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茂名市2016届第一次高考模拟考试(理数)


茂名市 2016 届第一次高考模拟考试 数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卷的整洁,考试结束后,将答题卷交回。 参考公式:椎体的体积公式是: V锥体 ?

1 S ? h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高 3 底

第Ⅰ部分

选择题(共 60 分)

一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.复数

5 ( i 为虚数单位)的虚部是( 1 ? 2i
B. ? 2 i

) D. 2 ) D. f ( x ) ? ? x | x | ) D.- 3 3

A. 2i

C. ?2

2.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( A. f ( x) ? 2x 3.已知 cos?? ? ? ? ? A. 3 B. f ( x) ? x sin x C.
f ( x) ? 1 x

1 , ?? ? ? ? 0 ,则 tan ? ? ( 2
B. 3 3 C. ? 3

4.设双曲线 是(

y2 ? x 2 ? 1上的点 P 到点 (0, 5) 的距离为 6,则 P 点到 (0, ? 5) 的距离 4

) B.10


A.2 或 10

C.2

D.4 或 8

5.下列有关命题说法正确的是(

A. 命题 p:“ ?x ? R,sinx + cosx =

2 ”,则?p 是真命题
1

B. 的必要不充分条件 “x ? ?1”是“x 2 ? 5 x ? 6 ? 0” C.命题 的否定是:“ ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 ” “?x ? R, 使得x 2 ? x ? 1 ? 0” D.“ a ? 1 ”是“ f ( x) ? log a x(a ? 0,a ? 1) 在(0, ? ?) 上为增函数”的充要条件

? ?? 6.将函数 f ( x) ? sin? ? 2 x ? ? 的图像向右平移 个单位得 3 3? ?
到函数 g ( x) 的图像,则 g ( x) 的一条对称轴方程可以为( A. x ? )

3? 4

B. x ?

7? 6

C. x ?

7? 12

D. x ?

?
12

7.2015 年高中生技能大赛中三所学校分别有 3 名、2 名、 1 名学生获奖,这 6 名学生要排成一排合影,则同校学 生排在一起的概率是 ( A. ) C.

1 30

B.

1 15

1 10

D.

1 5


8.执行如图 8 的程序框图,若输出 S 的值是 A. 2014 B. 2015

1 ,则 a 的值可以为( 2
D. 2017

C. 2016

9.若某几何体的三视 图(单位: cm )如图所示, 则该几何体的体积( A. 10cm
3


3

B. 20cm

C. 30cm

3

D. 40cm
n

3

1? 2 10.若 ? ? x ? 3 ? 的展开式中存在常数项,则 n 可以为( x ? ?
A.8 B. 9 C.10



D. 11 )

11. 在?ABC中, BC ? 8, CA ? 6, BA ? CA ? 60, 则?C ? ( A. 60 ? B. 30 ? C. 150 ?
2

D. 120 ?

12.形如 y ?

b (c ? 0, b ? 0) 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动 | x | ?c

2 地称为“囧函数”.若函数 f ? x ? ? log a x ? x ? 1 (a ? 0, a ? 1) 有最小值,则当方程

?

?

c 2 ? b2 ? 2c ? 2b ? 2 ? 0 成立时的“囧函数”与函数 y ? loga | x | 的图像交点个数为
( ) . B. 2 C. 4 D. 6

A. 1

第Ⅱ部分非选择题(共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.一个长方体高为 5,底面长方形对角线长为 12,则它外接球的表面积为 14.如图,探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分,光源在抛物 线的焦点 F 处,灯口直径 AB 为 6 0 cm ,灯深 4 0 cm ,则光源 F 到反射镜顶点 O 的距离为

cm .

x ?1 ? 15.已知点 P?x, y ?的坐标满足条件 ? , y?2 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

那么 ?x ? 1? ? y 2 的取值范围为
2

16 . 在?ABC中, D为AB的一个三等分点 , 且AB ? 3AD, AC ? AD, CB ? 3CD , 则

cos B=
三.解答 (本大题共 5 小题, 每题 12 分共 60 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?bn ?为单调递增的等差数列, b3 ? b8 ? 26, b5b6 ? 168,设数列 ?an ? 满足

2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ? ? ? ? ? 2n an ? 2bn
(1)求数列 ?bn ?的通项 ; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 。
3

18. (本小题满分 12 分) 我国新发布的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0 ? 50 为优秀,人类可正常 活动。 某市环保局对该市 2015 年进行为期一年的空气质量监测, 得到每天的空气质量指数, 从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为 ? 5,15? , ?15, 25? ,

? 25,35? , ? 35, 45? ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.
(1)求 a 的值,并根据样本数据,试估计该市近几年 的空气质量指数的平均值; (2)如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质量为 “特优等级”,则从这几年的监测数据中随机抽取

2 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ? .
求 ? 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图, ABCD 是平行四边形, EA ? 平面 ABCD , PD //EA , BD ? PD ? 2 EA ? 4 ,

AD ? 3 , AB ? 5 . F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点. (1)求证: DB ? GH ;
(2)求平面 FGH 与平面 EBC 所成锐二面角的余弦值。

4

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 离心率为 e ? ,以原点为圆心,以椭圆 C 的短 2 a b 2

半轴长为半径的圆 O 与直线 l1 : y ? x ? 2 相切。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设不过原点 O 的直线 l2 与该椭圆交于 P、Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次 成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的 偶 函 数 f ( x) ,当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? e .
x

(1)当 x ? (??, 0) 时,求过原点与函 数 f ( x ) 图 像 相 切 的 直 线 的 方 程 ; (2)求最大的整数 m(m ? 1) ,使得存在 t ? R ,只要 x ? [1, m] ,就有 f ( x ? t ) ? ex .

请在第 22.23.24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题 号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,A、B 是圆 O 上的两点,且 AB 的长度小于圆 O 的直径,直线 l 与 AB 垂于点 D 且与圆 O 相切于点 C.若 AB ? 2, DB ? 1 (1)求证: CB 为 ?ACD 的角平分线; (2)求圆 O 的直径的长度。

l

5

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x+y-8=0,曲线 C 的参数方程为

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

? ? x ? cos ? (? 为参数) . ? ? ? y ? 3 sin ?
(1) 已知极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半

(4 2, ) 轴为极轴,若点 P 的极坐 标为 ,请判断点 P 与曲线 C 的位置关系; 4
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值与最大值。

?

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a . (1)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 4 ? 2x ?1 的解集; (2)若 A ? x | x 2 ? 4 x ? 0 ,关于 x 的不等式 f ( x) ? a 2 ? 2 的解集为 B ,且 B ? A , 求实数 a 的取值范围.

?

?

6

数学(理科)参考答案
一.选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分. 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 A 5 D 6 A 7 C 8 B 9 B 10 C 11 D 12 C

第Ⅱ卷 ( 非选择题,共 90 分) 二.填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 169? ;14. 5.625cm 或 5

5 45 ? 16 ? cm 或 cm ;15. ? ,8? 8 8 ?5 ?

; 16.

7 6 18

选择题、填空题提示: 1. 复数 5 ? 5(1 ? 2i ) ? 1 ? 2i ,所以虚部为 2 。 选 D 1 ? 2i 12 ? (2i) 2 2. A 中 f ( x ) 非奇非偶; B 中 f ( x ) 是偶函数; C 中 f ( x ) 在 (??,0)、(0, +?) 分别是减函数,
2 ?? ? x ( x ? 0) f ( x)= ? 2 D中 但在定义域 (??,0) ? (0, +?) 上不是减函数; ? ? x ( x ? 0) 是奇函数且在 R 上是减

函数。选 D 3. cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? ? cos ? ? 所以 ? ? ? 2? , tan ? ? tan(?
3

1 1 , cos ? ? ? 又 ?? ? ? ? 0 , 2 2

2? 2? ? ) ? ? tan ? tan ? 3 。选 A 3 3 3

4.双曲线 a=2,b=1,c= a2 ? b2 ? 5 ,它的左右焦点分别是 F1 (0, 5) ,F2 (0, ? 5) ,由 定义有 || PF1 | ? | PF2 ||?|| PF1 | ?6 |? 2a ? 4, 所以 | PF1 |? 6 ? 4 , | PF1 |? 2或10 。选 A ? ? ? ?? 6. 法一 : f ( x) ? sin? ? 2 x ? ? 的图像 向右平移 个 单位得新函 数 g ( x) ? sin[2( x ? ) ? ]
? 3?

3

3

3

? k ?Z , ? sin(2 x ? ? ) ? ? sin 2 x , 由 2 x ? k? ? 得 g ( x) 对称轴为 x ? k ? ? ? , 取 k ? 1,
2
2 4

得 x ? 3? 为所求。选 A
4

法二:由 2 x ?

?
3

? k? ?

?

, k ? Z 得 f ( x ) 对称轴为 x ? k ? ? 5? , k ? Z ,图像向右平移 2 2 12

? 个单位得 g ( x ) 对称轴为 x ? k ? ? 5? ? ? ? k ? ? 3? , k ? Z 取 k 2 12 3 2 4 3

? 0 ,得 x ? 3? 为所
4

求。
2 3 7. 答案:C 由已知把第二个及第三个学校的学生看做整体得同校学生排在一起共 A3 3A2 A3

种方法, 而三个学校的学生随便排有 A 6 由古典概型的概率计算公式得所求概率: 6 种方法,

P?

2 3 A3 12 1 3 A 2 A3 ? ? ,故选 C. 6 A6 6 ? 5 ? 4 10

8.第 1 次运算: S1 ?
S2 ?

1 1 ? ? ?1 , k ? 1 ;第 2 次运算: 1 ? S0 1 ? 2

1 1 1 ? ? ,k 1 ? S1 1 ? (?1) 2

? 2 ;第 3 次运算:

7

S3 ?

1 1 1 , k ? 3 ; {Sn } 是周期为 3 的周期数列, S 2015 ? S3?671? 2 ? S 2 ? , ? ? 2 ? S0 2 1 ? S2 1 ? 1 2

k ? 2015 ;所以 a ? 2015 满足要求。选 B
9.该几何体是三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 砍掉一角 B ? A 1B 1C1 而成 的,体积为

VABC? A1B1C1 -VB? A1B1C1 ?

2 VABC? A1B1C1 3

2 1 ? ? ? 4 ? 3 ? 5 ? 20 ,选 B 3 2
1? 2 10. ? ? x ? 3 ? 的展开式通项为 ? x ?
r r Tr ?1 ? Cn ( x2 )n?r (? x?3 )r ? Cn (?1)r x2n?5r ,若存在常数项,则 2n ? 5r ? 0 有整数
n

解,故 2n ? 5r ,n 必为 5 的倍数,选 C 11. BA ? CA ? (CA ? CB) ? CA ?| CA |2 ?CB ? CA ? 62 ? 8 ? 6cos C ? 60 ? cos C ? ?
0 又 C ? (0 ,180?) ? C ? 120? 。选 D
2 2 2 12.提示:令 u ? x ? x ? 1 ,则 f ? x ? ? log a x ? x ? 1 是 y ? log a u 与 u ? x ? x ? 1 复

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

1 2

?

?

1 3 3 合函数,? u ? ( x ? ) 2 ? ? ,当 y ? log a u 是增函数, u ? [ 3 , +?) 时有最小值, 2 4 4 4
2 2 2 2 所以 a ? 1 ; x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ? ( x ?1) ? ( y ?1) ? 0 ? x ? y ? 1 ,

所以 c ? b ? 1 ,这时“囧函数”为 y ?

1 它与函数 y ? loga | x | 与函数 | x | ?1

在同一坐标系内的图象如图所示,图像交点个数为 4 ,选 C 13. 如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,AC=12, AA 1 ?5 它外接球直径 2R= A1C ?
2

AA12 ? AC 2 ? 13 ,
13 2 ) ? 169? 。 2
2

外接球的表面积为 4? R ? 4? (

14.建立如图平面直角坐标系,设抛物线方程为 y ? 4 px( p ? 0) , 则点 A(40,30)在抛物线上, 302 ? 160 p ? p ? 90 ? 45 ? 5.625 ( cm ) 16 8 15. ?
x ?1 表示的平面区域如图, y?2 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?

?x ? 1?2 ? y 2 表示区域内点 P?x, y ?

8

与点 M(-1,0)的距离的平方,由图知: | MC |2 ? (1 ? 1)2 ? 22 ? 8 最大; M 到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离的平方 (
| 2 ? (?1) ? 0 ? 2 | 2 ?1
2

)2 ?

16 最小。 5

16.令 AC=AD=1,CD=x > 0 , 则 AB=3 , BC= 3x ,
cos A ? 12 ? 12 ? m2 32 ? 12 ? 9m2 6 ? ?m? 2 ? 1? 1 2 ? 3 ?1 3

? cos B ?

32 ? 9m2 ? 12 8 ? 6 14 6 7 6 ? ? ? 2 ? 3 ? 3m 36 18 6 6

三、解答题: 17. 解:(1) 解法 1:

设 ?bn ?的公差为 d ,则 ? ?bn ?为单调递增的等差数列 ? d ? 0 且 b6 ? b5 由?

………1 分 ………4 分

?b5 ? 12 ?b3 ? b8 ? 26 ?b5 ? b6 ? 26 得? 解得 ? ?b6 ? 14 ?b5b6 ? 168 ?b5b6 ? 168

………5 分 ? d ? b6 ? b5 ? 2 bn ? b5 ? (n ? 5)d ? 12 ? 2(n ? 5) ? 2n ? 2 ? bn ? 2n ? 2 ………6 分 解法 2:设 ?bn ?的公差为 d ,则 ………1 分 ? ?bn ?为单调递增的等差数列 ? d ? 0 由?

?b3 ? b8 ? 26 ? ?b1 ? 4 ?2b1 ? 9d ? 26 得? 解得 ? ? ?d ? 2 ?b5b6 ? 168 ?? b1 ? 4d ?? b1 ? 5d ? ? 168

………5 分

? bn ? b1 ? (n ?1)d ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2 ? bn ? 2n ? 2 ………6 分 b 2n ? 2 ? 4n ?1 (2) 2 n ? 2 ………7 分 bn 2 3 n?1 n 由 2a1 ? 2 a2 ? 2 a3 ???? ? 2 an?1 ? 2 an ? 2 ??? ① b 得 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ???? ? 2n?1 an?1 ? 2 n?1 ????????? ② ………8 分 n n ?1 n n n ① -②得 2 an ? 4 ? 4 ? 3 ? 4 , n ? 2 ? an ? 3 ? 2 n ? 2 ……9 分
又? a1 ?

?8 b1 ? 8 不符合上式 ? an ? ? n 2 ?3 ? 2

n ?1 n?2

………10 分

当 n ? 2 时, Sn ? 8 ? 3 ? 22 ? 23 ? ? ? ? ? 2n ? 8 ? 3 ? 又? S1 ? 8 符合上式

?

?

22 1 ? 2n ?1 ? 3 ? 2n ?1 ? 4 1? 2
………11 分 ………12 分 ………2 分 ………3 分

?

?

? Sn ? 3 ? 2n ?1 ? 4 , n ? N *

18 解: (1)由题意,得 (0.032 ? a ? 0.02 ? ?0.018) ?10 ? 1, 解得 a ? 0.03 50 个样本中空气质量指数的平均值为
X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6

………5 分 可估计 2015 年这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 …………6 分 (2)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 0,15? 内为“特优等级”,且指数达到“特优 等级”的概率为 0.2,则 。 ? 的可能取值为 0,1,2, …………7 分
0 1 2 P(? ? 0) ? C2 (0.2)0 ? (0.8)2 ? 0.64, P(? ? 1) ? C2 (0.2) ? (0.8) ? 0.32, P(? ? 2) ? C2 (0.2)2 ? 0.04

9

? ? 的分布列为:

?
P

0
0.64

1
0.32

2
0.04

E? ? 0 ? 0.64 ? 1? 0.32 ? 2 ? 0.04 ? 0.4 .(或者 E? ? 2 ? 0.2 ? 0.4 )。

……………10 分 ……………12 分

? EA ? 平面ABCD ? EA ? BD ………1 分 ? AD ? 3, BD ? 4, AB ? 5 ? AD ? BD ………2 分 AD ? AE ? 点 A 而 ? BD ? 面ADPE ? BD ? PE ………………3 分 ?在?PEB中G, F分别为P, E的中点 ? PE // GF 同理BD ? GF 而GF ? FH ? 点F ? BD ? GF ? BD ? 面GFH ………5 分 ? BD ? GH ………6 分 (2)法 1:如图 19-2,设 PD 的中点为 Q ,连结 BQ , EQ , CQ . 易知 EQ//BC且EQ ? BC 所以 E, Q, B, C 四点共面 ? F , H 分别为 PB , EB , PC 的中点 ? FH // 面PEAD ? FH // AD ………7 分 同理 FG // 面PEAD 又? FG ? FH ? 点F ? 面FGH // 面PEAD…8 分 二面角 D ? EQ ? B 即为平面 FGH 与平面 EBC 所成的锐二面角 ……9 分 ……10 分 ? AD ? BD , AD ? PD , AD // EQ ? EQ ? 平面PDB ? EQ ? QD 且 EQ ? BQ ? ?DQB 就是平面 FGH 与平面 EBC 所成锐二面角的一个平面角 …11 分

19.解:(1)证明:如图 19-1

? cos ?DQB ?

DQ ? BQ

2 5 ? 5 4 ? 16

………12 分

法 2:如图 19-3,设 PD 的中点为 Q ,连结 BQ , EQ , CQ .作 DM ? BQ 于点 M 易知 EQ//BC且EQ ? BC 所以 E, Q, B, C 四点共面 ………7 分 ? PD ? 平面ABCD ? PD ? BC ? BC ? 平面PBD ………8 分 又? BC ? BD且PD ? BD ? DM ? BC ? DM ? 平面EBC ………9 分 BD ? 面 GFH 又由(1)知

? DM, DB分别为平面 EBC和平面FGH 的法向量 在?BDQ中,BD ? 4,DQ ? 2,BQ ? 2 5
在?BDQ中,DM ? DQ ? BD 4 5 ? BQ 5

…10 分

………11 分

设平面 FGH 与平面 EBC 所成锐二面角的大小为 ? ,则

cos ? ? cos ?MDB ?

DM 5 ? BD 5

………12 分

法 3:如图 19-4,? EA ? 平面ABCD,BC // PD

10

? PD ? AD , PD ? DB 又? AD ? 3, BD ? 4, AB ? 5 ? AD ? BD

………1 分 ………2 分

, B(4,0,0), E(0,?3,2) G (2,? 建立如右图所示坐标系,则 D(0,0,0)

3 ,1) 2

3 P(0,0,4) , C (4,3,0) , F (2,0,2) , H ( 2, ,2) 2 3 DB ? (4,0,0) GH ? (0,3,1) FH ? (0, ,0) 2

BC ? (0,3,0) , BE ? (?4,?3,2)
(1) ? DB ? GH ? 4 ? 0 ? 0 ? 3 ? 0 ?1 ? 0

………4 分 ………5 分 ………6 分

? BD ? GH

(2) 设 平面EBC 的一个法向量为 n ? ( x, y,1) ,则 由?

? ?BC ? n ? 0 ? ?BE ? n ? 0

得?

?3 y ? 0 ………7 分 ?? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0

?y ? 0 1 ? 解得 ? 1 ? n ? ( ,0,1) 2 x? ? 2 ?
又? DB ? FH ? 4 ? 0 ? 0 ?

………8 分

3 ? 0?0 ? 0 2

? BD ? FH 而 BD ? GH , FH ? GH ? H
………10 分 ………11 分

??? ? ? BD ? 平面 FGH , BD 为平面 FGH 的一个法向量

??? ? ? ??? ? ? BD ? n ? cos BD, n ? ??? ? ? ? BD n

2 5 4? 4

?

5 5

平面 FGH 与平面 EBC 所成锐二面角的余弦值为
2

5 5
2 2

………12 分

20.解:(1) 由直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? b 相切得:

d?

|0?0? 2 | 12 ? ( ?1) 2

?1 ? b,

……………2 分

c 3 3 得 c? ? a, a 2 2 3 2 2 2 ? a2 ? 1 2? a 又a ?b ?c 4 2 x ? y2 ? 1 椭圆 C 的方程为 4
由e ?

……………3 分
2

? a2 ? 4

……………4 分 ……………5 分

11

(2)由题意可知,直线 l2 的斜率存在且不为 0,故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2), ? ?y=kx+m, 由? 2 消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, …………6 分 2 ?x +4y -4=0 ? 则 Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0, -8km 4?m2-1? 且 x1+x2= ,x x = . 1+4k2 1 2 1+4k2 故 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 2 2 y1 y2 k x1x2+km?x1+x2?+m 所以 · = =k2, x1 x2 x1x2 -8k2m2 1 2 2 1 即 2 +m =0, 又 m≠0,所以 k = ,即 k=± . 4 2 1+4k

……………7 分

…………8 分 …………9 分

由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且 Δ>0 得 0<m2<2 且 m2≠1. ………10 分 1 2 2 S△OPQ= |x1-x2||m|= m2? 2 -m2? ? 1 ? (m ? 1) , ………………11 分 2 ( 或 S△OPQ ? 1 | AB | ?h ? 1 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? | m | ? ??? ? m2 (2 ? m2 ) ) 2 2 1? k 2 所以 S△OPQ 的取值范围为(0,1). 21 解: (1)当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? e
/ ?x x

……………………12 分
?x

解法 1:因为 f ( x) 为偶函数,当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f ( x) ? f (? x) ? e

……1 分 ……2 分

f ( x ) ? ?e , ?x 设 切 点 坐 标 为 ( x0 , y0 ) ,则切 线 斜 率 为 k ? f / ( x0 ) ? ?e 0
切 线 方 程 为 y ?e
? x0

? ?e? x0 ( x ? x0 )
? x0 ? x0

……3 分 ……4 分 ……5 分 了 ……1 分

? ?e (0 ? x0 ) ? x0 ? ?1, k ? ?e ,切 线 方 程 为 y ? ? e x ,即 ex ? y ? 0 x / x 解法 2:当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? e , f ( x) ? e ,
x

又切 线 过 ( 0 , 0 ) , 所 以 0?e

设过原点与 f ( x) ? e 相切 的 直线为 L,设 切 点 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , 则切 线 L 斜 率 为 k ? f / ( x0 ) ? e
x

x0

切 线 方 程 为 y ?e
x

x0

? ex0 ( x ? x0 ) ……2 分
……3 分 ……4 分

又切 线 过 ( 0 , 0 ) , 所 以 0 ? e 0 ? ?e 0 (0 ? x0 ) ? x0 ? 1,

k ? e ,切 线 方 程 为 y ? e x , ? f ( x) 为 偶 .函 数 ,图像关于 y 轴对称,
∴当 x ? (??, 0) 时,设过原点与 f ( x) 相切 的 直线 L 方程为
/

y ? ?ex 即 ex ? y ? 0 (2)因为任意 x ? [1, m] ,都有 f ( x ? t ) ? ex ,故 x=1 时, f (1 ? t ) ? e

……5 分

??1 ? t ? 0 当 1 ? t ? 0 时, e1?t ? e ,从而 1 ? t ? 1 ,∴ ? (1? t ) 当 1 ? t ? 0 时, e ? e ,从而 ?(1 ? t ) ? 1 ,
??2 ? t ? ?1 ,综上 ?2 ? t ? 0 , ∴ ……………6 分 又整数 m(m ? 1) ,即 m ? 2 ,故 m ? t ? 0 ,故 x=m 时, f (m ? t ) ? em
得: e m ?t ? em , 即存在 t ? [?2, 0] ,满足 et ?

em em

……………7 分

12

∴?

em ? {et }min ? e ?2 ,即 e m ? e3 m ? 0 , m e x 3 x 3 令 g ( x) ? e ? e x , x ? [2, ??) ,则 g '( x) ? e ? e 当 x ? (2,3) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? (3, ??) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,
3 3 3

……………8 分

……………9 分

又 g (3) ? ?2e ? 0 , g (2) ? ?e ? 0 , g (4) ? e (e ? 4) ? 0 , g (5) ? e3 (e 2 ? 4) ? 0 由此可见,方程 g ( x) ? 0 在区间 [2, ??) 上有唯一解 m0 ? (4,5) , 且当 x ? [2, m0 ] 时 g ( x) ? 0 ,当 x ? [m0 , ??) 时 g ( x) ? 0 ,

? m ? Z ,故 mmax ? 4 ,此时 t ? ?2 .
下面证明: f ( x ? 2) ? e ①当 x ? [1, 2] 时,即 e
| x ? 2|
2? x

……………10 分

? ex 对任意 x ? [1, 4] 恒成立, ? ex ,等价于 e ? xe x ,
……………11 分

? e x ? e, x ? 1 , xe x ? e ? x ? [1, 2] ,∴ ②当 x ? [2, 4] 时,即 e x ? 2 ? ex ,等价于 {e x ?3 ? x}max ? 0
令 h( x ) ? e
x ?3

? x ,则 h '( x) ? e x ?3 ? 1 ,? h( x) 在 (2,3) 上递减,在 (3, 4) 上递增, 1 ∴ ? hmax ? max{h(2), h(4)} ,而 h(2) ? ? 2 ? 0, h(4) ? e ? 4 ? 0 , e 综上所述, f ( x ? 2) ? ex 对任意 x ? [1, 4] 恒成立。 ……………12 分
22.解: (I) 证法 1:如图 22-1 由切割线定理得 CD ? DA ? DB ? 3
2

?CD ? 3 又? 在Rt?CDB中, CB2 ? CD2 ? BD2 ? 3 ? 1 ? 4 ? 在Rt?CBA中, CB ? AB ? 2 ? ?A CB ? ?CAB 又 ? CD为圆O的切线 ? ?B CD ? ?C A B ? ?BCD = ?ACB , CB 为 ?ACD 的角平分线
证法 2:如图 22-1 由切割线定理得 CD ? DA ? DB ? 3 ? CD ? 3
2

……………1 分 ……………2 分 ……………3 分 ……………4 分 ……………5 分 ……………1 分

? BD 1 3 ? ?BCD ? ……3 分 ? ? 6 CD 3 3 ? AD 3 ? 在Rt?CDA中, tan?ACD ? ? ? 3 ? ?ACD ? ……4 分 3 CD 3 ? ? ?A CB ? ?CAB ? ? CB 为 ?ACD 的角平分线 ……………5 分 6 (2)法 1:如图 22-2 连结 AO 并延长交圆 O 于点 E ,连结 CE , ? 设 DC 延长线上一点为 F ,则? AE 为圆 O 直径,? ?ACE ? 2 l ? 直线 与圆 O 相切于点 C. ? ?ACD ? ?E , ?BCD ? ?2 ? ?1 ? ? 2 (等角的余角相等) …………6 分 ? ?1 ? ? 2 ? ?BCD ? ?ACB ? EC ? BC ? AB ? 2 (相等的圆周角所对的弦相等) …………7 分 ? AC2 ? AD2 ? CD 2 ? 9 ? 3 ? 12 …………8 分 2 2 2 ? AE ? EC ? AC ? 4 ? 12 ? 16 …………9 分 ? AE ? 4 圆 O 的直径为 4 …………10 分
? 在Rt?CDB中, tan?BCD ?
13

法 2:如图 22-3,连结 AO 和 CO ,则 ……………6 分 ? CD为切线, C为切点 ? O C ? CD ? O C // CD 又? AB ? CD ……………7 分 ??1 ? ?3 ? ?2 ? ?BCD ? ?4 , ……………8 分 ? OA / / AB ,又 OA ? OC ……………9 分 ? 四边形 AOCB 为菱形 ? OA ? AB ? 2 ? 圆 O 的直径为 2OA ? 4 ………10 分 法 3:由证法 2 得 ?1 ? ?3 ? ?2 ? ?BCD ? ?4 ,……………8 分 ? Rt?ADC中, ?ACD ? ?2 ? 3?2 ? 900 ??BCD ? ?1 ? ?3 ? ?2 ? 300 ……………9 分 如图 22-4 连结 OB ,

?OA ? OB, ?OAB ? 2?2 ? 600 ??OAB 为等边三角形, ……………10 分 ? 圆 O 的直径为 2OA ? 2 AB ? 4
? ? x ? 4 2 cos ? 4 23.解: (1)设点 P 的直角坐标系坐标为 ,则 ? (x0,y0) ? 0 4 ? ? ? y ? 4 2 sin ? 4 0 ? ? 4
得 :P(4,4) 。

……2 分 ……4 分

? x2 y 2 ? x ? cos ? (? 为参数) ? ? ? cos 2 ? ? s in 2? ? 1 ? 1 3 ? ? y ? 3 sin ?

42 42 y2 2 ? ? ? 1 ? 点 P 在曲线 C x ? ? 1外。 1 3 3
(2)法 1:因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为(cos? , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

……5 分

3sin? ) , ……6 分
……7 分

|cos? + 3sin? ? 8 | d= 1?1

8 ? 2 cos(? ? ) 3 ? 4 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? 3 2
当 cos(? ? 当 cos(? ?

?

……8 分 ……9 分 ……10 分

?
?
3

) ? 1 时,Q 到直线 l 的距离 d 的最小值为 3 2 ) ? ?1 时,Q 到直线 l 的距离 d 的最大值为 5 2
……6 分

3

法 2:直线 l 的平行线 n 方程可设为:x+y+t=0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 联立 ? 得 3x ? ( x ? t ) ? 3 ,即 4 x ? 2tx ? t ?3 ? 0 3 ?x ? y ? t ? 0 ?

……7 分

? ? 4t 2 ?16(t 2 ?3) ? ?12t 2 ? 48 ? 0 ? t ? ?2

……8 分

14

曲线 C 的两切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0

点 Q 到直线 l 的距离 d 的最大值为

|2 ? (?8) | d= ?5 2 1?1 |-2 ? (?8) | d= ?3 2 1?1

……9 分

点 Q 到直线 l 的距离 d 的最小值为

……10 分

24 解: (1)解法 1: a ? 2 时, f ( x) ? 4 ? 2x ?1 即为 x ? 2 ? 2x ?1 ? 4 ? 0 可化为 1 ? ?1 ?x ? 2 ?x ? ? ?x?2 ……………3 分 或 或? 2 ? ?2 ? x ? 5 ? 0 ? ? ?x ? 3 ? 0 ? ?? 3x ? 1 ? 0 解得 x ?

1 1 或 ? x ? 2或x ? 2 2 2

……………4 分 ……………5 分

所以不等式 f ( x) ? 4 ? 2x ?1 的解集为 R

1 ? ? x ? 3, x ? 2 ? 解法 2: 令 g ( x) ? x ? 2 ? 2x ?1 ? 4 ,则 g ( x) ? ?? 3 x ? 1, 1 ? x ? 2 ? 2 ? ?? x ? 5, x ? 2 ? ?
1 1 当x ? 时, g ( x)单调递增,当 x ? 时, g ( x)单调递减 2 2

……………3 分

1 ……………4 分 2 所以不等式 f ( x) ? 4 ? 2x ?1 的解集为 R ……………5 分 (2)解: A ? ?x | x( x ? 4) ? 0? ? ?x | 0 ? x ? 4? ……………6 分 2 2 ① ? 2 ? a ? 2 时 a ? 2 ? 0 ,这时 f ( x) ? a ? 2 的解集为 ? , 满足 B ? A , 所以 ? 2 ? a ? 2 ……………7 分 2 ②当 a ? ? 2或a ? 2 时 a ? 2 ? 0 , B ? ? 2 2 2 这时 f ( x) ? a 2 ? 2 即 x ? a ? a ? 2 可化为 2 ? a ? a ? x ? a ? a ? 2 2 2 所以 B ? x | 2 ? a ? a ? x ? a ? a ? 2 ……………8 分 因为 B ? A
所以 g ( x) ? g ( ) ? ?2 ? 0

?

?

2 2 ? ?a ? a ? 2 ? 4 ? ?a ? a ? 6 ? 0 ??a ? 2??a ? 3? ? 0 所以 ? 即? 2 即? 2 ? ?2 ? a ? a ? 0 ? ?a ? a ? 2 ? 0 ??a ? 2??a ? 1? ? 0

所以 ? 1 ? a ? 2 又因为 a ? ? 2或a ?

……………9 分

2

所以 2 ? a ? 2 ……………10 分

综合①②得实数 a 的取值范围为 (? 2 ,2]

15


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