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汕头市金山中学2016届高三上学期期中考试(文数)


汕头市金山中学 2016 届高三上学期期中考试 数学(文科)
第 I 卷(选择题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A={x|x2-4x+3<0},B={x|y=ln(x-2)},则(? RB)∩A=( A.{x|-2≤x<1} B.{x|-

2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} )

2.已知 i 是虚数单位,则复数 A.1 B.2

1 ? 3i 的模为 1? i
C. 5 D.5

3.下列函数中,在定义域上既是减函数又是奇函数的是 A. y ? lg x B. y ? ? ?

?1? ? 2?

x

C.

y? x| x|

D. y ? ? x 3

4. 一元二次方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有实数解的一个必要不充分条件为 A. m ? 1 B .m ?1 C. m ? 1 D. m ? 2 A N P B C

5. 如右下图,在 ? ABC 中, AN ?

1 NC ,P 是 BN 上的一点,若 2

2 AP ? m AB ? AC ,则实数 m 的值为 9

A.3

B. 1

C.

1 3

D.

1 9

6. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A, ?, ? 为常数,

A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则 f (0) =
A. 2 B.

2 2

C. 0

D. ?

2

7.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? ?9, a2 ? a3 ? ?12 ,则使 S n 取得最小值时 n 的 y C(3,4) 值为 A(2,3) A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 B(3,2.5)
1

O

x

8. 巳知点 ( x, y ) 在 Δ ABC 所包围的阴影区域内( 包含边界),
若 B(3,

5 )是使得 z ? ax ? y 取得最大值的最优解, 则 2 1 2 1 2 1 ?a?0 2

实数 a 的取值范围为 A. a ? ? B. a ? 0 C. a ? ? D. ?

9. 定义 min?a1 , a2 ,? ? ?, an ?是 a1 , a2 ,? ? ?, an 中的最小值,执行程序框图(如下图) ,则输出的 结果是


A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

2 3



a1 ? 1, n ? 2


n
n=n +1

是偶

数?是

an ? a n ? 1
2

an ?

1 an ? 1

2 3
4



n>7?


2 3
T ? min{ a1 , a2 ,?, an }

2 3
主视 图 输出 T 俯视 图 (第 10 题图) (第 9 题图)

结束

10.已知正三棱锥 P -ABC 的主视图和俯视图如上图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为
A. 4? B. 12? C.

16? 3

D.

64? 3

11.设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线右支上,且 a2 b2

PF2 ? F1 F2 , F2 到直线 PF 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为

2

A.

5 4

B.

5 3

C.

4 3

D.

1? 7 3

12. [x]表示不超过 x 的最大整数, [-4.1] =-5, 例如[2.9]=2, 已知 f(x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),

则函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第 II 卷(非选择题共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22 题?第:24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 等 比 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 对 任 意 的 n ? N , 点 (n ,Sn ) 均 在 函 数
?

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上,则 r 的值是
14. 已知点 P( x, y) 在直线 x ? 2 y ? 3 上移动,当 2 x ? 4 y 取 得 最 小 值 时 ,过 点 P 引 圆 (x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 4

1 的切线,则此切线段的长度为_______ 2

15、天气预报说,在今后的三天中每一天下雨的概率均为 40%,用随机模拟的方法进行 试验,由 1、2、3、4表示下雨,由 5、6、7、8、9、0表示不下雨,利用计算器中的随机函数 产生 0?9 之间随机整数的 20 组如下: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为________
x 16. 已知函数 f ( x) ? e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 ,使得

f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

3

sin C 的值; sin A 1 (Ⅱ)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S . 4
(Ⅰ)求

18. (本小题满分 12 分) 四棱锥 A-BCDE 的正视图和俯视图如下,其中正视图 是等边三角形,俯视图是直角梯形. (I) 若 F 为 AC 的中点,当点 M 在棱 AD 上移动, 是否总有 BF 丄 CM,请说明理由. (II)求三棱锥 C ? ADE 的高.

A
19. (本小题满分 12 分) 有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙, 已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且通 过这两条公路所用的时间互不影响.

F E B C

M D

据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间的频数分布如下 表: 所用的时间(天数) 通过公路 1 的频数 通过公路 2 的频数 10 20 10 11 40 40 12 20 40 13 20 10

(I)为进行某项研究,从所用时间为 12 天的 60 辆汽车中随机抽取 6 辆. (i) 若用分层抽样的方法抽取,求从通过公路 1 和公路 2 的汽车中各抽取几辆; (ii)若从 (i)的条件下抽取的 6 辆汽车中,再任意抽取两辆汽车,求这两辆汽车至少有一辆通 过公路 1 的概率. (II)假设汽车 A 只能在约定日期(某月某日) 的前 11 天出发,汽车 B 只能在约定日期的前 12 天出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车 A 和汽车 B 应如何选择各自的道路.

4

20. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F (1,0) ,O 为坐标原点。 a2 b2

y
l A O B F

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形, 求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点。若直线 l 绕点 F 任意转动,恒有 | OA |2 ? | OB |2 ?| AB |2 ,求 a 的取值范围。

x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2e x ( e 为自然对数的底数). 1 ? ax2

(I )若函数 f ( x) 有极值,求实数 a 的取值范围;

(II)若 a ? 1, m ? 4 ( ln 2 ? 1) ,求证:当 x ? 0 时, f ( x) ?

2x 2 ? m x ? 2 1? x2

请考生在第 22-24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 已知 Δ ABC 中 AB ? AC , D 为 Δ ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A, C 重合),延长

BD 至 E ,延长 AD 交 BC 的延长线于 F .
(I )求证: ?CDF ? ?EDF ;
( I I )求证: AB ?

AC ? DF ? AD ? FC ? FB

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,取原点为极点, x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ,

5

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 ( t 为参数) 直线 C 2 的参数方程为: ? ?y ? 3 ? 2 t ? 2 ?
(I )求曲线 C1 的直角坐标方程,曲线 C 2 的普通方程. (II)先将曲线 C1 上所有的点向左平移 1 个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 3 倍得到曲线 C3 , P 为曲线 C3 上一动点,求点 P 到直线 C 2 距离的最小值, 并求出相应的 P 点的坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 解不等式:

1 1 ? x ?x x
2

6

数学(文科)参考答案
一、选择题: CCDDC ACACD 二、填空题: 13.-1 14. BB

6 2

15.0.25 16. ?

?2 ? , 1? ? 2e ?

三、解答题 17. (本小题满分 12 分)

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2 sin C ? sin A ? ? , 则 b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2 sin C ? sin A ? 所以 . cos B sin B
解:(Ⅰ)由正弦定理,设 即 (cos A ? 2 cosC ) sin B ? (2 sin C ? sin A) cos B, 化简可得 sin( A ? B) ? 2 sin(B ? C ). 又 A? B ?C ? ?, 所以 sin C ? 2 sin A

------2 分 ------3 分

------5 分

sin C ? 2. sin A sin C ? 2 得 c ? 2a. (Ⅱ)由 sin A
因此 由余弦定理

------6 分 ------7 分

1 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 及 cos B ? , b ? 2, 4 1 2 2 得 4=a2 ? 4a ? 4a ? ? 4
解得 a=1 因此 c=2 ------9 分 ------10 分

1 ,且G ? B ? ?. 4 15 . 所以 sin B ? 4
又因为 cos B ? 因此 S ?

------11 分 ------12 分

1 1 15 15 ac sin B ? ?1? 2 ? ? . 4 4 2 2

18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)总有 BF ? CM 理由如下:
7

取 BC 的中点 O ,连接 AO, 由俯视图可知, AO ? 面 BCDE , CD ? 面 BCDE, 所以 AO ? CD 又 CD ? BC ,所以 CD ? 面 ABC, 故 CD ? BF . 因为 F 是 AC 的中点,所以 BF ? AC . 又 AC ? CD ? D 故 BF ? 面 ACD, ------2 分

------4 分

CM ? 面 ACD ,所以 BF ? CM .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, AO ? 面 BCDE , S ?CDE ? 又在正 ?ABC 中, AO ? 3, 所以 V?A?CDE ?

------6 分

1 ? CD ? BC ? 2, 2

1 1 2 3 s?CDE ? AO ? ? 2 ? 3 ? , 3 3 3

------8 分

在 Rt ?ABE 中, AE ? 5, 在直角梯形 BCDE 中, DE ? 5, 在 Rt ?ACD 中, AD ? 2 2 , 在 ?ADE 中,可求 S ?ADE

1 1 ?1 ? ? ? AD ? DE 2 ? ? AD ? ? ? 2 2 ? 3 ? 6 , ------10 分 2 2 ?2 ?

2

设三棱锥 C ? ADE 的高为 h,

则 V?C ? ADE ?

1 6 ? 6 ?h ? h, 3 3

又 V?A?CDE ? V?C ? ADE , 可得

6 2 3 h? 3 3 ,解得 h ? 2.
------12 分

所以,三棱锥 C ? ADE 的高为 2.

19.解:(Ⅰ)(ⅰ)公路 1 抽取 6 ? 公路 2 抽取 6 ?

20 ? 2 辆汽车, 20 ? 40
------2 分

40 ? 4 辆汽车. 20 ? 40
8

(ⅱ)通过公路 1 的两辆汽车分别用 A1 , A2 表示,通过公路 2 的 4 辆汽车分别用 B1 , B2 , B3 , B4 表示, 任意抽取 2 辆汽车共有 15 种可能的结果:

( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B4 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B4 ) , ( A2 , B3 ) , ( A1, B3 ) ,

( B1 , B2 ) , ( B1, B3 ) , ( B4 , B1 ) , ( B2 , B3 ) , ( B2 , B4 ) , ( B3 , B4 ) ,
其中至少有 l 辆经过公路 1 的有 9 种, 所以至少有 1 辆经过 1 号公路的概率 (Ⅱ)频率分布表,如下: 所用时间 公路1的频率 公路2的频率 10 0.2 0.1 ll 0.4 0.4 12 0.2 0.4 13 0.2 0.1

------4 分

3 . 5

------6 分

------8分 设 C1 , C2 分别表示汽车 A 在前 11 天出发选择公路 1、2 将货物运往城市乙; D1 , D2 分别表 示汽车 B 在前 12 天出发选择公路 l、2 将货物运往城市乙。

P(C1 ) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.6 , P(C2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.5 .
∴ 汽车 A 应选择公路 1. ------10 分

P( D1 ) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.8 , P( D2 ) ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.9 ,
∴ 汽车 B 应选择公路 2. 20.解;(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点,因为△MNF 为正三角形, 所以 | OF |? 解得 b ? ------12 分

3 3 2b | MN | ,即1 ? ? 2 2 3

3 , a 2 ? b2 ? 1 ? 4
x2 y2 ? ?1 4 3
------4 分

因此,椭圆方程为 (Ⅱ)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1),
因此,恒有 OA ? OB ? AB . (ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时, 设直线 AB 的方程为; x ? m y ? 1 ,代入
2 2 2

2

2

2

------5 分

x2 y2 ? ?1 a 2 b2
9

整理得 (a 2 ? b2 m2 ) y 2 ? 2b2 my ? b2 ? a 2b2 ? 0, 所以 y1 ? y 2 ?
2

2b 2 m a 2 ? b2m2
2

, y1 y 2 ?
2

b 2 ? a 2b 2 a 2 ?b 2 m2

------7 分

因为恒有 OA ? OB ? AB ,所以∠AOB 恒为钝角。 即 OA? OB ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立

x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y 1 y 2 ? (m 2 ? 1) y 1 y 2 ? m( y 1 ? y 2 ) ? 1
?
?
2 2 2

(m 2 ? 1)(b 2 ? a 2 b 2 ) a 2 ? b2m2

?

2b 2 m 2 ?1 a 2 ?b 2 m2

? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? 0. a2 ?b2m2
2 2 2 2 2 2 2

又 a ? b m ? 0 ,所以 ? m a b ? b ? a b ? a ? 0 对 m ? R 恒成立, 即 a b m ? a ? a b ? b 对 m ? R 恒成立。
2 2 2 2 2 2 2

------9 分
2 2 2

当 m ? R 时, a b m 最小值为 0,所以 a ? a b ? b ? 0.
2 2 2 2

a 2 ? a 2 b 2 ? b 2 , a 2 ? (a 2 ? 1)b 2 ? b 4 ,
2 因为 a ? 0, b ? 0, 所以 a ? b ,即 a ? a ? 1 ? 0,
2

------10 分

解得 a ?

1? 5 1? 5 1? 5 , 或a ? ,即 a ? 2 (舍去) 2 2

综合(ⅰ)(ⅱ),a 的取值范围为 (

1? 5 , ? ?) 2

------12 分

21.解;(Ⅰ)由 f ( x ) ?

2e x 2e x (1 ? ax2 ? 2ax) ? , 可得 f ( x ) ? , 1?ax 2 (1 ? ?x 2 ) 2

------2 分

依题意,需方程 1 ? ax ? 2ax ? 0 在 x ? R 上有两个不等实根,
2

则: ?

?a ? ? 0
2 ?? ? 4a ? 4a ? 0,

------4 分

解得: a ? 1, 或 a ? 0 (Ⅱ)若 a ? 1 , f ( x ) ?

------5 分

2e x 1? x 2

10

? f ( x) ?

2x 2 ? m x ? 2 1 ? x2

?

2e x ? 2 x 2 ? m x ? 2 1 ? x2

,

设 h( x) ? 2e x ? 2 x 2 ? mx ? 2,

h?( x) ? 2e x ? 4x ? m ? g ( x), g?( x) ? 2e x ? 4,
令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2. 当 x ? (??, ln 2) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? (ln 2,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; ------7 分

? g ( x)min ? g (ln 2) ? 4 ? 4 ln 2 ? m ,
? h?( x) ? 4 ? 4 ln 2 ? m ,
------9 分

? m ? 4(ln 2 ? 1) ,? h?( x) ? 4 ? 4 ln 2 ? m ? 0 , ? h( x) 在 (0,??) 上单调递增,? h(0) ? 0, ? h( x) ? 0, ?1 ? x 2 ? 0 ,?
------11 分

2e x ? 2 x 2 ? m x ? 2 ?0, 1? x2

2 x 2 ? m x ? 2 2e x ? 2 x 2 ? m x ? 2 ? f ( x) ? ? ? 0, 1 ? x2 1 ? x2
即 f ( x) ?

2x2 ? m x ? 2 1 ? x2

------12 分

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分) (Ⅰ)证明:∵A、B、C、D 四点共圆 ? ?CDF ? ?ABC . ------2 分

? AB ? AC ? ?ABC ? ?ACB 且 ?ADB ? ?ACB , ?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ABC , ? ?CDF ? ?EDF .

------4 分 ------5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?ADB ? ?ABF ,又? ?BAD ? ?FAB,

11

所以 ?BAD 与 ?FAB 相似,

?

AB AD ? ? AB 2 ? AD ? AF , AF AB

------7 分

又? AB ? AC,

? AB ? AC ? AD ? AF,
? AB ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF
根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB, ------9 分 ------10 分

AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB.
23. (本小题满分 10 分) (I) ? 2 ? 2? cos? , x 2 ? y 2 ? 2 x , 曲线 C1 的直角方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1. 曲线 C2 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0. (Ⅱ)曲线 C3 的方程为

------2 分 ------4 分 ------6 分

x2 ? y2 ? 1 , 3

设点 p( 3 cos? , sin ? ) ,点 P 到直线的距离为

d?

3 cos? ? sin ? ? 4 2

2 cos(? ? ? 2

?
6

)?4 ,
------8 分

由三角函数的性质知,当 ? ? 此时 ? ?

?
6

? ? 时, d 取得最小值 2,
------10 分

5? 3 1 , 所以 P 点坐标为 ( ? , ) ? 6 2 2

24. (本小题满分 10 分) 解:当 x ? x ? 0, 即 0<x<1 时,不等式成立;
2

------3 分 ------5 分 ------7 分

当 x ? x ? 0, 即 x ? 1 或 x<0 时, x ? x ? x .
2

2

? x ? x 2 ? x ? x 2 ? x,
解得 x ? 2 或 x ? 0, 所以 x ? 0 或 x ? 2. ∴原不等式的解集为 (??,0) ? (0,1) ? [2,??)

------8 分 ------10 分

12


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