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矩阵证明题


矩阵证明题
简单应用题能力:
1.试证:设 A,B,AB 均为 n 阶对称矩阵,则 AB =BA. 2.试证:设 A 是 n 阶矩阵,若 A = 0,则 ( I ? A) ?1 ? I ? A ? A2 .
3

3.已知矩阵 A ?

1 ( B ? I ) ,且 A 2 ? A ,试证 B 是可逆矩阵,并求

B ?1 . 2
2
T

4. 设 n 阶矩阵 A 满足 A ? I , AA ? I ,证明 A 是对称矩阵. 5. 设 A,B 均为 n 阶对称矩阵,则 AB+BA 也是对称矩阵. 6.设 Ak=0,其中 A 为方阵,k 为大于 1 的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1. 7.若 A 为非退化矩阵,并且 AB=BA,试证: A-1B=BA-1。 8.设 A? B 为 n 阶矩阵,且 A 为对称矩阵,证明 BTAB 也是对称矩阵? 9.设 A? B 都是 n 阶对称矩阵,证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB?BA? 10.n 阶方阵 A 满足 A2-3A-2E=0,其中 A 给定,证明 A 可逆. 11. A、 均为 n 阶方阵, A2=A,B2=B, 设 B 且 证明(A+B)2=A+B 的充分必要条件是 AB=BA=0. 12.若 A 为非退化矩阵,并且 AB=BA,试证: A-1B=BA-1。 13.设 A 是 n 阶方阵,且(A+E)2=0,证明 A 可逆. 14.设矩阵 A 可逆,证明(A*)-1=|A-1|A.

参考答案
1.试证:设 A,B,AB 均为 n 阶对称矩阵,则 AB =BA. 1.证 因为 AT = A,BT = B,(AB)T = AB ——得 3 分 T T T 所以 AB = (AB) = B A = BA ——得 5 分 2.试证:设 A 是 n 阶矩阵,若 A = 0,则 ( I ? A) ?1 ? I ? A ? A2 .
3

2.证 因为

(I ? A)(I ? A ? A2 )
2 2

——得 2 分
3 3 =I ? A = I

= I ? A? A ? A? A ? A 所以 ( I ? A) ?1 ? I ? A ? A2 3.已知矩阵 A ?

——得 5 分

1 ( B ? I ) ,且 A 2 ? A ,试证 B 是可逆矩阵,并求 B ?1 . 2 1 1 2 2 2 2 3. 证 因为 A ? ( B ? I ) ? ( B ? 2 B ? I ) ,且 A ? A ,即 4 4 1 2 1 ( B ? 2 B ? I ) ? ( B ? I ) , ——得 3 分 4 2
得 B ? I ,所以 B 是可逆矩阵,且 B
2

?1

? B . ——得 5 分

4. 设 n 阶矩阵 A 满足 A ? I , AA ? I ,证明 A 是对称矩阵.
2
T

4. 证 因为

A ? AI = AAA T ? IA T = AT

——得 4 分

所以 A 是对称矩阵. ——得 5 分 5.设 A,B 均为 n 阶对称矩阵,则 AB+BA 也是对称矩阵. 5.证 因为 AT ? A BT ? B ,且 ,

( AB ? BA) T ? ( AB) T ? ( BA) T
? B T AT ? AT B T ? BA ? AB ? AB ? BA
所以 AB+BA 是对称矩阵.

——得 2 分

——得 5 分

6.设 Ak=0,其中 A 为方阵,k 为大于 1 的某个正整数,证明(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1. 6.证:因为 Ak?O ? 所以 E?Ak?E? ——得 2 分 k 又因为 E?A ?(E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)? 即 (E?A)(E?A?A2?? ? ??Ak?1)?E? 所以 (E?A)可逆? 且 (E?A)?1?E?A?A2?? ? ??Ak?1 ——得 5 分 -1 -1 7.若 A 为非退化矩阵,并且 AB=BA,试证: A B=BA 。 7.证:因为 A 为非退化矩阵,并且 AB=BA, 所以两边右乘 A 得: ABA 再两边左乘 A 得: BA
?1
?1

?1

?1

? B,

——得 3 分 ——得 5 分

? A ?1 B

8.设 A? B 为 n 阶矩阵,且 A 为对称矩阵,证明 BTAB 也是对称矩阵? 8.证:因为 AT?A? 所以 (BTAB)T?BT(BTA)T?BTATB?BTAB? ——得 4 分 T 从而 B AB 是对称矩阵 ——得 5 分 9.设 A? B 都是 n 阶对称矩阵,证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB?BA? 9.证:充分性? 因为 AT?A? BT?B? 且 AB?BA? 所以 (AB)T?(BA)T?ATBT?AB? 即 AB 是对称矩阵? 必要性? 因为 AT?A? BT?B? 且(AB)T?AB? 所以

——得 3 分

AB?(AB)T?BTAT?BA? ——得 5 分 2 10.n 阶方阵 A 满足 A -3A-2E=0,其中 A 给定,证明 A 可逆 10.证:由 A2-3A-2E=0 可得:A(A-3E)=2E, 即A

——得 3 分

( A ? 3E ) ?E 2
?1

所以 A 可逆,且 A

?

( A ? 3E ) 2

——得 5 分

11. A、 均为 n 阶方阵, A2=A,B2=B, 设 B 且 证明(A+B)2=A+B 的充分必要条件是 AB=BA=0. 12.若 A 为非退化矩阵,并且 AB=BA,试证: A-1B=BA-1。 13.设 A 是 n 阶方阵,且(A+E)2=0,证明 A 可逆. 14.设矩阵 A 可逆,证明(A*)-1=|A-1|A.

.

综合应用题能力:
1.设 n 阶方阵 A ? E ? ?? T ,其中 ? ? 0 是 n 维列向量,证明: (1) A ? A 的充要条件为 ? T ? ? 1 ;
2

(2)当 ? T ? ? 1 时,矩阵 A 不可逆。

2.设 n 阶方阵 A 满足 A2 ? A ? 2E ? 0 ,证明: (1) 矩阵 A 可逆; 3.如果 A ? (2) 矩阵 A ? 2 E 与 A ? E 不同时可逆。

1 ( B ? E ) ,证明 A2=A 的充要条件是 B2=E。 2

4.设矩阵 A 可逆? 证明其伴随阵 A*也可逆? 且(A*)?1?(A?1)*? 5.设矩阵 A、B 及 A?B 都可逆? 证明 A?1?B?1 也可逆? 并求其逆阵? 6.若方阵 A 满足 A2 ? 2 A ? 4E ? O ,证明 A ? E 可逆,并求出 A ? E 的逆矩阵.

参考答案
1.设 n 阶方阵 A ? E ? ?? T ,其中 ? ? 0 是 n 维列向量,证明:
T (1) A ? A 的充要条件为 ? ? ? 1 ;

2

T (2)当 ? ? ? 1 时,矩阵 A 不可逆。

1.证: (1) A ? E ? ?? ? ?? ? ? (?
2 T T
2

T

? )? T ,

——得 2 分

T 故 A ? A 的充要条件为 ? ? ? 1 ;

——得 4 分

?1 2 ?1 (2) 由(1)得 A ? A ,若 A 可逆, A ( A ) ? A A ,
2

则 A ? E ,矛盾。

——得 8 分

2 2.设 n 阶方阵 A 满足 A ? A ? 2E ? 0 ,证明:

(1) 矩阵 A 可逆; 2.证: (1) A( A ? E ) ? 2E , A
2

(2) 矩阵 A ? 2 E 与 A ? E 不同时可逆。
?1

?

1 ( A ? E) ; 2

——得 4 分

(2) | A ? A ? 2E |?| A ? 2E || A ? E |? 0 ,| A ? 2 E | 与 | A ? E | 至少有一个为零。

——得 8 分 1 3.如果 A ? ( B ? E ) ,证明 A2=A 的充要条件是 B2=E。 2

2 3.证: (必要性)? A ? A, A ?

1 (B ? E) , 2

1 1 B 2 ? 2B ? E ? (B ? E) ? (B ? E) 2 ? ,化简即得:B2=E。 ——得 4 分 2 4 4
2 (充分性)? B ? E , A ?

1 (B ? E) 2

? A2 ?

1 B 2 ? 2B ? E 2B ? 2E (B ? E) 2 ? ? ?A 4 4 4

——得 8 分

4.设矩阵 A 可逆? 证明其伴随阵 A*也可逆? 且(A*)?1?(A?1)*? 4.证:由 A 可逆可知: | A |? 0, | A
?1

|?

1 ? 0, | A* |?| A | n?1 ? 0 ,即 A ?1 , A* 也可逆。 | A|

——得 4 分

? AA* ? A* A ?| A | E, A?1 ( A?1 )* ? ( A?1 )* A?1 ?| A?1 | E ? ( A* ) ?1 ? A / | A |, ( A?1 )* ?| A?1 | EA ? A / | A |
所以 ( A* ) ?1 ? ( A?1 )*

——得 8 分

5.设矩阵 A、B 及 A?B 都可逆? 证明 A?1?B?1 也可逆? 并求其逆阵? 5.证:因为 A?1(A?B)B?1?B?1?A?1?A?1?B?1? ——得 2 分 ?1 ?1 而 A (A?B)B 是三个可逆矩阵的乘积? 所以 A?1(A?B)B?1 可逆? 即 A?1?B?1 可逆? (A ?B ) ?[A (A?B)B ] ?B(A?B) A?
?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1

——得 6 分 ——得 8 分

2 6.若方阵 A 满足 A ? 2 A ? 4E ? O ,证明 A ? E 可逆,并求出 A ? E 的逆矩阵. 2 2 6.证:由 A ? 2 A ? 4E ? O 可得 A ? A ? 3 A ? 3E ? E ,——得 2 分

即 ( A ? E )( A ? 3E ) ? E

——得 6 分
?1

所以 A ? E 可逆,且 ( A ? E)

? ( A ? 3E)

——得 8 分

发展应用题能力:
1.设 A 为 m? n 矩阵,证明:存在 n? s 非零矩阵 B ,使 AB ? O 的充分必要条件为秩

r ( A) ? n 。

2.试证明:

? A O? r? ? ? r ( A) ? r ( B) ?O B ?


3.设 A 为 n 阶满秩方阵(n≥2),A*为 A 的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n 2A. 4.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*? 证明? (1)若|A|?0? 则|A*|?0? (2)|A*|?|A|n?1? 5.设 A 为 m?n 矩阵,B 为 n 阶矩阵,且 r(A)=n,试证: (1)若 AB=O,则 B=O; (2)若 AB=A 则 B=E。 6.设 A、B 为 m?n 矩阵,则 r(A+B)?r(A)+r(B)。 7.如果 A 是 n阶矩阵(n ? 2),且r ( A) ? n ? 1, 试证r ( A? ) ? 1

参考答案
1.设 A 为 m? n 矩阵,证明:存在 n? s 非零矩阵 B ,使 AB ? O 的充分必要条件为秩

r ( A) ? n 。
1.证: 充分性:? r ( A) ? n ,? Ax ? 0 存在一个基础解系 ? j , j ? 1 2, s; 其中s ? n ? r ( A) , ,? 令 B ? ?1, 2, , s) ( ? ? ? ,易知 B 就是 n? s 非零矩阵。

——得 5 分

必要性:设 B ? ?1, 2, , s) ( ? ? ? ,因 B 是 n? s 非零矩阵,故至少有一个 ? j 是非零向量。

? AB ? O ,则 ? j , j ? 1 2, s 都是线性方程组 Ax ? 0 的解。 ,? ? Ax ? 0 有非零解,即 r ( A) ? n 。
2.试证明:

——得 10 分

? A O? r? ? ? r ( A) ? r ( B) ?O B ?

2.证:设 A 的列向量组为 ?1 , ? 2 ,...,? n ,其极大无关组为 ? i1 , ? i 2 ,...,? is ,即 r ( A) ? s 设 B 的列向量组为 ?1 , ? 2 ,...,? m ,其极大无关组为 ? j1 , ? j 2 ,...,? jt ,即 r ( B) ? t

? ? 将 ? i1 , ? i 2 ,...,? is 扩充为 ? ? 的列向量 ? i?1 , ? i?2 ,...,? is ,则 ? i?1 , ? i?2 ,...,? is 也是 ? ?
的极大无关组;将 ? j1 , ? j 2 ,...,? jt 扩充为 ? ? 的列向量 ? ?1 , ? ?2 ,...,? ? ,则 ? ?1 , ? ?2 ,...,? ? j j jt j j jt

? A? ?O?

? A? ?O?

?O? ?B?

? 也是 ? ? 的极大无关组;易知 ? i?1 , ? i?2 ,...,? is

?O? ?B?

? ?1 , ? ?2 ,...,? ? 线性无关。 ——得 4 分 j j jt

设?

? A O? ? A O? ? 列向量组的极大无关组为 ? 1 , ? 2 ,...,? r ,即 r ?O B ? ? r ? ? ?O B ?
而任意的 ? i? 、 ? ? ?1 , ? ?2 ,...,? ? 线性表示, ?j j j jt

? 则任意 ? k 必可由向量组 ? i?1 , ? i?2 ,...,? is
都 是 ?

? A O? ? 的 列 向 量 , 均 可 由 ? 1 , ? 2 ,...,? r 线 性 表 示 ; 故 向 量 组 ?O B ?

? i1 ,? i 2 ,...,? is ? j1 , ? j 2 ,...,? jt 与向量组 ? 1 , ? 2 ,...,? r 等价。——得 8 分
所以 r=s+t,即 r ?

? A O? ? ? r ( A) ? r ( B) 。 ——得 10 分 ?O B ?


3.设 A 为 n 阶满秩方阵(n≥2),A*为 A 的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n 2A. 3.证:? AA* ? A* A ?| A | E,? ( A* )( A* )* ?| A* | E

——得 4 分

两边左乘 A 得? A ( A* )( A* )* ? A | A* | E ,即 | A | E( A* )* ?| A* | A

——得 8 分
又因为 A 为 n 阶满秩方阵(n≥2),即 | A |? 0 , | A* |?| A | n?1 。 所以(A*)*=|A| n 2A. ——得 10 分 4.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*? 证明? (1)若|A|?0? 则|A*|?0? (2)|A*|?|A|n?1? 4.证:(1)用反证法证明? 假设|A*|?0? 则有 A*(A*)?1?E? 由此得 A?A A*(A*)?1?|A|E(A*)?1?O ?


所以 A*?O? 这与|A*|?0 矛盾,故当|A|?0 时? 有|A*|?0? (2)由于 A
?1

——得 5 分

?

1 A * ? 则 AA*?|A|E? 取行列式得到 | A|

|A||A*|?|A|n? 若|A|?0? 则|A*|?|A|n?1? 若|A|?0? 由(1)知|A*|?0? 此时命题也成立? 因此|A*|?|A|n?1? ——得 10 分 5.设 A 为 m?n 矩阵,B 为 n 阶矩阵,且 r(A)=n,试证: (1)若 AB=O,则 B=O; (2)若 AB=A 则 B=E。 5.证: (1)设 B 的列向量组为: ?1 , ? 2 ,...,? n ,显然任意 ? j 都是齐次线性方程组 AX=0 的 解向量。因为 r(Am?n)=n,所以 AX=0 只有零解,即所有 ? j ? 0 。故 B=O。 ——得 5 分 (2)若 AB=A 则 AB-A=O,A(B-E)=O 由(1)的结论可知(B-E)=O,即 B=E。 6.设 A、B 为 m?n 矩阵,则 r(A+B)?r(A)+r(B)。

——得 10 分

6.证:设 A 的列向量组为 ?1 , ? 2 ,...,? n ,其极大无关组为 ? i1 , ? i 2 ,...,? is ,即 r ( A) ? s

设 B 的列向量组为 ?1 , ? 2 ,...,? n ,其极大无关组为 ? j1 , ? j 2 ,...,? jt ,即 r ( B) ? t

——得 2 分
设 A+B 列向量组为 ?1 ? ?1 , ? 2 ? ? 2 ,...,? n ? ? n ,其任意一个向量 向量组 ? i1 , ? i 2 ,...,? is

? k ? ? k 可由

即向量组 ?1 ? ?1 , ? 2 ? ? 2 ,...,? n ? ? n ? j1 , ? j 2 ,...,? jt 线性表示,

可由向量组 ? i1 , ? i 2 ,...,? is

? j1 , ? j 2 ,...,? jt 线性表示。

——得 8 分

所以 r( ?1 ? ?1 , ? 2 ? ? 2 ,...,? n ? ? n )?r( ? i1 , ? i 2 ,...,? is 即 r(A+B)?r(A)+r(B)。

? j1 , ? j 2 ,...,? jt )?s+t

——得 10 分

7.如果 A 是 n阶矩阵(n ? 2),且r ( A) ? n ? 1, 试证r ( A? ) ? 1 7.证:? r( A) ? n ? 1;? A |? 0且A ? O (至少有一个 ij ? 0) | A
?

——得 2 分

? AA? ?| A | E ? O ,? A?的列向量 j ( j ? 1,2,...n)都是AX ? O的解向量 ?
? r ( A) ? n ? 1;? r ( A* ) ? r (?1 , ? 2 ,...,? n ) ? n ? r ( A) ? 1

——得 8 分

? r ( A* ) ? 1, A? ? O ;? r ( A* ) ? 1

——得 10 分


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