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广石化概率统计简明教程复习题


概率统计复习题
考试内容:
样本空间,随机事件,概率,古典概率,几何概率,条件概率, 全概率公式,贝叶斯公式,事件的独立性,二项概率,随机变量, 分布函数,密度函数,边缘分布,随机变量的独立性。

一、选择题
1.设 A , B 为随机事件,则下列各式中正确的是
A . P( AB) ? P( A) P( B)

>C . P( AB) ? P( A ? B)



C

).

B . P( A ? B) ? P( A) ? P( B) D . P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

2.若 AB ? ? ,则下列各式中错误的是
A . P( AB) ? 0
C . P( A ? B) ? P( A) ? P( B)



C ).

B . P( AB) ? 1 D . P( A ? B) ? P( A)

3.一个袋中有 a 个白球, b 个黑球,从中任取一个球,则取得黑球的 概率是
A.
C.
1 2 a a?b 1 a?b b D. a?b

(
B.

D

).

4.将 A 个小球随机放到 B( A ? B) 个盒子中去,不限定盒子的容量,则每 个盒子中至多有1个球的概率是
A.
C.
A! B!
A C B ? A! BA

(

C ).

B.

A! BA
A B
1

D.

5.设 A , B , C 是三个相互独立的事件,且 0 ? P(C ) ? 1 ,则下列给定的 四对事件中,不独立的是
A. A? B与C
C . AC 与 C

(
B . A? B与C
D . AB 与 C

C

).

6.10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券,现有三人每人购买1张,则恰有 一个中奖的概率为
A.
21 40

(
B.
7 40

A

).

C . 0.3

3 D . C10 ? 0.72 ? 0.3

7.已知 P( A) ? p, P( B)? q且 AB ? ? ,则 A 与 B 恰有一个发生的概率为 (
A. p?q
C .1 ? p ? q

A

).

B . 1? p ? q D . p ? q ? 2 pq

8. 同时掷 3 枚均匀硬币,则恰有 2 枚正面朝上的概率为 (
A . 0.5
C . 0.125
1 4

D

).

B . 0.25
D . 0.375
1 , 则事件 A , 16

9.已知 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ,P( AB) ? 0 ,P( AC ) ? P( BC ) ?
B , C 全不发生的概率为
1 8 5 C. 8

(
3 8 7 D. 8

B

).

A.

B.

10、今有 100 枚伍分硬币,其中有一枚为“残币”中华人民共和国其 两面都印成了国徽.现从这 100 枚硬币中随机取出一枚后,将它连续 抛掷 10 次,结果全是“国徽”面朝上,则这枚硬币恰为那枚“残币”
2

的概率为
A.
C.
1 100
210 1 ? 210


B.
1 99
210 99 ? 210

D ).

D.

11.设 A , B 为随机事件, P( AB) ? 0 ,则
A . AB ? ?
C . A 与 B 对立

(

B

).

B . AB 未必是不可能事件
D . P( A) ? 0 或 P( B) ? 0

12.设随机变量 X 服从参数为 ? 的泊松分布,且 P( X ? 1) ? P( X ? 2) ,则
P( X ? 2) 的值为

(
B . 1 ? 5e?2 D . 1 ? 2e?2

B ).

A . e2
C . 1 ? 4e?2

13.设 X ~ N (? , 4) ,则
A.
X ?? ~ N (0,1) 4

(
B . P( X ? 0) ? D.? ?0
1 2

C

).

C . P( X ? ? ? 2) ? 1 ? ?(1)

?3 x, 0 ? x ? 1 1 14.设 X 的密度函数为 f ( x) ? ? 2 ,则 P{ X ? } 为( ? 4 ?0, 其他 ?

A

).

A.

7 8
3 xdx ?? 2
1 4
1 1

B . ?1
1

??

4

3 xdx 2

C .1 ? ? 4

D.

2 3

解: P{ X ? } ? ? f ( x)dx ? ?
1 4 1 4

3 3 7 xdx ? x 2 |11 ? . 4 2 8

15.设 X ~ N (1, 4), ?(0.5) ? 0.6915, ?(1.5) ? 0.9332 ,则 P( X ? 2) 为(
A . 0.2417 B . 0.3753
C . 0.3830

B

).

D . 0.8664

3

解: P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 2) ? 1 ? P(?2 ? X ? 2)
? 1 ? P( ?2 ? 1 X ? 1 2 ? 1 ? ? ) 2 2 2

? 1 ? [?(0.5) ? ?(?1.5)] ? 1 ? ?(0.5) ? 1 ? ?(1.5) ? 0.3753 。

16.设随机变量 X 服从 (1, 6) 上的均匀分布,则方程 y 2 ? Xy ? 1 ? 0 有实根 的概率是
A . 0.7 B . 0.8
C . 0.6

(
D . 0.5

B ).

解:由于随机变量 X 服从 (1, 6) 上的均匀分布,所以 X 的概率密度函数
? 1 , x ? [1, 6] 为 f ( x) ? ? 5 .而方程 y 2 ? Xy ? 1 ? 0 有实根,当且仅当 ? ? X 2 ? 4 ? 0 ? 0, x ? [1, 6]
? X ? 2 或 X ? ?2 ,因此方程 y 2 ? Xy ? 1 ? 0 有实根的概率为
p ? P{ X ? 2} ? P{ X ? ?2} ? 6?2 ? 0.8 . 6 ?1

17.下列叙述中错误的是
A .联合分布决定边缘分布

(

D

).

B .边缘分布不能决定决定联合分布

C .两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同

D .边缘分布之积即为联合分布

解:联合分布可以唯一确定边缘分布 ,但边缘分布不能唯一确定联 合分布,但如果已知随机变量 X 与 Y 是相互独立的,则由 X 与 Y 的 边缘分布可以唯一确定 X 与 Y 的联合分布. 18.设随机变量 X , Y 的联合分布为: 则 a, b 应满足 ( B
A.a ?b ?1
X Y 1 2 1 1/6 1/3 2 1/9 a 3 1/18 b


B .a?b ?
1 3

4

C .a ?b ?

2 3

D.a ?

1 3 ,b ? ? 2 2

19.接上题,若 X , Y 相互独立,则
2 1 ,b ? 9 9 1 1 C . a ? ,b ? 3 3


1 2 B . a ? ,b ? 9 9 2 1 D . a ? ? ,b ? 3 3

A

).

A.a ?

解:由于 X , Y 相互独立,所以
1 1 1 2 ? ( ? a) ? a ? 9 3 9 9 1 1 1 1 P{ X ? 1, Y ? 3} ? P{ X ? 1}P{Y ? 3} ? ? ( ? b) ? b ? 18 3 18 9 P{ X ? 1, Y ? 2} ? P{ X ? 1}P{Y ? 2} ?

20.设二维随机变量 ( X , Y ) 在矩形 G ? {( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 1} 上服从均 匀分布.记 U ? ?
A .0
?0, X ? Y ?0, X ? 2Y ;V ? ? ,则 P{U ? V } ? ?1, X ? Y ?1, X ? 2Y

(

D

).

B.

1 4

C.

1 2

D.

3 4

21.若 X ~ N (?1 , ? 12 ), Y ~ N (? 2 , ? 22 ) ,且 X , Y 相互独立,则
A . X ? Y ~ N ( ?1 ? ? 2 , (? 1 ? ? 2 ) 2 )
2 C . X ? 2Y ~ N ( ?1 ? 2? 2 , ? 12 ? 4? 2 )

(

C

).

2 B . X ? Y ~ N ( ?1 ? ? 2 , ? 12 ? ? 2 ) 2 D . 2 X ? Y ~ N (2?1 ? ? 2 ,2? 12 ? ? 2 )

22.已知 X ~ N (?3,1) , Y ~ N (2,1) ,且 X , Y 相互独立,记 Z ? X ? 2Y ? 7,
则Z ~

(
B . N (0,12)
C . N (0,54)

A

).

A . N (0,5)

D . N (?1,2)

? 2 1 x ? xy, 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 23.设 ( X , Y ) ~ f ( x, y ) ? ? ,则 P( X ? Y ? 1) =( A ) 3 ? ?0, 其他 ?

65 72 解: P( X ? Y ? 1) ?

A.

B.
x ? y ?1

??

7 72 f ( x, y)dxdy

C.

1 72

D.

71 72

1 5 4 1 65 ? ? dx ? ( x ? xy )dy ? ? ( x3 ? x 2 ? x)dx ? 3 6 3 2 72 0 1? x 0
2

1

2

1

5

24.为使 f ( x, y ) ? ?
A 必为

? Ae ? ( 2 x ? 3 y ) , x, y ? 0 ?0, 其他

为二维随机向量 ( X , Y ) 的联合密度,则 ( ).

A .0

B .6

C .10

D .16

二、填空题
1、设 A, B, C 表示三个随机事件,试表示随机事件 A 发生而 B, C 都不发 生为 生 . ; 随 机 事 件 A, B, C 不 多 于 一 个 发

答案. ABC; ABC ? ABC ? ABC ? ABC 或 AB ? BC ? AC 2.设随机事件 A, B 及和事件 A ? B 的概率分别是 0.4,0.3 和 0.6,则
P( AB ) =

.

解:因为 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) , 又 P( AB ) ? P( AB) ? P( A) ,所以 P( AB ) ? P( A ? B) ? P( B) ? 0.6 ? 0.3 ? 0.3 . 3. 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%, 现从由 A 和 B 的 产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则 该次品属于 A 生产的概率是 .

解:设事件 A={抽取的产品为工厂 A 生产的},B={抽取的产品为工厂 B 生产的},C={抽取的是次品},则 P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A) =0.01,P(C|B)=0.02,故有贝叶斯公式知
P( A | C ) ? P( AC ) P( A) P(C | A) 0.6 ? 0.01 3 ? ? ? P(C ) P( A) P(C | A) ? P( B) P(C | B) 0.6 ? 0.01 ? 0.4 ? 0.02 7

4.随机变量 X 的分布函数 F (x) 是事件 率.

X ?x

的概

6

5.已知随机变量 X 只能取-1,0,1,2 四个数值,其相应的概率依 次是 ,
1 1 1 1 ,则 c ? , , 8 4c 8c 16c

3.设随机变量 X ~ N (? , ? 2 ) ,则 X 的分布密度 f (x) ? 若Y ?
X ??

.

?

,则 Y 的分布密度 f (y) ?
( x ? ? )2 2? 2
2

.
1 ? y2 e , ?? ? y ? ? 2?

? 1 f ( x) ? e 2??

, ?? ? x ? ? ; f ( y ) ?

4. 设 某 批 电 子 元 件 的 寿 命

X ~ N (? , ? 2 )

, 若 ? ? 160 , 欲 使 .

p(120 ? X ? 200 ) ? 0.80 ,允许最大的 ? =

解: 0.80 ? p(120 ? X ? 200) ? p(
? ?( 40

120 ? 160

?
40

?

X ? 160

?

?

200 ? 160

?

)

?

) ? ?( ?

40

?

) ? 2?(

40

?

) ? 1 ? ?(

?

) ? 0.9 ? ?(1.28) ? ? ? 31.25 。
? ?1 1 ? ? ? 0.5 0.5 ? ? ? ?

5. 若 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 为 . ? ? ? 0.5 0.5 ?
? ?1 3 ?

, 则 Y ? 2X ? 1 的 分 布 列

6.设随机变量 X 服从 (0,2) 上的均匀分布,则随机变量 Y ? X 2 在 (0,4) 内 的概率密度为 fY ( y ) = 解: FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{ X ? y } ? ?0 故 fY ( y ) ? FY? ( y ) ? 7 . 设
??
y

.
1 1 dx ? y , (0 ? y ? 4) 2 2

1 4 y

(0 ? y ? 4) .

2 2 ( X , Y ) ~ N ( ?1 , ? 2 , ? 1 , ? 2 , ? )

, 则

X ,Y

相 互 独 立 当 且 仅 当

.0

8.设相互独立的随机变量 X , Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为 P(X=0)=1/2,P(X=1)=1/2,则随机变量 Z=max{X,Y}的分布律 为 解:
7

.

P (Z=0) (X=0, =P Y=0) (X=0)(Y=0) =P P =1/4; P(Z=1)=1-P(Z=0)=3/4. 3.设 X 和 Y 是两个随机变量, P( X ? 0, Y ? 0) ? ,P( X ? 0) ? (Y ? 0) ? , 且 则 P(max( X , Y ) ? 0) ? .
3 7 4 7

解:P{max(X,Y) ? 0}=P{X ? 0 或 Y ? 0}= P{X ? 0}+P{Y ? 0}- P{X ? 0, Y ? 0}=8/7-3/7=5/7. 3.已知随机变量 X 的分布律为:
X

0

1

2

3 1/12

4 1/4 .

p 则 E( X ) =

1/3 1/6 1/6 , D( X ) =

, E (?2 X ? 1) =

E (X ) =0+1/6+1/3+1/4+1=7/4;

E ( X 2 ) =0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12;
D(X ) = E ( X 2 ) - [ E ( X )]2 =67/12-49/16=121/48;
E (?2 X ? 1) =-2 E (X ) +E(1)=-7/2+1=-5/2.

8

三、计算题
教材 P5,2,3,4,5,6; P15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11; P27,1 ~ 20; P46,1 ~ 24; P64,1 ~ 13; P75,1 ~ 11.

1.设 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p), 若P{ X ? 1} ? , 求 P(Y ? 1) 。 解:由于 X ~ B(2, p) ,故
0 P{ X ? 1} ? 1 ? P{ X ? 1} ? 1 ? P{ X ? 0} ? 1 ? C2 p 0 (1 ? p) 2 ? 1 ? (1 ? p) 2 ? 2 p ? p 2 ,

5 9

而 P{ X ? 1} ? ,故 2 p ? p 2 ? ? p ? 或p ? (舍) ; 由于 Y ~ B(3, p) ,故
1 2 19 0 1 . P{Y ? 1} ? 1 ? P{Y ? 1} ? 1 ? P{Y ? 0} ? 1 ? C3 ( )0 (1 ? )3 ? 1 ? ( )3 ? 3 3 3 27

5 9

5 9

1 3

5 3

? ? ?C sin( x ? y ), 0 ? x, y ? , 2.已知 ( X , Y ) ~ f ( x, y ) ? ? 4 ?0, 其他 ?

求 C 的值.

解:由联合概率密度函数的规范性知
?
? ?

?
4

?
4

1?

?? ??

??

f ( x, y )dxdy ? C ? dx ? sin( x ? y )dy ?C ? [cos x ? cos( x ? )]dx 4 0 0 0

4

?

? C[sin x ? sin( x ? )]? 4 ? C ( 2 ? 1) ? C ? 2 ? 1. 0 4

?

9

四、证明题
1.对任意的随机事件 A, B, C ,证明: P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P( A) 。 2.课本 P75,第七题。 3.试证:泊松分布具有可加性。

10


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