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2015-2016高中数学 第二章 平面解析几何初步章末知识整合 苏教版必修2


【金版学案】 2015-2016 高中数学 第二章 平面解析几何初步章末知 识整合 苏教版必修 2
一、数形结合思想的应用 若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P、 Q 两点, 且∠POQ=120°(其中 O 为原点), 则 k 的值为________.

解析:本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法.

y=kx+1 恒过点(0,1),结合图知,直线倾斜角为 120°或 60°.
∴k= 3或- 3. 答案: 3或- 3

规律总结: 根据数学问题的条件和结论之间的内在联系, 将抽象的数学语言和直观的图 形相结合,使抽象思维和形象思维相结合. 1.以形助数,借助图形的性质,使有关“数”的问题直接形象化,从而探索“数”的 规律.比如,研究两曲线的位置关系,借助图形使方程间关系具体化;过定点的直线系与某 确定的直线或圆相交时,求直线系斜率的范围,图形可帮助找到斜率的边界取值,从而简化 运算;对于一些求最值的问题,可构造出适合题意的图形,解题中把代数问题几何化. 2.以数助形,借助数式的推理,使有关“形”的问题数量化,从而准确揭示“形”的 性质.

?变式训练 1.若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x2+4x+y2-5=0 在第一象限内的部分 有交点,则 k 的取值范围是________.

1

解析:∵x2+4x+y2-5=0,∴(x+2)2+y2=9 是以(-2,0)为圆心,以 3 为半径的 圆.如图所示:令 x=0 得 y=± 5. ∴点 C 的坐标为(0, 5). 又点 M 的坐标为(-1,0), 5-0 ∴kMC= = 5. 0-(-1) 结合图形得 0<k< 5. 答案:(0, 5)

2.当 P(m,n)为圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点时,若不等式 m+n+c≥0 恒成立,则 c 的取值范围是________.

解析:方法一 ∵P(m,n)在已知圆 x2+(y-1)2=1 上,且使 m+n+c≥0 恒成立,即 说明圆在不等式 x+y+c≥0 表示的区域中, 如图, -c 为直线 x+y+c=0 在 y 轴上的截距, 可求出切线 l 的截距为-( 2-1),∴-c≤-( 2-1).∴c≥ 2-1. 方法二 P(m,n)为圆 x2+(y-1)2=1 上的点, ∴?
? ?m=cos α , ?n=1+sin α . ?

∴m+n=1+cos α +sin α . ∴- 2+1≤m+n≤ 2+1. ∴-( 2+1)≤-(m+n)≤ 2-1. 若不等式 m+n+c≥0 恒成立, ∴c≥-(m+n).∴c≥ 2-1. 答案:[ 2-1,+∞)

二、函数与方程思想的应用 已知 F(0,1),直线 l:y=-2,圆 C:x2+(y-3)2=1.(1)若动点 M 到点 F 的距离 比它到直线 l 的距离小 1,求动点 M 的轨迹 E 的方程;(2)过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线,
2

切点为 A、B,要使四边形 PACB 的面积 S 最小,求 S 的最小值.

分析:考虑四边形 PACB 的面积最小,首先应建立目标函数,通过函数解决问题. 解析:(1)设动点 M(x,y),据题意有 (x-0)2+(y-1)2+1=y-(-2),化简得

x2=4y.
(2)设动点 P(x0, y0), 考虑到切线长相等, 所以四边形 PACB 的面积 S=2S△PAC=PA?AC, 又由于圆 C 的半径为 1,所以 S=PA= PC2-1= (x0-0)2+(y0-3)2-1.因为 x02 =4y0, 所以 S= y02-2y0+8= (y0-1)2+7≥ 7, 当且仅当 y0=1, x0=±2 时成立. 即 S 的最小值为 7.

规律总结: 1.函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征, 建立各变量 之间固有的函数关系,通过函数形式,利用有关函数的性质(定义域、值域、奇偶性、单调 性、周期性、图象等),使问题得到解决. 2.方程的思想多用于曲线方程的求解(如求直线的方程、圆的方程,通常构造含确定曲 线方程形态的特征常数的方程或方程组); 两直线位置关系的判定; 圆的切线方程的求解等. 3.方程和函数这两种思想在本章有机地结合,帮助我们更好地解决了两曲线的位置关 系及求函数的值域问题.

?变式训练 3.已知方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0. (1)当 t 为何值时,方程表示圆? (2)当 t 为何值时,方程表示的圆的半径最大?并求出半径最大时圆的方程. 解析:(1)方程表示圆的条件是[-2(t+3)]2+[2(1-4t2)]2-4(16t4+9)>0,即(t- 1 1 1)(7t+1)<0,解得- <t<1,故当- <t<1,方程表示圆. 7 7 1 (2)由(1)知,当- <t<1 时,方程表示圆,且其半径 7

r=

1 [-2(t+3)]2+[2(1-4t2)]2-4(16t4+9) 2

3



1 -4(7t2-6t-1)= -7t2+6t+1 2 2 ? 3? 16 -7?t- ? + . 7 ? 7? 13? 16 4 7 ?24 = , 此时圆心坐标为? ,- ?, 49? 7 7 ?7



3 所以当 t= 时, 半径 r 有最大值, 且 rmax= 7 2 2 ? 24? ? 13? 16 故圆的方程为?x- ? +?y+ ? = . 7? 7 ? ? 49?

三、转化与化归思想的应用 圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是 ________. |2+2-14| 解析:设圆心与直线的距离为 d,d= =5 2,R=3 2,∴圆上点到直线的 2 距离最大值为 d+R=8 2,最小值 d-R=2 2.∴(d+R)-(d-R)=8 2-2 2=6 2. 答案:6 2

规律总结:通过各种变换,把复杂或未知转化为简单或已知,达到化归的目的. 1.运用恒等变换与同解变换,可以把角的关系变换为斜率的关系,把两直线的位置关 系变换成斜率与截距间的关系,把点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系变换为两点间距离 与半径的关系等. 2.运用“实际问题—数学问题”的变换,构建数学模型,通过数学知识寻求实际问题 的答案,体现数学的作用,同时发展学生解决问题的能力. 3.通过化抽象为具体,化数为形,化形为数,化一般为特殊的数学思想综合处理直线 和圆方程中的各类问题.

?变式训练 4.若线段 OQ 在 xOy 平面及 yOz 平面上的投影长分别为 2 2和 17,试问线段 OQ 最长 可为多少?最短可为多少? 解析:设 Q(u,v,w),据题意则有 u2+v2=2 2, v2+w2= 17, 所以 u2=8-v2,w2=17-v2. 而 OQ= u2+v2+w2,
4

从而有 u2+v2+w2=25-v2. 因为 0≤v2≤8,故 17≤OQ≤5. ∴线段 OQ 最长可为 5,最短可为 17.

5.若直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点,若 MN≥2 3,则 k 的取值范围为________. |2k-1| (2k-1)2 解析:圆心(2,3)到直线 y=kx+2 的距离为: ,∵MN≥2 3,∴4- k2+1 k2+1 ≥3. 即 (2k-1)2 ≤1. k2+1

4 解得 0≤k≤ . 3

? 4? 答案:?0, ? ? 3?

四、分类讨论思想的应用 设 A(1,-2,x)、B(x,3,0)、C(7,x,6),且 A、B、C 三点构成直角三角形,求 x 的值. 解析:由已知条件知

AB2=(x-1)2+(3+2)2+(0-x)2
=2x2-2x+26,

BC2=(7-x)2+(x-3)2+(6-0)2
=2x2-20x+94,

CA2=(1-7)2+(2+x)2+(x-6)2
=2x2-8x+76, 若 AB2+BC2=CA2, 则 4x2-22x+120=2x2-8x+76, 即 x2-7x+22=0,无实数解. 若 AB2+CA2=BC2, 则 4x2-10x+102=2x2-20x+94, 即 x2+5x+4=0,解之得 x1=-4,x2=-1. 若 BC2+CA2=AB2,

5

则 4x2-28x+170=2x2-2x+26, 即 x2-13x+72=0,无实数解. 综上可知,实数 x 的值为-4 或-1.

规律总结:根据对象的属性,选择适当的标准,把研究对象不重复、不遗漏地划分为若 干类,对于培养学生综合运用基础知识能力,严谨、周密的分析能力,良好的思维素质都有 重要作用. 1.涉及的数学概念是分类定义的,应用的定理、公式,运算性质是分类给出的,解题 中必然引起讨论.如求直线的斜率问题,用斜率表示的直线方程,用二元二次方程 x2+y2 +Dx+Ey+F=0 表示圆等都要分类讨论. 2.数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同结果,解题中需讨论, 如判定两曲线的位置关系等.

?变式训练 6.设 A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点 P 到点 A 的距离与到点 B 的距离的比 为定值 a(a>0),求点 P 的轨迹. 解析:设动点 P 的坐标为(x,y), 由

PA (x+c)2+y2 =a(a>0),得 =a,化简得 PB (x-c)2+y2

(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0. 2c(a2+1) 当 a≠1 时,得 x2+ x+c2+y2=0, 1-a2 整理得?x-

? ?

2 c(a2+1)?2 ? 2ac ? . + y 2 = ?a2-1? a2-1 ? ? ? ?

当 a=1 时,化简得 x=0. 所以当 a≠1 时,点 P 的轨迹是以?

?a2+1c,0?为圆心, ? ?a2-1 ?

? 2ac ?为半径的圆. ?a2-1? ? ?
当 a=1 时,点 P 的轨迹为 y 轴.

7.已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0 与圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0 无 公共点,求实数 m 的取值范围. 解析:把圆 C1 和圆 C2 的方程化为标准方程,得:

C1:(x-m)2+(y+2)2=9,
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C2:(x+1)2+(y-m)2=4.
(1)若圆 C1 与圆 C2 内含,则有: (m+1)2+(m+2)2<3-2. 即 m2+3m+2<0.解得-2<m<-1. (2)若圆 C1 与圆 C2 外离,则有: (m+1)2+(m+2)2>3+2. 即 m2+3m-10>0.解得 m<-5 或 m>2. 综合(1)、(2)可知 m 的取值范围是 (-∞,-5)∪(-2,-1)∪(2,+∞).

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