州市2011届高三第三次调研考试数学理科含详细答案


广东省惠州市 2011 届高三第三次调研考试
数学试题(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。
1 n

参考公式: s ?
2

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ? ? ? ( x n ? x ) ] .
2 2

2

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 在复平面内,复数 z ? A.第一象限 C.第三象限 2.已知条件 p : x ? 1 ,条件 q :
1 x 1 2?i

对应的点位于(

)

B.第二象限 D.第四象限
? 1 ,则 q 是 ? p 成立的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 3. 某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组实验数据: x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( A.y=2x-2 1 B.y=( )x 2 C.y=log2x 1 D.y= (x2-1) 2

)

4. 右图是 2010 年在惠州市举行的全省运动会上,七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的茎叶 统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩 数据的平均数和方差分别为( A.84,4.84 ) B.84,1.6
7 8

9 4 4 6 4 7
3

9 C.85,1.6 D.85,4 5. 若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3,A=60° ,则 BC 边的长是

(

)

A.5

B.6

C.7

D.8

1 4 2 2 6. 若直线 ax + by +1=0(a 、 b>0)过圆 x + y +8x +2y +1=0 的圆心,则 + 的最小值为

a

b

(

)A.8
, 3?

B.12
, 2? , 1?

C.16

D.20
, 2 ? 、 ? 2 , 1 ? 、 ?1 , 3 ?

7. 已知整数以按如下规律排成一列: ?1 , 1 ? 、 ? 1

、? 2

, 2 ? ,? 3 , 1?

, ?1

, 4?,

?2

, ?3

,?4

, 1 ? ,……,则第 6 0

个数对是( C. ? 5


, 7?

A. ? 1 0

B. ? 2

, 10 ?

D. ? 7

, 5?

8. 在区间 [ ? π , 率为( ) A.1?
8

π ] 内随机取两个数分别记为 a , b

,则使得函数
?
2

f ( x ) ? x ? 2 ax ? b ? π
2 2

2

有零点的概

B.1-

?
4

C.1-

D.1-

3? 4

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.一简单组合体的三视图及尺寸 如右图示( 单位:cm) 则该组合体的表面积为 _______
cm .
2

50

10
20 20 20 俯视图

主视图

40 侧视图

10.已知△ABC 中,点 A、B、C 的坐标依次是 A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高为 → AD,则AD的坐标是:_______. 11.在二项式 ? x 2
? ? ? a ? ? x?
5

开始
x

的展开式中, .

的一次项系数是 ? 10 ,

k ? 1, s ? 0
s ? s ? 3k
k ? k?2

则实数 a 的值为

12. 给出如图所示的程序框图,那么输出的数是________. 13. 已知 ? ABC 的三边长为 a , b , c ,内切圆半径为 r (用 S ? ABC 表示 ? ABC 的面积 ) ,则 S ? ABC ?
1 2 r (a ? b ? c) ;

k ? 100



类比这一结论有:若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R , 则三棱锥体积 V A ? BCD ? .


输出 S

结束

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第 14 题的分) 14.(坐标系与参数方程选做) 在极坐标系中,点 ? 1, 0 ? 到直线 ? ? co s ? ? sin ? ? ? 2 的距离为 15.(几何证明选讲选做题) 如图,点 B 在⊙O 上, M 为直径 AC 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N, C
? B N A ? 45
?



B

M O N

A

,若⊙O 的半径为 2 3 ,OA= 3 OM , .

则 MN 的长为

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本题满分 12 分)

已知函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [ ? 6 , ?
2 3 ] 时,求函数 y ? f ( x ) ? f ( x ? 2 )

? 2

, x ? R ) 的图象的一部分如下图所示.

的最大值与最小值及相应的 x 的值.

17.(本题满分 12 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下: 消费额每满 100 元可转动如图所示 的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券 60 元;停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券. 例如:消费 218 元,可转动转盘 2 次,所获 得的返券金额是两次金额之和. A C (1)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; 60? (2)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动, B 他获得返券的金额记为 X (元).求随机变量 X 的分布列和数学期望. 18.(本题满分 14 分)
a 2 , a 5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 ?a n ? 是公差为正的等差数列,数列 ?b n ? 的前
2

n 项和为 T n ,且 T n ? 1 ?

1 2

bn n ? N

?

?

?.
(2)记 c n = a n b n ,求数列 ?c n ? 的前 n 项和 S n .

(1)求数列 ?a n ? , ?b n ? 的通项公式;

19.(本题满分 14 分) 已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =
?
2

,AB=BC=2AD=4,E、

A

D

F 分别是 AB、CD 上的点,EF∥BC,AE = x,G 是 BC 的中点.沿 EF 将梯 形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF (如图). (1)当 x=2 时,求证:BD⊥EG ; (2)若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x ) , 求 f ( x ) 的最大值; (3)当 f ( x ) 取得最大值时,求二面角 D-BF-C 的余弦值.

E

F

B

C

A

D

E F

B

G

C

20.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 2

,过坐标原点 O 且斜率为

1 2

的直线

l 与 C 相交于 A 、 B , | AB |? 2 10 .

⑴求 a 、 b 的值; ⑵若动圆 ( x ? m ) 2 ? y 2 ? 1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点,试求 m 的取值范围.

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? 3 x 2 ? 6 ax ? 11 , g ( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 12 ,和直线 m : y ? kx ? 9 . 又 f ? ( ? 1) ? 0 . (1)求 a 的值; (2)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y ? f ( x ) 的切线,又是 y ? g ( x ) 的切线;如果存在, 求出 k 的值;如果不存在,说明理由. (3)如果对于所有 x ? ? 2 的 x ,都有 f ( x ) ? kx ? 9 ? g ( x ) 成立,求 k 的取值范围.

惠州市 2011 届高三第三次调研考试
数学试题(理科)答案
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 D 2 B z= 3 D 4 C 5 C 6 C 7 C 8 B

1. 【解析】答案:D

2-i 1 2 1 = = - i.故选 D. 2+i (2+i)(2-i) 5 5
1 x ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1 ,故 q 是 ? p 成立的必要不充分条件,故

2. 【解析】B ? p: x ? 1 ,q: 选 B.

3. 【解析】 D 直线是均匀的, 选 故选项 A 不是; 指数函数 y ? ( ) 是单调递减的, 也不符合要 求;
x

1

2

对数函数 y ? log 1 x 的增长是缓慢的,也不符合要求;将表中数据代入选项 D 中,基本符合要
2

求. 4. 【解析】C 去掉最高分和最低分后,所剩分数为 84,84,86,84,87,可以计算得平均数和方 差. 1 1 5. 【解析】答案:C 依题意及面积公式 S= bcsinA,得 10 3= bcsin60° ,得 bc=40. 2 2 又周长为 20,故 a+b+c=20,b+c=20-a,由余弦定理得:
a
2

? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? 2bc cos 60
2 2 2 2 2 2 2 2

0

? b ? c ? b c ? ( b ? c ) ? 3 b c, 故 a

? (20 ? a ) ? 120
2

解得 a=7.

6. 【解析】答案:C 由题意知,圆心坐标为(-4,-1),由于直线过圆心,所以 4a+b=1,从而 1 4 1 4 b 16a + =( + )(4a+b)=8+ + ≥8+2× 4=16(当且仅 a b a b a b 当 b=4a 时取“=”).
6 _

7. 【解析】 C; 根据题中规律, ?1 , 1 ? 为第 1 项,? 1 有 为第 2 项, ? 1
, 3?

, 2?

5 _ 4 _

为第 4 项,…, ? 5, 1 1 ? 为第 5 6 项,因 .

3 _ 2 _ 1 _

此第 6 0 项为 ? 5

, 7?

O _

1 _
2

2 _

3 _
2

4 _
2

5 _
2

6 _

8. 【解析】B;若使函数有零点,必须必须 ?

? ? 2a ? ? 4 ? ?b ? π
2 2

? ≥ 0 ,即 a

?b ≥ π



在坐标轴上将 a , b 的取值范围标出,有如图所示 当 a , b 满足函数有零点时,坐标位于正方形内圆外的部分. 于是概率为 1 ?
?
4?
3 2

? 1?

?
4



二.填空题(本大题每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题后的横线上) 9.12800 10.(-1,2) 11.1 12.7500
1 3

13.

R ( S ?ABC ? S ?ABD ? S ?ACD ? S ?BCD

?

14.

2 2

15.2

9. 【解析】该组合体的表面积为: 2 S 主 视 图 ? 2 S 侧 视 图 ? 2 S 俯 视 图=12800 cm 2 。 → → → 10. 【解析】设 D(x,y),则AD=(x-2,y+1), BD=(x-3,y-2),BC=(-6,-3),
?x=1 ?-6(x-2)-3(y+1)=0 ? → → → → → ∵AD⊥BC,BD∥BC,∴? 得? ,所以AD=(-1,2). ? ?y=1 -3(x-3)+6(y-2)=0 ?

答案:(-1,2) 11. 【解析】1;由二项式定理, T r 当 10 ? 3 r
? 1 时, r ? 3
? C5 ?x
r 2

?

5?r

r ? a ? r 10 ? 3 r ? ? ? ? ??a? C5 ? x x? ?

r



,于是 x 的系数为 ? ? a ?

3

C 5 ? ?10a
3

3

,从而 a

?1.

12. 【解析】由题知,s=3×1+3×3+3×5+…+3×99=7500. 13. 【解析】:连接内切球球心与各点,将三棱锥分割成四个小棱锥,它们的高都等于 R,底面分 别为三棱锥的各个面,它们的体积和等于原三棱锥的体积。答 案:
1 3 R ( S ?ABC ? S ?ABD ? S ?ACD ? S ?BCD

?
1? 0 ? 2 2

14.【解析】

2 2

直角坐标方程 x+y﹣2=0,d=

=

2 2

15. 【解析】∵ ? B N A ? 45 ? ∴ ? B O A ? 90 ? ,∵OM=2,BO= 2 3 ∴BM=4, ∵BM·MN=CM·MA=( 2 3 +2)( 2 3 -2)=8,∴MN=2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分)

解:(1)由图像知 A ? 2 ,

T 4 ? 4

? 2 ? T ? 8 ? ?1? ? ? ? 2

2?

?

,∴ ? ?
? 4

? 4

,得 f ( x ) ? 2 s in (
? 4 x ?

? 4

x ??) .

由对应点得当 x ? 1 时, (2) y ? 2 s in (
? 4 x ?
? 4
∵ x ? [? 6, ? ∴当

? ? ?

.∴ f ( x ) ? 2 s in (
? 4 x? ? 4

? 4

) ;……………5 分

? 4

) ? 2 s in [
? 2 ) ? 2 3? 2

? 4

( x ? 2) ?
? 4

? 4

] ? 2 s in (

) ? 2 cos(

? 4

x?

? 4

)

= 2 2 s in (
2 3

x ? ? 4

2 cos ,? ? 6

x ,……………9 分

] ,∴

x ? [?

] ,………………10 分

? 4

x ? ?

? 6

,即 x ? ?

2 3

时, y 的最大值为 6 ;当

? 4

x ? ? ? ,即 x ? ? 4 时, y 的最小值

? 2 2 .………………12 分

17. (本题满分 12 分) 解:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P ( A) ?
1 6 , P(B) ? 1 3 , P (C ) ? 1 2

.

………………3 分

(1)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.
? P ? P ( A) ? P (B ) ? 1 6 ? 1 3 ? 1 2
1 2

………………6 分 .

即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 (2)由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.
P ( X ? 0) ? 1 2 P ( X ? 30) ? P ( X ? 60) ? P ( X ? 90) ? 1 2 1 2 1 3 P ( X ? 120) ? 1 6 ? ? ? 1 2 ? 1 3 1 6 1 6 ? 1 6 ? 1 36 ?2 ? ?2? ? 1 4 ?2 ? 1 3 1 3 1 9 . ; ? 1 3 ? 5 18 ; ; ;

………………7 分

………………10 分

所以,随机变量 X 的分布列为:
P

0

30

60

90

120

X

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

…………12 分

其数学期望
EX ? 0 ? 1 4 ? 30 ? 1 3 ? 60 ? 5 18 ? 90 ? 1 9 ? 120 ? 1 36 ? 40

………13 分

18. (本题满分 14 分) 解:(1)由 a 2 ? a 5 ? 12 , a 2 a 5 ? 27 .且 d ? 0 得 a 2 ? 3 , a 5 ? 9
? d ? a5 ? a2 3 ? 2 , a1 ? 1 ? a n ? 2 n ? 1 n ? N
2 3

……………

2分

?

?

?
1 2 b n , T n ?1 ? 1 ?

…………… 4 分
1 2

在Tn ? 1 ?

1 2

b n 中,令 n ? 1, 得 b 1 ? 1 2 1 2

. 当 n ? 2 时,T n = 1 ?

b n ?1 ,

两式相减得 b n ?
n ?1

b n ?1 ?

b n ,?

bn b n ?1

?

1 3

?n

? 2?

…………… 6 分

? bn

2?1? ? ? ? 3?3?

?
2 3
n

2 3
n

?n ? N ? .
?

……………

8分

(2) c n ? ? 2 n ? 1 ? ?

?

4n ? 2 3
n

, ………………

9分

3 5 2n ? 1 ? S n 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 ? 1 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? ?, ?, n n n ?1 3 3 3 3 3 3 ?3 ? 3 ?3 ?

…………… 10 分
? ? 1? 1 ? 2 ? ? 1 ? n ?1 ? ? ? ?1 1 1 ? 2n ? 1? 1 2n ? 1 9? ? 1 3 ? ? ? 2 ? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? =2 ? ? ? n ?1 ? n ?1 1 3 3 3 ? 3 3 ?3 ? ?3 ? ? 1? ? ? 3 ? ?
1 3 ? 1 3
n

?

2 3

Sn

= 2?

?1 ?3

?

?

2n ? 1 ? 4 4n ? 4 ? , ? ? n ?1 n ?1 3 3 3 ?

………………13 分

? Sn ? 2 ?

2n ? 2 3
n

……………

14 分

19. (本题满分 14 分)

(1)方法一:∵平面 A E F D ? 平面 E B C F ,? EF // AD , ? AEF ? ∴AE⊥平面 E B C F , AE⊥EF, AE⊥BE, ? AE⊥EF, 又 BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系 E-xyz. 又 BC=4, ? EA ? 2 ,? EB ? 2 , ? G 为 BC 的中点, ,B(2,0,0) ,G(2, ? BG ? 2 .则 A(0,0,2) 0) ,D(0,2,2) ,E(0,0,0) ,
???? ???? , , B D ? (-2,2,2) E G ? (2,2,0)
B A

?
2

,

z
D

E F

y 2,
C

G

x

???? ???? B D ? E G ? (-2,2,2) ? (2,2,0)=0,∴ B D ? E G .………………4 分

方法二:作 DH⊥EF 于 H,连 BH,GH, 由平面 A E F D ? 平面 E B C F 知:DH⊥平面 EBCF, 而 EG ? 平面 EBCF,故 EG⊥DH.
? EF // BC , ? ? AEH ? ? EBC ?

?
2

, ? AE ? EF , ? AE // DH . ? AD // EF , ? AEHD



平行四边形,? EH ? AD ? 2 ,? EH // BC , EH ? BC , 且
?
2
A

? EBC

?

, BE ? BC ? 2 ,? 四边形 BGHE 为正方形,∴EG⊥BH,BH ? DH=H,
D

故 EG⊥平面 DBH, 而 BD ? 平面 DBH,∴ EG⊥BD.………4 分 (或者直接利用三垂线定理得出结果)
B E

H
F

G

C

(2)∵AD∥面 BFC, 所以 f ( x ) ? V D ? BCF =VA-BFC=
1 3 ? S ? BCF ? AE ? 1 3 ? 1 2 ? 4(4 ? x ) x

? ?

2 3

( x ? 2) ?
2

8 3

? 8 3

8 3



即 x ? 2 时 f ( x ) 有最大值为

. ………8 分
??

(3)设平面 DBF 的法向量为 n1 ? ( x , y , z ) ,∵AE=2, B(2,0,0) ,D(0,2,2) , F(0,3,0) ,∴ B F ? ( ? 2, 3, 0 ), ………10 分
???? , B D ? (-2,2,2)
?? ???? ? n 1 ?B D ? 0 ? , ? ? ?? ??? ? n 1 ?B F ? 0 ?

??? ?

A H

D

E _

F M



? ( x , y , z ) ?( ? 2 , 2 , 2 ) ? 0 ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 即? ,? ? ( x , y , z ) ?( ? 2 , 3, 0 ) ? 0 ? ?2 x ? 3 y ? 0

B

G

C

取 x ? 3, y ? 2, z ? 1 ,∴ n1 ? (3, 2,1)
?? ? ? AE ? 面 BCF ,? 面 BCF 一个法向量为 n 2 ? (0, 0,1) ,………12 分
?? ?? ? ?? ?? ? n 1 ?n 2 14 ? 则 cos< n1 , n 2 >= ??? ??? ? ,………13 分 14 | n 1 || n 2 |
14 14

??

由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为- 20. (本题满分 14 分) ⑴依题意, l : y ?
x 2

.………14 分

……1 分,不妨设设 A ( 2 t , t ) 、 B ( ? 2 t , ? t ) ( t ? 0 )……2 分,
2 ? 8 ? 2 ?1 ? 2 b ?a 2 ……3 分,所以 ? 2 2 a ?b ?c ? ? ?a a ?

由 | AB |? 2 10 得 20 t 2 ? 40 , t ?

……5 分,
3 2

解得 a ? 4 , b ? 2 ……6 分.
?x y ? ?1 ? 2 2 ⑵由 ? 16 消去 y 得 3 x ? 8 mx ? 4 m ? 12 ? 0 ……7 分,动圆与椭圆没有公共 4 ?( x ? m ) 2 ? y 2 ? 1 ?
2 2

点 , 当 且 仅 当 ? ? ( ? 8 m ) 2 ? 4 ? 3 ? ( 4 m 2 ? 12 ) ? 16 m 2 ? 144 ? 0 或 | m |? 5 … … 9 分 , 解 得

| m |? 3 或 | m |? 5 … … 10 分 。 动 圆 ( x ? m ) ? y
2

2

? 1 与直线 y ?

x 2

没有公共点当且仅当

|m | 5

? 1 ,即 | m |?

? | m |? 3 ? | m |? 5 或? ……13 分,得 m 的取值范围为 5 ……12 分。解 ? ? | m |? 5 ? | m |? 5

?m |

5 ? m ? 3或 m ? 5 或 ? 3 ? m ? ? 5 或 m ? ? 5 ……14 分.………………14 分

?

21. (本题满分 14 分) 解: (1) f ?( x ) ? 3 ax 2 ? 6 x ? 6 a ,因为 f ?( ? 1) ? 0 所以 a =-2. …………2 分

(2)因为直线 m 恒过点(0,9).先求直线 m 是 y ? f ( x ) 的切线.
2 设切点为 ( x 0 ,3 x 0 ? 6 x 0 ? 12 ) , …………3 分 2 ∵ g ?( x 0 ) ? 6 x 0 ? 6 .∴切线方程为 y ? ( 3 x 0 ? 6 x 0 ? 12 ) ? ( 6 x 0 ? 6 )( x ? x 0 ) , 将点(0,9)代入得 x 0 ? ? 1 .

当 x 0 ? ? 1 时,切线方程为 y =9, 当 x 0 ? 1 时,切线方程为 y = 1 2 x ? 9 . 由 f / ( x ) ? 0 得 ? 6 x 2 ? 6 x ? 12 ? 0 ,即有 x ? ? 1, x ? 2 当 x ? ? 1 时, y ? f ( x ) 的切线 y ? ? 18 , 当 x ? 2 时, y ? f ( x ) 的切线方程为 y ? 9 …………6 分
? y ? 9 是公切线,又由 f ( x ) ? 12 得 ? 6 x
/
2

? 6 x ? 12 ? 12 ? x ? 0 或 x ? 1 ,

当 x ? 0 时 y ? f ( x ) 的切线为 y ? 12 x ? 11 ,当 x ? 1 时 y ? f ( x ) 的切线为 y ? 12 x ? 10 ,
? y ? 12 x ? 9 ,不是公切线, 综上所述 k ? 0 时 y ? 9 是两曲线的公切线

……7 分

(3).(1) kx ? 9 ? g ( x ) 得 kx ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 ,当 x ? 0 ,不等式恒成立, k ? R . 当 ? 2 ? x ? 0 时,不等式为 k ? 3 ( x ?
1 x ) ? 6 ,……8 分

而 3( x ?

1 x

) ? 6 ? ? 3[( ? x ) ?

1 (? x)

] ? 6 ? ?3 ? 2 ? 6 ? 0 ? k ? 0
1 x ) ? 6 ,? 3 ( x ? 1 x ) ? 6 ? 12

当 x ? 0 时,不等式为 k ? 3 ( x ?

? k ? 12

? 当 x ? ? 2 时, kx ? 9 ? g ( x ) 恒成立,则 0 ? k ? 12

…………10 分

(2)由 f ( x ) ? kx ? 9 得 kx ? 9 ? ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 12 x ? 11
2 当 x ? 0 时, 9 ? ? 11 恒成立, k ? R ,当 ? 2 ? x ? 0 时有 k ? ? 2 x ? 3 x ? 12 ?

20 x

2 设 h ( x ) ? ? 2 x ? 3 x ? 12 ?

20 x

=? 2( x ?
105 8

3 4

)

2

?

105 8

?

20 x



当 ? 2 ? x ? 0 时 ? 2( x ?

3 4

)

2

?

为增函数, ?

20 x

也为增函数

? h( x) ? h(?2) ? 8

? 要使 f ( x ) ? kx ? 9 在 ? 2 ? x ? 0 上恒成立,则 k ? 8

…………12 分

由上述过程只要考虑 0 ? k ? 8 ,则当 x ? 0 时 f / ( x ) ? ? 6 x 2 ? 16 x ? 12 = ? 6 ( x ? 1)( x ? 2 )
? 在 x ? ( 0 , 2 ] 时 f ( x ) ? 0 ,在 ( 2 , ?? ) 时 f ( x ) ? 0
/ /

? f ( x ) 在 x ? 2 时有极大值即 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上的最大值,…………13 分

又 f ( 2 ) ? 9 ,即 f ( x ) ? 9 而当 x ? 0 , k ? 0 时 kx ? 9 ? 9 ,
? f ( x ) ? kx ? 9 一定成立,综上所述 0 ? k ? 8 .

…………14 分


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