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辽宁省沈阳二中等重点中学协作体2013届高三领航高考预测(一)数学(理)试题 Word版含答案


2013 届省重点中学协作体领航高考预测试卷 1 数学理科
一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ? A ,如果 k ? 1 ? A 且 k ? 1 ? A ,那么 k 是 A 的 一个“孤立元” ,给定 S ? {1, 2,3, 4,5,6,7

,8,} ,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含 “孤立元”的集合共有( ) 个 A. 4 B. 5 C. 2.设复数 x ?

6

D. 7 )

1? i 1 2 2010 ( i 是虚数单位) C2010 ? C2010 x ? C2010 x 2 ? ? ? C2010 x 2010 ?( ,则 0 1? i 1005 1004 1004 1005 i i A. 2 B. 2 C. ? 2 D. ? 2

x2 y2 2 3. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点,则双曲线的离 a b
心率为( ). A.

5 4

B. 5

C.

5 2

D. 5

4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 1 ? ( )

2? 3 5.一个几何体的三视图如右图所示,其中主视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图 为正六边形,那么该几何体的左视图的面积为( )

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

tan A 2 c ? ,则角 A 的大小为 tan B b

D.

A.

3 2

B.

2 3

C. 12

D. 6

6.已知正三棱锥 S ? ABC 的底面边长为 4,高为 3,在正三棱锥内任取一点 P ,使得

VP? ABC ? 1 VS ? ABC 的概率是( 2 A. 7 B. 3 8 4

) C. 1

2

D. 1

4

7. 已知 f ( x) ? a? x (a ? 0且a ? 1), f ?1 ( x)是f ( x) 的反函数, f ?1 (2) ? 0 , f ?1 ( x ?) 的 若 则 1 图象大致是( )f ( 0

8.已知 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 1在区间 ?1,2] 上是减函数,那么 2b ? c ( [



A.有最小值 9 B.有最大值 9 C.有最小值-9 D.有最大值-9 9. 身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行, 要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( ) A. 24 种 B. 28 种 C. 36 种 D. 48 种

x2 y 2 ? ? 1 ,过椭圆右焦点 F 的直线 L 交椭圆于 A、B 两点,交 y 轴于 P 点。 10. 已知椭圆 25 9
设 PA ? ?1 AF , PB ? ?2 BF ,则 ?1 ? ?2 等于( A. ?

??? ?

??? ??? ? ?
9 25

??? ?



B. ?

50 9
1

C.

50 9

D.

9 25

11.已知函数 f ( x ) ?

64 与函数 g ( x) ? x 3 ? t ,若 f (x) 与 g (x) 的交点在直线 y ? x 的两 x
( ? C. 4, ?) ( 4) D. ? 4,

侧,则实数 t 的取值范围是( ) ( 6) A. B. ? 6, (? 6, ? 0

12. 设 an 是 ( x ? 3)n (n ≥ 2 且 n ∈ N) 的 展 开 式 中 x 的 一 次 项 的 系 数 , 则

2009 32 33 32009 ( ? ??? ) 的值为( 2008 a2 a3 a2009



A. 18 B.17 C.-18 D. 19 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题纸相应位置) 13.已知函数 f ( x) ? log2 | ax ? 1 | (a ? 0)满足f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 则实数 a 值是_______ 14 . 函 数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x( x ? R) , 又 f (? ) ? ? 2,

f (? ) ? 0 且 ? ? ? 的 最 小 值 等 于
__________.
x

3? ,则正数 ? 的值为 4

15.函数 y ?| 2 ? 1 | 在区间 (k ? 1, k ? 1) 上不单调 ,则 k 的取值范 ... 围 ; 16、下面四个命题:

? ①把函数 y=3sin(2x

?
3

的)图 象 向 右 平 移

? 个单位,得到 3

y=3s i n2x 的图象;
②函数 f ( x) ? ax ? ln x 的图象在 x=1 处的切线平行于直线 y=x,则 (
2

2 , ?? 是 f(x)的单 ) 2

调递增区间; ③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为 1∶3; ④“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的充分不必要条件。 其中所有正确命题的序号为 。 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分,初赛采用选 手选一题答一题的方式进行, 每位选手最多有 5 次选题答题的机会, 选手累计答对 3 题或答 错 3 题即终止其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰,已知选手甲 答题连续两次答错的概率为

1 , (已知甲回答每个问题的正确率相同,并且相互之间没有影 9

响。(I)求甲选手回答一个问题的正确率; ) (Ⅱ)求选手甲可进入决赛的概率; (Ⅲ)设选 手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。

18.(本小题满分 12 分) 已知一个四棱锥的三视图如图所示,其中 Rt ?PDA ? Rt ?PBA ,且

PD ?AD ? 2 , E, F , G 分别为 PA 、 PD 、 CD 的中点
(1)求证:PB//平面 EFG (2)求直线 PA 与平面 EFG 所成角的大小 (3)在直线 CD 上是否存在一点 Q,使二面角 Q ? EF ? D 的大小为 60 ?若存在,求出
o

CQ 的长;若不存在,请说明理由。
P E A
主视图

P

.

F D A
左视图

B

A

D

.
B
俯视图

G

C

19.(本小题满分 12 分)已知 f(x)= (Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A; (Ⅱ)设关于 x 的方程 f(x)=
2

2x ? a (x∈R)在区间[-1,1]上是增函数. x2 ? 2

1 的两个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数 m,使得不等 x

式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不 存在,请说明理由.

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上的三点, a 2 ? b2 ? ??? ??? ??? ? ??? ? 其中点 A 的坐标为 (2 3,0) , BC 过椭圆的中心,且 AC ? BC ? 0 , | BC |? 2 | AC | 。 (Ⅰ)求椭圆 m 的方程; (Ⅱ)过点 (0, t ) 的直线 l (斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P , Q ,设 D 为椭圆 m 与 y 轴 ??? ???? ? 负半轴的交点,且 | DP |?| DQ | ,求实数 t 的取值范围.
20.(本小题满分 12 分)己知 A 、 B 、 C 是椭圆 m :

21.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 各项均不为 0,其前 n 项和为 Sn ,且对任意 n ? N* 都 有 (1 ? p)Sn ? p ? pan ( p 为大于 1 的常数) ,记 f (n) ? (1) 求 a n ; (2) 试比较 f (n ? 1) 与
p ?1 f (n) 的大小( n ? N* ) ; 2p
2 n ?1 k ?1

n 1 ? C1 a1 ? C2 a2 ? ? ? Cn an n n . 2n S n

(3) 求证: (2n ? 1) f (n) 剟 ? f (k )

p ?1 ? ? p ?1? ?1 ? ? ? p ?1 ? ? 2 p ? ?

2 n ?1

? ? ? ?

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答,每题 10 分 、 、 选考题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 是⊙ 的直径 , 是弦 , BAC 的平分线 AD 交⊙ 于点 D, AB O AC ∠ O DE⊥ AC, 交 AC 的延长线于点 E.OE 交 AD 于点 F. (1)求证:DE 是⊙ 的切线; O (2)若

AC 3 AF ? ,求 的值. AB 5 DF
C F A

E D B

O

23. 极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的直线与 x 轴的交点为 P , 与椭圆 ? ( ? 为参数)交于 A, B, 求 PA ? PB .

? x ? 2 cos ? , ? y ? sin ?

24.已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ?

1 x ?1 . 2

(1)画出函数 f ? x ? 的图象,写出函数 f ? x ? 的单调区间; (2)解关于 x 的不等式 f ? x ? ? a ? a?R ? .

2013 届省重点中学协作体领航高考预测试卷 1
答案
一、选择题 1—5 CBDCA 二、填空题 13. 6—12 A ADDB 15. (?1,1) BA

1 2

14.

2 3

16.②③

17.解: (1)设甲选手答对一个问题的正确率为 P ,则 (1 ? P ) ? 1 1
2

1 9

故甲选手答对一个问题的正确率 P ? 1

2 3

3分

2 3 8 4分 3 27 8 2 2 3 1 选手甲答了 4 道题目进入决赛的概率为 C3 ( ) ? ? 5分 3 3 27 16 2 2 3 1 2 选手甲答了 5 道题目进入决赛的概率为 C4 ( ) ( ) ? 6分 3 3 81 8 8 16 64 ? ? ? 选手甲可以进入决赛的概率 P ? 7分 27 27 81 81 2 3 1 3 1 (Ⅲ) ? 可取 3,4,5 则有 P(? ? 3) ? ( ) ? ( ) ? 8分 3 3 3 2 1 2 1 2 1 10 P(? ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? ? C32 ( ) 2 ? ? ? 9分 3 3 3 3 3 3 27 1 2 2 1 8 2 2 2 1 P(? ? 5) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? 10 分 3 3 3 3 3 3 27
(Ⅱ)选手甲答了 3 道题目进入决赛的概率为 ( ) =

?
P
故 E? ? 3 ? ? 4 ?

3

4

5

1 3 1 3

10 27

8 27

10 8 107 ? 5? ? 12 分 27 27 27 18.解: (1)取 AB 中点 M,EF//AD//MG ? EFGM 共面, 由 EM//PB,PB ? 面 EFG,EM ? 面 EFG,得 PB//平面
EFG ??????4 分 (2)如图建立直角坐标系, E(0,0,1),F(1,0,1),G(2,1,0) EF =(1,0,0),
z

y E B M A D F C Q G x

FG =(1,1,-1),
设面 EFG 的法向量为 n1 = x,y,z) n1 ? EF 得出 x=0, 由 ( 由

n1 ? FG 得出 x+y-z=0

从 而 n1 = ( 0,1,1 ) , 又 EF =(0,0,1), 得 cos ? =

1 2 = ( ? 为 EF 与 n1 的 夹 角 ) 2 2

? ? =45o

?????8 分

(3)设 Q(2,b,0),面 EFQ 的法向量为 n2 =(x,y,z) EQ =(2,b,-1) , 由 n2 ? EF 得出 x=0, 由 n2 ? EQ 得出 2x+by-z=0,从而 n2 =(0,1,b) 面 EFD 的法向量为 n3 =(0,1,0) ,所以 cos60 ?
o

1 b2 ?1

?

1 ,解得,b= 3 2

CQ= 2 ? 3

?????12 分

19.解: (Ⅰ)f'(x)=

4 ? 2ax ? 2 x 2 ? 2( x 2 ? ax ? 2) = , ( x 2 ? 2) 2 ( x 2 ? 2) 2

∵f(x)在[-1,1]上是增函数,∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 x2-ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 设 ? (x)=x2-ax-2, ①

? (1)=1-a-2≤0,


?

? -1≤a≤1,
? (-1)=1+a-2≤0.

∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f' (1)=0,∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由

2x ? a 1 = ,得 x2-ax-2=0, 2 x ?2 x

∵△=a2+8>0

∴x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两非零实根, x1+x2=a, ∴
2 从而|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = a 2 ? 8 .

x1x2=-2, ∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a 2 ? 8 ≤3. 要使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. ②

设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), g(-1)=m2-m-2≥0, ②

?
g(1)=m2+m-2≥0, n ? m≥2 或 m≤-2.

所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 其取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 20.解: (Ⅰ)∵ | BC |? 2 | AC 且 BC 过 (0, 0) ,则 | OC |?| AC | . ∵ AC ? BC ? 0 ,∴ ?OCA ? 90? ,即 C ( 3, 3) .??2 分 又∵ a ? 2 3 ,设椭圆 m 的方程为 将 C 点坐标代入得
2
2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

x2 y2 ? ? 1, 12 12 ? c 2

3 3 ? ? 1, 12 12 ? c 2

解得 c ? 8 , b ? 4 .

x2 y 2 ? ? 1 . ??5 分 ∴椭圆 m 的方程为 12 4 (Ⅱ)由条件 D(0, ?2) ,
当 k ? 0 时,显然 ?2 ? t ? 2 ;???6 分 当 k ? 0 时,设 l : y ? kx ? t ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 ,消 y 得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ?12 ? 0 ?12 4 ? y ? kx ? t ?
2 2 由 ? ? 0 可得, t ? 4 ? 12k ??①???8 分

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , PQ 中 点 H ( x0 , y0 ) , 则 x0 ?

x1 ? x2 ?3kt ? , 2 1 ? 3k 2

y0 ? kx0 ? t ?

t 3kt t , ) .???10 分 , ∴ H (? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2

t ?2 ??? ???? ? 1 1 1 ? 3k 2 由 | DP |? DQ | ,∴ DH ? PQ ,即 k DH ? ? 。∴ ?? , 3kt k k ? ?0 2 1 ? 3k
化简得 t ? 1 ? 3k ??②
2

∴t ?1

将①代入②得, 1 ? t ? 4 。∴ t 的范围是 (1, 4) 。

综上 t ? (?2, 4) .???12 21.解:(1) ∵ (1 ? p)Sn ? p ? pan ,① ∴ (1 ? p)Sn ?1 ? p ? pan ?1 .②

②-①,得 (1 ? p)an ?1 ? ? pan ?1 ? pan ,即 an ?1 ? pan .

(3 分)

在①中令 n ? 1 ,

可得 a1 ? p .∴ ?an ? 是首项为 a1 ? p ,公比为 p 的等比数列, an ? p n . (4 分) (2) 由(1)可得 Sn ?
p(1 ? p n ) p ( p n ? 1) ? . 1? p p ?1

2 n 2 n 1 ? C1 a1 ? Cn a2 ? ? ? Cn an ? 1 ? pC1 ? p2Cn ? ? ? Cn pn ? (1 ? p)n ? ( p ? 1)n . n n

∴ f (n) ?

n 1 ? C1 a1 ? C2 a2 ? ? ? Cn an p ? 1 ( p ? 1) n n n ? ? , p 2n ( p n ? 1) 2n S n

(5 分)

f ( n ? 1) ?

p ?1 p ? 1 ( p ? 1) n ?1 p ?1 ( p ? 1)n ?1 f ( n) ? ? n ?1 n ?1 ? n ?1 n ?1 .而 ,且 p ? 1 , 2p p 2 ( p ? 1) p 2 ( p ? p) p ?1 f (n) , n ? N* ) (8 分) ( . 2p

∴ pn?1 ? 1 ? pn?1 ? p ? 0 , p ? 1 ? 0 .∴ f (n ? 1) ? (3) 由(2)知 f (1) ?

p ?1 p ?1 f (n) , n ? N* ) , f (n ? 1) ? ( . 2p 2p p ?1 p ?1 2 p ? 1 n ?1 p ?1 n f (n ? 1) ? ( ) f (n ? 2) ? ? ? ( ) f (1) ? ( ) . 2p 2p 2p 2p

∴当 n …2 时, f (n) ?

∴ f (1) ? f (2) ? ? ? f (2n ? 1) ?

? p ?1? p ?1 ? p ?1? ?? ? ??? ? ? 2p ? 2p ? ? 2p ?

2

2 n ?1

?

p ?1 ? ? p ?1? ?1 ? ? ? p ?1 ? ? 2 p ? ?

2 n ?1

? ?, ? ?

(10 分) (当且仅当 n ? 1 时取等号) . 另一方面,当 n …2 , k ? 1, 2, ?, 2n ? 1 时,
f (k ) ? f (2n ? k ) ? p ? 1 ? ( p ? 1)k ( p ? 1)2 n ? k ? ? 2n?k 2n?k ? k k ? p ? 2 ( p ? 1) 2 ( p ? 1) ?



p ?1 ( p ? 1)k ( p ? 1)2n ?k ?2 k k ? 2n ? k 2n ?k p 2 ( p ? 1) 2 ( p ? 1)
p ? 1 2( p ? 1)n ? p 2n p ? 1 2( p ? 1)n ? p 2n 1 ( p ? 1)( p 2 n ? k ? 1)
k

?

?

1 . p ? p ? p 2n ?k ? 1
2n k

∵ pk ? p2n?k …2 pn ,∴ p2n ? pk ? p2n?k ? 1 ? p2n ? 2 pn ? 1 ? ( pn ? 1)2 . ∴ f (k ) ? f (2n ? k ) … ∴ ? f (k ) ?
k ?1 2 n ?1

p ? 1 2( p ? 1) n ? ? 2 f (n) , (当且仅当 k ? n 时取等号) . 分) (13 p 2n ( p n ? 1)

2 n ?1 1 2 n ?1 (当且仅当 n ? 1 时取等 ? [ f (k ) ? f (2n ? k )] …? f (n) ?(2n ? 1) f (n) . 2 k ?1 k ?1

号) .

综上所述, (2n ? 1) f (n) 剟 ? f (k )
k ?1

2 n ?1

2 n ?1 p ?1 ? ? p ?1? ? * ?1 ? ? ( . ? ? , n ? N )(14 分) p ?1 ? ? 2 p ? ? ? ?

22.略证 (1) 连结 OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ??2 分 ∴OD∥AE 又 AE⊥DE ????3 分 ∴DE⊥OD,又 OD 为半径 ∴ DE 是的⊙O 切线 ????5 分 ⑵ 提示:过 D 作 DH⊥AB 于 H 则有∠DOH=∠CAB Cos∠DOH=cos∠CAB=

AC 3 ? AB 5

????????6 分

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x,DH=4x ∴AH=8x AD2=80x2 由△AED∽△ADB 可得 AD2=AC·AB=AC·10x ∴AE=8X????8 分 又由△AEF∽△DOF ∴ 可得 AF∶DF= AE∶OD =

8 ; 5

AF 8 = ??10 分 DF 5

23.解析:直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的直角坐标方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,∴直线与 x 轴交 于 (1, 0) ,直线的斜率为 1 ,

? ?x ? 1? ? ∴直线的参数方程为 ? ?y ? 0? ? ?
2 2

2 t, 2 ( 为参数) ,① t 2 t 2

椭圆的普通方程为: x ? 4 y ? 4, ② ①代入②得: 5t 2 ? 2 2t ? 6 ? 0, ③ ∵ ? ? 128 ? 0 ,根据直线参数方程的几何意义知 PA ? PB ? t1 ? t2 ?

6 . 5

?3 ? 2 x( x ? 2) ? 1 ?1 24.解析: f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? ? x ? 2(?1 ? x ? 2) . 2 ?2 ? 3 ?? 2 x( x ? ?1) ?
画出函数 f ? x ? 的图象如图中的折线,其单调递减区间是 ? ??, ?1? ,单调递增区间是

??1, ??? .

(2)结合图象可知: 当a ?

3 时, f ? x ? ? a 恒成立,即不等式的解为 ? ??, ??? ; 2



3 2 ? ? ? a ? 3 时,不等式的解为 ? ??, ? a ? ? ? 2a ? 4, ?? ? ; 2 3 ? ?

当 a ? 3 时,不等式的解为 ? ??, ?

? ?

2 ? ?2 ? a ? ? ? a, ?? ? . 3 ? ?3 ?


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