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【2013嘉兴二模】浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试数学理试题 Word版含答案)


嘉兴市 2013 年高三教学测试(二)
理科数学
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的规 定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容,并正确涂黑相关标记; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满 分 150 分,考试时间 120 分钟.

试题卷

参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B )

高. 棱锥的体积公式
V ? 1 3 Sh



如果事件 A,B 相互独立,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B )



. 高.

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是
p

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的

,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好

棱台的体积公式
V ? 1 3 h( S 1 ? S1S2 ? S2 )

发生 k 次的概率
Pn (k ) ? C
k n

p

k

(1 ? p )

n?k

( k ? 0 ,1 , 2 , ? , n )





球的表面积公式
S ? 4? R
2

其中 S 1 , S 2 分别表示棱台的上、 下底面积, h 表示棱台的高.



其中 R 表示球的半径. 球的体积公式
V ? 4 3

?R

3



其中 R 表示球的半径.

棱柱的体积公式
V ? Sh



其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A A.1 2.在复平面内,复数 A.第一象限 C.第三象限 3.若 0
? a ? 1
? {1 , 2 , 3 } , B ? {1 , 3 ,9 }

,x?

A

,且 x ?

B

,则 x

?

B.2
1? 3i 1? i

C.3 对应的点位于 B.第二象限 D.第四象限

D.9

, log a ( 1 ?

x ) ? log

a

x

,则 C. 0
? x ? 1 2

A. 0 4.函数 y

? x ? 1

B. x
2

?

1 2

D.

1 2

? x ? 1

? cos 2 x ? sin

x

,x?
1 2 ,1 ]

R

的值域是 C. [ ? 1 , 2 ] D. [ 0 , 2 ]

A. [ 0 ,1 ] 5.在 ( 1 ?
2 x )( 1 ? x )
5

B. [

的展开式中, x 3 的系数是 B. ?
20

A.20

C.10

D. ? 10

6.某几何体的三视图如图所示,其中 三角形的三边长与圆的直径均为 2, 则该几何体的体积为 A. C.
4? 3 32 ? 3 3 π 3 π

B. D.

32 ? 8 3 4 ? 3 3 3

3

π

正视图

侧视图

π

俯视图

(第 6 题)

7.在平面直角坐标系中,不等式 | A. 4
2

y ? 2 |? x ? 2

表示的平面区域的面积是
2

B.4

C. 2

D.2

8.若 a , b 表示直线, ? 表示平面,且 b A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

? ?

,则“ a //

b

”是“ a // ? ”的

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9. m 是平面 ? 内的一条定直线,P 是平面 ? 外的一个定点, 设 动直线 n 经过点 P 且与 m 成
30 ?

角,则直线 n 与平面 ? 的交点 Q 的轨迹是 B.椭圆
? 2

A.圆

C.双曲线 .

D.抛物线

10.设 { a n } 是有穷数列,且项数 n

定义一个变换 ? :将数列 a 1 , a 2 , ? , a n ,变成 a 3 , a 4 , ? , a n ? 1 ,其中 a n ? 1 变换所产生的一项. 从数列 1 ,
2, 3, ? , 2
2013

? a1 ? a 2



开始, 反复实施变换 ? , 直到只剩下一项而不能变换为止. 则

变换所产生的所有项的乘积为 ............ A. ( 2 2013
!)
2013

B. ( 2 2013

!)

2012

C. ( 2013

!)

2012

D. ( 2 2013

! )!

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设数列 { a n } 满足 a 1
? 1
开始

,an?1

? 3an

,则 a 5

?

▲ .



i ? 1

12.若某程序框图如图所示,则运行结果为



s ? 0

13.将函数 y ? sin x 的图象先向左平移 1 个单位,
s ? s? 1 i

再横坐标伸长为原来的 2 倍,则所得图象对应 的函数解析式为 ▲ .
B
s ? 9 4

i ? i?1



?

14.从点 A 到点 B 的路径如图所示,则 不同的最短路径共有 ▲ 条.
A
输出



i

(第 14 题)
结束

15.设△ ABC 的三边长分别为 a , b , c ,重心为 G , 则 | GA
|
2

? | GB |

2

? | GC | ?

2



(第 12 题)



16.设 a , b , c ? R ,有下列命题: ①若 a ②若
? 0 ,则 f ( x ) ? ax ? b

在 R 上是单调函数;
? 0;

f ( x ) ? ax ? b
? 4 ac ? 0

在 R 上是单调函数,则 a
a
3

③若 b 2 ④若 a 3

,则

? ab ? c ? 0



? ab ? c ? 0

,则 b 2

? 4 ac ? 0



其中,真命题的序号是





17.已知点 A ( ? 3 , 0 ) 和圆 O : x 2
P (异于 A , B

? y

2

? 9

, AB 是圆 O 的直径, M 和 N 是 AB 的三等分点,
? AB

) 是圆 O 上的动点,PD
?

于 D ,PE

? ? ED ( ? ? 0 )

, 直线 PA 与 BE

交于 C ,则当 ?



时, | CM

| ? | CN | 为定值.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求
a ? b c a ? c b ? sin A ? sin B sin A ? sin C



的取值范围.

19. (本题满分 14 分) 一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球中白球的个数,已知 P ( X
? 3) ? 5 21



(Ⅰ)求袋中白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及其数学期望.

20. (本题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中,? C
PF // AC ? 90 ?

, AC

? BC ? a

,点 P 在 AB 上,PE
?

// BC

交 AC 于 E ,

交 BC 于 F . PE 将△ APE 翻折成△ A' PE , 沿 使平面 A' PE
?

平面 ABC ; PF 沿

将△ BPF 翻折成△ B ' PF ,使平面 B ' PF (Ⅰ)求证: B ' C (Ⅱ)设
AP PB ? ?

平面 ABC .

//

平面 A' PE .
? A ' B '? P

,当 ? 为何值时,二面角 C
E A

的大小为 60 ? ?

C

A'

B' F P F B B P
C

E

A

(第 20 题)

21. (本题满分 15 分) 如图, 已知抛物线 C 1 上的动点. (Ⅰ)求抛物线 C 1 的方程及其准线方程; (Ⅱ)过点 P 作抛物线 C 2 的两条切线, M 、 N 分别为两个切点,设点 P 到直线 MN 的距离为 d ,求 d 的最小值.
C
1

: x

2

? 2 py

的焦点在抛物线 C 2

: y ?

1 2

x

2

?1

上, P 是抛物线 C 1 点

C

2

y

M

N P
O
x

(第 21 题)

22. (本题满分 14 分) 若 数
f (x)
f ( x 0 ) 是函数 f ( x )

在点 x 0 附近的某个局部范围内的最大(小)值,则称
f ( x ) ? ln x ? a ( x ? 1 ) .

f (x0 )

是函

的一个极值, x 0 为极值点.已知 a ? R ,函数
? 1 e ? 1

(Ⅰ)若 a

,求函数 y
ax e
2 2

? | f ( x ) | 的极值点;
( 1 ? 2 a ? ea ) x e

(Ⅱ)若不等式

f (x) ? ?

?

恒成立,求 a 的取值范围.

( e 为自然对数的底数)

2013 年高三教学测试(二)
理科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.A; 2.B; 7.B; 3.C; 8.D; 4.A; 9.C; 5.D; 10.A.

第 9 题提示: 动直线 n 的轨迹是以点 P 为顶点、 以平行于 m 的直线为轴的两个圆锥面, 而点 Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面 ? 的交线. 第 10 题提示:数列 1 ,
2, 3, ? , 2
2013

共有 2 2013 项,它们的乘积为 2 2013 ! .经过 2 2012 次变

换,产生了有 2 2012 项的一个新数列,它们的乘积也为 2 2013 ! .对新数列进行同样的变换, 直至最后只剩下一个数,它也是 2 2013 ! ,变换终止.在变换过程中产生的所有的项,可分为 2013 组,每组的项数依次为 2 2012
,2
2011

,? ,2 ,2

1

0

,乘积均为 2 2013 ! ,故答案为 ( 2 2013

!)

2013



二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.81; 12.5; 13. y ? sin(
1 2 x ? 1) ;

14.22;

15.

a

2

? b

2

? c

2



16.①③;
1 1? ? y0 )

17. , PA
: y ? y0 x0 ? 3

1 8

. ?①

3

第 17 题提示:设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 E ( x 0 ,
1 BE : y ? 1? ? y0 ( x ? 3)

( x ? 3)

x0 ? 3

?②
x
2

由①②得 y 2
y
2

?

y0

2 2

( ? ? 1 )( x 0 ? 9 )

(x

2

? 9)

, .

2 2 将 y 0 ? 9 ? x 0 代入,得

?

? 1

9

9 1? ?

.由 9

?

9 1? ?

? 1

,得到 ?

?

1 8

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18、19、22 题各 14 分,20、21 题各 15 分,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求 解: (Ⅰ)
a ? b c a ? c b ?
a

a ? c b

?

sin A ? sin B sin A ? sin C



的取值范围.
?
1 2 ? 2 3

sin A ? sin B sin A ? sin C
2

a ? b a ? c

,化简得 a ? b ? ab ? c ,
2 2 2

?4 分 ?7 分

所以 cos (Ⅱ)

C ?

? b

2

? c

2

?

,C

?

?
3


2? 3 ? A )] ? 2 s i n A ? (

2 ab

a ? b c

?

s i nA ? s i n B si n C

[sin A ? sin(

?
6

)



?11 分

因为 A ? ( 0 ,
a ? b c

2? 3

)

,A

?

?
6

?(

?
6

,

5? 6

)

,所以 sin(

A?

?
6

)? (

1 2

,1 ] .

故,

的取值范围是 ( 1 , 2 ] .

?14 分

19. (本题满分 14 分) 一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球中白球的个数,已知 P ( X
? 3) ? 5 21



(Ⅰ)求袋中白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及其数学期望. 解: (Ⅰ)设袋中有白球 n 个,则 P ( X
n ( n ? 1 )( n ? 2 ) 9?8?7 5 21
? 3) ? Cn C9
3 3

?

5 21



?4 分



?

,解得 n

? 6



?7 分 ?11 分

(Ⅱ)随机变量 X 的分布列如下:

X

0
1

1
3 14 1 84 ? 1? 3 14 ? 2? 15 28 ? 3?

2
15 28 5 21 ? 2

3
5 21

P
84 E(X ) ? 0?



?14 分

20. (本题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中,? C
PF // AC
? 90 ?

, AC

? BC ? a

,点 P 在 AB 上,PE
?

// BC

交 AC 于 E ,

交 BC 于 F . PE 将△ APE 翻折成△ A' PE , 沿 使平面 A' PE
?

平面 ABC ; PF 沿

将△ BPF 翻折成△ B ' PF ,使平面 B ' PF (Ⅰ)求证: B ' C (Ⅱ)设
AP PB ? ?

平面 ABC .

//

平面 A' PE .
? A ' B '? P

,当 ? 为何值时,二面角 C
E A

的大小为 60 ? ?

C

A'

B' F P F B B P
C

E

A

(第 20 题)

解: (Ⅰ)因为 FC 因为平面 A' PE 同理, B ' F
?

// PE

, FC

?

平面 A' PE ,所以 FC
? PE

//

平面 A' PE .
?
//

?2 分

?

平面 ABC ,且 A ' E

,所以 A' E ,从而 B ' F

平面 ABC . ?4 分 ?6 分

平面 ABC ,所以 B ' F
//

// A ' E //

平面 A' PE .

所以平面 B ' CF

平面 A' PE ,从而 B ' C

平面 A' PE .

(Ⅱ) C 为原点, 所在直线为 x 轴, 所在直线为 y 轴, C 且垂直于平面 ABC 以 过 CB CA 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图. 则 C ( 0 ,0 ,0 ) , A ' ( 0 ,
B'( a

?7 分
z

? ?1 ? ?1

,

?a

)


a ,0 )

A'

?a ? ?1

,0 ,
a

a

? ?1
,

),P(

?a

? ?1 ? ?1

,


B'
C

CA ' ? ( 0 ,

?a

? ?1 ? ?1

)


, (1 ? ? ) a

E

A y

A' B ' ? (

?a ? ?1

,?

a

? ?1

? ?1

)


B
x

F P

(第 20 题)

B ' P ? (0,

a

? ?1

,?

a

? ?1

)


? ( 1

平面 CA ' B ' 的一个法向量 m 平面 PA ' B ' 的一个法向量 n
|m ?n | | m || n | | ? 1 1 ? ? ?1|

?

, ? ,? 1 ) ,

?9 分 ?11 分

? ( 1 ,1 ,1 )





?

? cos 60 ? ?
2

1 2



?13 分

?

2

? ?

? 1 ?

3

化简得

1

?

2

? ? ?
2

8

?

? 8? ? 9 ? 0

,解得 ?

?

7? 3 2

5



?15 分

21. (本题满分 15 分) 如图, 已知抛物线 C 1 上的动点. (Ⅰ)求抛物线 C 1 的方程及其准线方程; (Ⅱ)过点 P 作抛物线 C 2 的两条切线, M 、 N 分别为两个切点, 设点 P 到直线 MN 的距离为 d , 求
d
N P
O
x

: x

2

? 2 py

的焦点在抛物线 C 2

: y ?

1 2

x

2

?1

上, P 是抛物线 C 1 点

C C

2

y

1

M

的最小值.

(第 21 题)

解: (Ⅰ) C 1 的焦点为 F ( 0 ,

p 2

)



?2 分 所以
p 2 ? 0 ? 1



p ? 2



?4 分 ?6 分 ,

故 C 1 的方程为 x

2

? 4 y ,其准线方程为 y ? ? 1 .
1 2 x1 ? 1) , N ( x 2 ,
2

(Ⅱ)设 P ( 2 t , t 2 ) , M 则 PM 的方程: y ? ( 所以 t 2
? 2 tx 1 ? 1 2
2

( x1 ,
2

1 2

x 2 ? 1)

2

1 2

x1 ? 1) ? x1 ( x ? x1 )


2

x1 ? 1

,即 x 12
1 2 x2 ? 1
1
2

? 4 tx 1 ? 2 t

? 2 ? 0

. . ?8 分

同理, PN : y

? x2 x ?

, x 22
2

? 4 tx

2

? 2t

2

? 2 ? 0

MN

的方程: y

? (

1 2

2 x1

? 1) ?

2

x1 ? 1 ? (

1 2

x 2 ? 1) ( x ? x1 )

2

x1 ? x 2



即y

? (

1 2

x1 ? 1) ?

2

1 2

( x 1 ? x 2 )( x ? x 1 )

.ks5u
1 2

由?
? ?

2 ? 2 ? x 1 ? 4 tx 1 ? 2 t ? 2 ? 0 2 x2

? 4 tx

2

? 2t

2

? 2 ? 0

,得 x 1

? x2 ? 4t



x 1 ? 2 tx 1 ? 1 ? t

2

2



?10 分

所以直线 MN 的方程为 y
| 4t
2

? 2 tx ? 2 ? t

2



?12 分

于是 d

?

? t

2

? 2? t
2

2

|

? 2

(1 ? t ) 1 ? 4t
2

2

2



1 ? 4t

令s

? 1 ? 4t ( s ? 1)

2

,则 d

?

1 2

s?

9 s

? 6 ?

1 2

6? 6 ?

3

(当 s

? 3

时取等号) .

所以, d 的最小值为 22. (本题满分 14 分) 若 数
f (x)
f ( x 0 ) 是函数 f ( x )

3



?15 分

在点 x 0 附近的某个局部范围内的最大(小)值,则称
f ( x ) ? ln x ? a ( x ? 1 ) .

f (x0 )

是函

的一个极值, x 0 为极值点.已知 a ? R ,函数
? 1 e ? 1

(Ⅰ)若 a

,求函数 y
ax e
2 2

? | f ( x ) | 的极值点;
( 1 ? 2 a ? ea ) x e

(Ⅱ)若不等式

f (x) ? ?

?

恒成立,求 a 的取值范围.

( e 为自然对数的底数) 解: (Ⅰ)若 a 当 x ? (0, e 当 x ? (e 又因为
? 1 e ?1

,则

f ( x ) ? ln x ?

x ?1 e?1



f '( x ) ?

1 x

?

1 e?1



? 1)

时,

f '( x ) ? 0



f (x)

单调递增; 单调递减. ?2 分

? 1 , ?? )

时,

f '( x ) ? 0



f (x)

f (1 ) ? 0



f (e ) ? 0

,所以
? 1 ) 时, f ( x ) ? 0

当 x ? ( 0 ,1 ) 时, 当 x ? (e 故y
? 1, e )

f (x) ? 0

;当 x ? ( 1 , e

; . ?4 分 ?6 分

时,

f (x) ? 0

;当 x ? ( e , ?? ) 时,

f (x) ? 0

?| f ( x ) |

的极小值点为 1 和 e ,极大值点为 e
f (x) ? ?
2 2

? 1.

(Ⅱ)不等式 整理为 ln 设 g( x) ?
x ?

ax e
2

2

?

( 1 ? 2 a ? ea ) x e ? a ? 0



ax e

?
2 2

(1 ? 2 a ) x e ?

.…(*)

ln x ?

ax e

(1 ? 2 a ) x e

? a



则 g'( x ) ?
2 ax
2

1 x

?

2 ax e
2

?

1 ? 2a e
2

(x

? 0



?

? ( 1 ? 2 a ) ex ? e e x
2

?

( x ? e )( 2 ax ? e ) e x
2



?8 分

①当 a

? 0

时, ,又 x
? 0

2 ax ? e ? 0

,所以,
0

当 x ? ( 0 , e ) 时, g ' ( x ) ?

, g ( x ) 递增;
0

当 x ? ( e , ?? ) 时, g ' ( x ) ? 从而 g ( x ) max 故, g ( x ) ? ②当 a
0
? g (e ) ? 0

, g ( x ) 递减.

. ?11 分

恒成立.

? 0 时,
( x ? e )( 2 ax ? e ) e x
2

g'( x ) ?

? ( x ? e )(

2a e
2

?

1 ex

)

. 时,
2a e
2



2a e
2

?

1 ex

?

a e
2

,解得 x 1
? 1

?

e a
?

,则当 x
e
2

? x1

?

1 ex

?

a e
2


a e
2

再令 ( x 取 x0

? e)

a e
2

,解得 x 2 ,则当 x

? e

,则当 x

a
? x0

? x2

时, ( x

? e)

? 1



? max( x 1 , x 2 )

时, g ' ( x ) ? 1 .
g( x0 ) ? x ? x0

所以,当 x ? ( x 0 , ? ? ) 时, g ( x ) ? 这与“ g ( x ) ? 综上所述, a
0

,即 g ( x ) ?

x ? x0 ? g( x0 )



恒成立”矛盾. . 命题人 郑俊炜(嘉兴) 、姜丽芳(嘉兴) ?14 分

? 0

吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华 2013 年 3 月


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