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广东省汕尾市2015届高考数学调研试卷 理(含解析)


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广东省汕尾市 2015 届高考数学调研试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={1,2},B={x|(x﹣2) (x﹣3)=0},则 A∪B=() A. {2} B. {1,2,3} C. {1,3} D. {2,3} 2. (5 分)在复平面内复数 Z=i(1﹣2i)对应的点位于() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 3. (5 分)已知{an}为等差数列,且 a3+a8=8,则 S10 的值为() A. 40 B. 45 C. 50
x 2

D. 第四象限

D. 55

4. (5 分)以下四个函数 y=3 ,y= ,y=x +1,y=2sinx 中,奇函数的个数是() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

5. (5 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线 y= x+1 平行,则它的离 心率为() A. B. C. D.

6. (5 分)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=() A. ﹣ B. 0 C. 3 D.

7. (5 分)已知直线 l⊥平面 α ,直线 m? 平面 β ,有如下四个命题: ①若 α ∥β ,则 l⊥m; ②若 α ⊥β ,则 l∥m; ③若 l∥m,则 α ⊥β ; ④若 l⊥m,则 α ∥β . 其中正确的两个命题是() A. ①与② B. ①与③ C. ②与④ D. ③与④ 8. (5 分)G 是一个非空集合,“0”为定义 G 中任意两个元素之间的二元代数运算,若 G 及 其运算满足对于任意的 a,b∈G,a0b=c,则 c∈G,那么就说 G 关于这个“0”运算作成一个 2 封闭集合,如集合 A={x|x =1},A 对于数的乘法作成一个封闭集合.以下四个结论: ①集合{0}对于加法作成一个封闭集合; ②集合 B={x|x=2n,n 为整数},B 对于数的减法作成一个封闭集合; ③集合 C={x|0<x≤1},C 对于数的乘法作成一个封闭集合; Φ Φ ④令 是全体大于零的实数所成的集合,R 对于数的乘法作成一个封闭集合;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 其中,正确结论的个数是() A. 4 B. 3

C. 2

D. 1

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) (一) (必做题) :第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答 o 9. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=1,∠B=45 ,△ABC 的面积 S=2,则 c 边长为,b 边长为. 10. (5 分) 如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32”的值, 则判断框内可以填入.

11. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最小值为.

12. (5 分)不等式|x﹣4|+|x+3|≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是. 13. (5 分)直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为. 14. (5 分)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cosθ ,直线 l 的极坐标方程为 θ = 直线 l 的距离等于. 15.如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=4,BD=8,则圆 O 的半径等于.
3

,则圆心到

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三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 16. (12 分)已知函数 f(x)=sin(x+ (1)求 f(﹣ )的值; ) ,求 f(2θ ﹣ ) . ) .

(2)若 cosθ = ,θ ∈(0,

17. (12 分)某工厂招聘工人,在一次大型的招聘中,其中 1000 人的笔试成绩的频率分布直 方图如图所示,按厂方规定 85 分以上(含 85 分)可以直接录用. (1)下表是这次笔试成绩的频数分布表,求正整数 a,b 的值; 区间 [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 人数 50 a 350 300 b (2)现在用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的笔试成绩进行分析,求可以直接录用 的人数; (3) 在 (2) 中抽取的 40 名招聘的人中, 随机选取 2 名参加面试, 记“可以直接录用的人数” 为 X,求 X 的分布列与数学期望.

18. (14 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1,ACC1A1 均为正方形,∠BAC=90°, 点 D 是棱 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:A1D⊥平面 BB1C1C; (Ⅱ)求证:AB1∥平面 A1DC; (Ⅲ)求二面角 D﹣A1C﹣A 的余弦值.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 19. (14 分)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足 4Sn=a (1)求 a1 的值; (2)求{an}的通项公式; (3)求证: + +?+ <2,n∈N .
Φ

+2an.

20. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)过点(1,

) ,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,

且 F1、F2 距离为 2. (1)求椭圆的标准方程. (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴上方与椭圆交于 P1,P2 两点(P1 在 P2 的左侧) , P1F1 和 P2F2 都是圆的切线,且 P1F1⊥P2F2?如果存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.
2 x

21. (14 分)已知函数 f(x)=(x +bx+b)e 的极值点为 x=﹣ 和 x=1. (1)当 b=1 时,求函数 f(x)的增区间; (2)当 0<b≤2 时,求函数 f(x)在[﹣2b,b]上的最大值.

广东省汕尾市 2015 届高考数学调研试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={1,2},B={x|(x﹣2) (x﹣3)=0},则 A∪B=() A. {2} B. {1,2,3} C. {1,3} D. {2,3} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用并集的性质求解. 解答: 解:∵集合 A={1,2},B={x|(x﹣2) (x﹣3)=0}={2,3}, ∴A∪B={1,2,3}. 故选:B. 点评: 本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题. 2. (5 分)在复平面内复数 Z=i(1﹣2i)对应的点位于() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题.

D. 第四象限

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据复数乘法的运算法则,我们可以将复数 Z 化为 a=bi(a,b∈R)的形式,分析实 部和虚部的符号,即可得到答案. 解答: 解:∵复数 Z=i(1﹣2i)=2+i ∵复数 Z 的实部 2>0,虚部 1>0 ∴复数 Z 在复平面内对应的点位于第一象限 故选 A 点评: 本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义,其中根据复数乘法的运算法则, 将复数 Z 化为 a=bi(a,b∈R)的形式,是解答本题的关键. 3. (5 分)已知{an}为等差数列,且 a3+a8=8,则 S10 的值为() A. 40 B. 45 C. 50 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得 a1+a10=8, 由求和公式可得 S10= 得. 解答: 解:由等差数列的性质可得 a1+a10=a3+a8=8, ∴S10= = =40 ,代值计算可

D. 55

故选:A 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.
x 2

4. (5 分)以下四个函数 y=3 ,y= ,y=x +1,y=2sinx 中,奇函数的个数是() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义即可得到结论. 解答: 解:四个函数中,只有 y= ,y=2sinx 是奇函数, 故选:C 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,比较基础.

5. (5 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线 y= x+1 平行,则它的离 心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出双曲线方程,求出渐近线方程,由两直线平行的条件得到 = ,再由 a,b,c 的关系和离心率公式,即可得到. 解答: 解:设中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 =1,

渐近线方程为 y=

x,

由于一条渐近线与直线 y= x+1 平行, 则 = ,令 a=2t,b=t,则 c= 则离心率 e= = . = t,

故选 D. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查离心率和渐近线方程,考查运算能力,属于基 础题.

6. (5 分)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=() A. ﹣ B. 0 C. 3 D.

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量的坐标,写出两个向量的数乘与和的运算结果,根据两个向量的垂直 关系,写出两个向量的数量积等于 0,得到关于 k 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ =(k,3) , =(1,4) , =(2,1) ∴2 ﹣3 =(2k﹣3,﹣6) , ∵(2 ﹣3 )⊥ , ∴(2 ﹣3 )? =0' ∴2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0, 解得,k=3. 故选:C. 点评: 本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式, 注意数字的运算不要出错. 7. (5 分)已知直线 l⊥平面 α ,直线 m? 平面 β ,有如下四个命题: ①若 α ∥β ,则 l⊥m;
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ②若 α ⊥β ,则 l∥m; ③若 l∥m,则 α ⊥β ; ④若 l⊥m,则 α ∥β . 其中正确的两个命题是() A. ①与② B. ①与③

C. ②与④

D. ③与④

考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: ①根据面面平行的性质判断.②利用面面垂直的性质判断.③利用面面垂直的判定 定理判断.④利用面面平行的判定定理判断. 解答: 解:①根据面面平行的性质可知,若 α ∥β ,当 l⊥α 时,有 l⊥β ,因为 m? β , 所以 l⊥m 成立,所以①正确. ②若 α ⊥β ,当 l⊥α 时,有 l∥β 或 l? β ,无法判断,l 与 m 的位置关系,所以②错误. ③若 l∥m,当 l⊥α 时,则 m⊥α ,因为 m? β ,所以 α ⊥β ,所以③正确. ④若 l⊥m,m? β ,则 l 和 β 关系不确定,所以 α ∥β 不一定成立,所以④错误. 故选 B. 点评: 本题主要考查空间平面平行和垂直的判定和性质,要求熟练掌握相应的判定定理和 性质定理. 8. (5 分)G 是一个非空集合,“0”为定义 G 中任意两个元素之间的二元代数运算,若 G 及 其运算满足对于任意的 a,b∈G,a0b=c,则 c∈G,那么就说 G 关于这个“0”运算作成一个 2 封闭集合,如集合 A={x|x =1},A 对于数的乘法作成一个封闭集合.以下四个结论: ①集合{0}对于加法作成一个封闭集合; ②集合 B={x|x=2n,n 为整数},B 对于数的减法作成一个封闭集合; ③集合 C={x|0<x≤1},C 对于数的乘法作成一个封闭集合; Φ Φ ④令 是全体大于零的实数所成的集合,R 对于数的乘法作成一个封闭集合; 其中,正确结论的个数是() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 集合;简易逻辑. 分析: ①由于 0+0=0,可得集合{0}对于加法作成一个封闭集合; ②? 2n1,2n2∈B={x|x=2n,n 为整数}, (n1,n2∈Z) ,则 2n1﹣2n2=2(n1﹣n2)∈B,即可判断 出; ③? a,b∈C={x|0<x≤1},则 0<ab≤1,即可判断出; Φ ④? a,b∈R ,则 ab>0.即可判断出. 解答: 解:①∵0+0=0,∴集合{0}对于加法作成一个封闭集合,正确; ②? 2n1,2n2∈B={x|x=2n,n 为整数}, (n1,n2∈Z) ,则 2n1﹣2n2=2(n1﹣n2)∈B,因此对于 数的减法作成一个封闭集合; ③? a,b∈C={x|0<x≤1},则 0<ab≤1,因此 C 对于数的乘法作成一个封闭集合,正确; Φ Φ ④? a,b∈R ,则 ab>0.因此 R 对于数的乘法作成一个封闭集合. 其中,正确结论的个数是 4. 故选:A. 点评: 本题考查了新定义“封闭集合”的判定与应用,考查了推理能力,属于中档题.

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二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) (一) (必做题) :第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答 o 9. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=1,∠B=45 ,△ABC 的面积 S=2,则 c 边长为 4 ,b 边长为 5. 考点: 正弦定理的应用. 分析: 根据三角形的面积公式可求出 c 的长度,再由余弦定理可求出边 b 的长度. 解答: 解: ∵a=1, ∠B=45 根据三角形的面积公式可得: S= ×a×c×sinB= ×1× ∴c=4 2 2 2 根据余弦定理可得:b =a +c ﹣2accosB=25 ∴b=5 故答案为:4 ,5 点评: 本题主要考查三角形的面积公式和余弦定理的应用.属基础题. 10. (5 分)如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32”的值,则判断框内可以填入 k>64, (其他答案对也可给分) .
o

×c=2

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题,验算知 2×4×8×16×32 五 个数的积故程序只需运行 5 次.运行 5 次后,k 值变为 64,即可得答案. 解答: 解:由题设条件可以看出,此程序是一个求几个数的连乘积的问题, 第一次乘入的数是 2,由于程序框图表示求算式“2×4×8×16×32”之值, 以后所乘的数依次为 4,8,16,32, 2×4×8×16×32 五个数的积故程序只需运行 5 次,运行 5 次后,k 值变为 64, 此时,根据题意应该退出循环,故判断框中应填 k>64,使得 k 的值(64)不满足判断框中的 条件,不再继续执行循环体. 故答案为:k>64(其他答案对也可给分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查识图的能力,考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运 行的结果是题目中所给的结果,属于基本知识的考查.

11. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最小值为 1.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最小值. 解答: 解:作出不等式对应的平面区域如图, 由 z=3x+y,得 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,由图象可知当直线 y=﹣3x+z,经过点 A(0,1)时,直线 y=﹣3x+z 的截 距最小, 此时 z 最小.此时 z 的最小值为 z=0×3+1=1, 故答案为:1

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12. (5 分)不等式|x﹣4|+|x+3|≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a≤7. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 选作题;不等式. 分析: 根据绝对值的意义, |x﹣4|+|x+3|表示数轴上的 x 对应点到﹣3 和 4 对应点的距离之 和,它的最小值等于 7,可得答案. 解答: 解:|x﹣4|+|x+3|表示数轴上的 x 对应点到﹣3 和 4 对应点的距离之和,它的最小值 等于 7, 由不等式 a|x﹣4|+|x+3|≥a 恒成立知,a≤7, 故答案为:a≤7. 点评: 本题考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,求出|x﹣4|+|x+3|的最小值,是解 题的关键.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 13. (5 分)直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 4. 考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先根据题意画出区域,然后然后依据图形得到积分上限为 2,积分下限为 0 的积分, 从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 解答: 解:先根据题意画出图形,得到积分上限为 2,积分下限为 0, 3 2 3 曲线 y=x 与直线 y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是∫0 (4x﹣x )dx, 而∫0 (4x﹣x )dx=(2x ﹣ x )|0 =8﹣4=4 ∴曲边梯形的面积是 4, 故答案为:4 点评: 本题考查学生利用定积分求曲边梯形的面积,会求出原函数的能力,同时考查了数 形结合的思想,属于基础题. 14. (5 分)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cosθ ,直线 l 的极坐标方程为 θ = 直线 l 的距离等于 .
2 3 2 4 2 3

,则圆心到

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把极坐标方程分别化为直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式即可得出. 2 2 2 解答: 解:由圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cosθ ,可得 ρ =2ρ cosθ ,化为 x +y =2x,∴(x 2 2 ﹣1) +y =1,可得圆心 C(1,0) . 直线 l 的极坐标方程为 θ = ∴圆心到直线 l 的距离 d= ,可得直角坐标方程: = . .

故答案为:



点评: 本题考查了把极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了计 算能力,属于基础题. 15.如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=4,BD=8,则圆 O 的半径等于 5.

考点: 直角三角形的射影定理. 专题: 计算题;压轴题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 先利用 AB 为圆的直径,判断出△ABC 为直角三角形,进而利用射影定理求得 AD,最 后根据 AB=AD+BD 求得 AB,则圆的半径可求. 解答: 解:AB 为圆的直径, ∴∠ACB=90° 2 在 Rt△ABC 中由射影定理可知 CD =BD×AD, ∴16=8×AD, ∴AD=2, ∴半径= =5

故答案为:5 点评: 本题主要考查了直角三角形中射影定理的应用.应熟练掌握射影定理中的公式及变 形公式. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 16. (12 分)已知函数 f(x)=sin(x+ (1)求 f(﹣ )的值; ) ,求 f(2θ ﹣ ) . ) .

(2)若 cosθ = ,θ ∈(0,

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)把 x=﹣ 代入函数解析式即可. )的表达式并利用两角和公式整理,根据 cosθ 的值, )

(2)根据函数解析式求得 f(2θ ﹣

求得 sinθ 的值,进而根据二倍角公式分别求得 sin2θ 和 cos2θ 的值,代入 f(2θ ﹣ 的解析式. 解答: 解: (1)f(﹣ (2)f(2θ ﹣ )=sin(﹣ + + )=sin(﹣ )=﹣ . )= (sin2θ ﹣cos2θ ) ,

)=sin(2θ ﹣

)=sin(2θ ﹣

因为 cosθ = ,θ ∈(0, 所以 sin2θ =2sinθ cosθ = 所以 f(2θ ﹣ )=

) ,所以 sinθ = , ,cos2θ =cos θ ﹣sin θ = ﹣
2 2

, )× = .

(sin2θ ﹣cos2θ )=(

点评: 本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的应用.考查了学生对基础知识的灵活运 用.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 17. (12 分)某工厂招聘工人,在一次大型的招聘中,其中 1000 人的笔试成绩的频率分布直 方图如图所示,按厂方规定 85 分以上(含 85 分)可以直接录用. (1)下表是这次笔试成绩的频数分布表,求正整数 a,b 的值; 区间 [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 人数 50 a 350 300 b (2)现在用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的笔试成绩进行分析,求可以直接录用 的人数; (3) 在 (2) 中抽取的 40 名招聘的人中, 随机选取 2 名参加面试, 记“可以直接录用的人数” 为 X,求 X 的分布列与数学期望.

考点: 频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率、频数与样本容量的关系,求出 a、b 的值; (2)求出 85 分以上(含 85 分)的频数即可; (3)求出 X 的可能取值,计算对应的概率,列出 X 的分布列,求出数学期望 EX. 解答: 解: (1)根据题意,a=0.04×5×1000=200, b=0.02×5×1000=100; (2)设可以直接录用的人数为,则 = ,

解得 x=30, 即可以直接录用的人数为 30 名; (3)根据题意,X 的取值为 0,1,2; ∴P(X=0)= = ,

P(X=1)=

=



P(X=2)=

=



∴随机变量 X 的分布列为: X 0

1

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com P ∴EX=0× +1× +2× = ,

即 X 的数学期望为 . 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了离散型随机事件的分布列与数学 期望的问题,是基础题. 18. (14 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1,ACC1A1 均为正方形,∠BAC=90°, 点 D 是棱 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:A1D⊥平面 BB1C1C; (Ⅱ)求证:AB1∥平面 A1DC; (Ⅲ)求二面角 D﹣A1C﹣A 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题. 分析: (I)由已知中侧面 ABB1A1,ACC1A1 均为正方形,由正方形的几何特征结合线面垂直的 判定,易得 AA1⊥平面 ABC,即三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,再由点 D 是棱 B1C1 的中点,结 合等腰三角形“三线合一”,及直三棱柱的几何特征,结合线面垂直的判定定理,即可得到 A1D⊥平面 BB1C1C; (Ⅱ)连接 AC1,交 A1C 于点 O,连接 OD,由正方形的几何特征及三角形中位线的性质,可得 OD∥AB1,进而结合线面平行的判定定理,我们易得,AB1∥平面 A1DC; (Ⅲ)因为 AB,AC,AA1 两两互相垂直,故可以以 A 坐标原点,建立空间坐标系,求出几何体 中各顶点的坐标,进而求出平面 DA1C 与平面 A1CA 的法向量,代入向量夹角公式,即可得到答 案. 解答: (Ⅰ)证明:因为侧面 ABB1A1,ACC1A1 均为正方形, 所以 AA1⊥AC,AA1⊥AB, 所以 AA1⊥平面 ABC,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱. 因为 A1D? 平面 A1B1C1,所以 CC1⊥A1D 又因为 A1B1=A1C1,D 为 B1C1 中点, 所以 A1D⊥B1C1. 因为 CC1∩B1C1=C1, 所以 A1D⊥平面 BB1C1C. (Ⅱ)证明:连接 AC1,交 A1C 于点 O,连接 OD,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 因为 ACC1A1 为正方形,所以 O 为 AC1 中点,又 D 为 B1C1 中点, 所以 OD 为△AB1C1 中位线,所以 AB1∥OD, 因为 OD? 平面 A1DC,AB1?平面 A1DC, 所以 AB1∥平面 A1DC. (Ⅲ)解:因为侧面 ABB1A1,ACC1A1 均为正方形,∠BAC=90°, 所以 AB,AC,AA1 两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系 A﹣xyz. 设 AB=1,则 . , (9 分)

设平面 A1DC 的法向量为 n=(x,y,z) ,则有 取 x=1,得 n=(1,﹣1,﹣1) . 又因为 AB⊥平面 ACC1A1,所以平面 ACC1A1 的法向量为



,x=﹣y=﹣z,



, 因为二面角 D﹣A1C﹣A 是钝角, 所以,二面角 D﹣A1C﹣A 的余弦值为 .

点评: 本题考查的知识点是二面角的平面角的求法,直线与平面平行的判定,直线与平面 垂直的判定,其中熟练掌握线面关系的判定、性质、定义及几何特征是解答线面关系判定的关 键,而利用向量法求二面角的关键是建立适当的坐标系. 19. (14 分)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn 满足 4Sn=a (1)求 a1 的值; (2)求{an}的通项公式; (3)求证: + +?+ <2,n∈N .
Φ

+2an.

- 14 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)4Sn=a +2an.令 n=1,可得 +2a1,解出即可.

(2)当 n≥2 时,4an=4Sn﹣4Sn﹣1,化为(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣2)=0,可得 an﹣an﹣1=2,利用等 差数列的通项公式即可得出. (3) 当 n=1 时, 即可得出. 解答: (1)解:∵4Sn=a +2an.令 n=1,可得 ﹣ +2a1,a1>0,解得 a1=2. , =1<2 成立. 当 n≥2 时, = . 利用“裂项求和”

(2)解:当 n≥2 时,4an=4Sn﹣4Sn﹣1= 化为(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣2)=0, ∵an>0,an﹣1>0, ∴an﹣an﹣1=2, ∴数列{an}是等差数列, ∴an=2+2(n﹣1)=2n. (3)证明:当 n=1 时, =1<2 成立.

当 n≥2 时,

=





+

+?+

=

+?+



1+

+

+?+

=2

<2.

点评: 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题.

20. (14 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)过点(1,

) ,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,

且 F1、F2 距离为 2. (1)求椭圆的标准方程. (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴上方与椭圆交于 P1,P2 两点(P1 在 P2 的左侧) , P1F1 和 P2F2 都是圆的切线,且 P1F1⊥P2F2?如果存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

- 15 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

分析: (1)由已知得

,由此能求出椭圆的标准方程.

(2)设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 由圆和椭圆的对称性,知

相交,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)是两个交点,
2

,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,从而得到﹣(x1+1) + = .

=0,由

此能求出存在满足条件的圆,其方程为:

解答: 解: (1)∵椭圆

+

=1(a>b>0)过点(1,

) ,

F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,且 F1、F2 距离为 2,



,解得



∴椭圆的标准方程为

. 相交,

(2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0, F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥F2P2, 由圆和椭圆的对称性,知 ,y1=y2,

|P1P2|=2|x1|, 由(1)知 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) , 所以 =(x1+1,y1) ,
2

=(﹣x1﹣1,y1) ,再由 F1P1⊥



得﹣(x1+1) +

=0,

由椭圆方程得 1﹣ 解得

=(x1+1) ,即

2

=0,

或 x1=0.

当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 当 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C,

设 C(0,y0) ,由 CP1⊥F1P1,得



- 16 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 而 y1=|x1+1|= ,故 圆 C 的半径|CP1|= 综上,存在满足条件的圆,其方程为: , = . = .

点评: 本题考查椭圆的标准方程的求法,考查满足条件的圆是否存在的判断与求法,解题 时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.
2 x

21. (14 分)已知函数 f(x)=(x +bx+b)e 的极值点为 x=﹣ 和 x=1. (1)当 b=1 时,求函数 f(x)的增区间; (2)当 0<b≤2 时,求函数 f(x)在[﹣2b,b]上的最大值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数 的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 b=1 代入函数解析式,求出其导函数,由导函数的符号判断原函数的单调性; (2)求出函数 f(x)的导函数,得到其零点,然后讨论零点与所给区间端点值的大小关系得 到函数在所给区间上的单调性,并求得最值. 2 x 解答: 解: (1)当 b=1 时,f(x)=(x +x+1)e , 2 x ∴f′(x)=(x +3x+2)?e , 由 f′(x)>0,得 x>﹣1 或 x<﹣2. 故函数 f(x)的增区间为(﹣∞,﹣2) , (﹣1,+∞) ; 2 x (2)∵f(x)=(x +bx+b)e , 2 x x ∴f′(x)=[x +(2+b)x+2b]e =(x+2) (x+b)e . 由 f′(x)=0,得 x=﹣2 或 x=﹣b. 当﹣2≤﹣2b,即 0<b≤1 时,函数 f(x)在(﹣2b,﹣b)上单调递减,在(﹣b,b)上单 调递增. ∴M=max{f(﹣2b) ,f(b)}, 2 ﹣2b ∵f(﹣2b)=(2b +b)?e , 2 b f(b)=(2b +b)?e . ∴M=f(b) . 当﹣2b<﹣2<﹣b,即 1<b<2 时,函数 f(x)在(﹣2b,﹣2)上单调递增,在(﹣2,﹣b) 上单调递减,在(﹣b,b)上单调递增.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴M=max{f(﹣2) ,f(b)}, ﹣2 ∵f(﹣2)=(4﹣b)?e , 且(2b +b)﹣(4﹣b)=
2

=0,

∴M=f(b) . 当﹣2=﹣b,即 b=2 时,f′(x)≥0,函数 f(x)在(﹣2b,b)上单调递增, ∴M=f(b) . 2 b 综上所述:M=f(b)=(2b +b)e . 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数研究函数的最值,考查了 分类讨论的数学思想方法及数学在转化思想方法,是压轴题.

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