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直线的倾斜角和斜率


直线的倾斜角和斜率
浙江温州中学 黄显忠 325014 wzhxz3778@wzer.net

1.内容和内容解析 直线和圆的方程属于解析几何学的基础知识,直线的方程是研究 两条直线位置关系的基础, 同时也是讨论圆的方程及其它圆锥曲线方 程的基础。因此有必要进一步研究直线。 本节学习直线的倾斜角和斜率、过两点的斜率公式。通过“对于 直角坐标系内的直线,它的位置由哪些条件确定?”引导学生思考: 平面几何中是“两点确定一条直线” ,有了坐标系作为参照系,可以 有哪些条件确定直线。 通过问题引导学生认识到可以用直线与坐标轴 的位置关系来确定后,再引入倾斜角概念。在此基础上讨论如何用代 数方法表示直线的“倾斜程度” ,由此引入斜率这一核心概念。从而 实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线 的斜率这一代数属性的转变;最后推导出经过两点的直线的斜率公 式。这些充分体现了解析几何的思想方法。 直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还 是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系, 直线的斜率都发挥着重要作用。因此,正确理解斜率概念,熟练掌握 斜率公式是学好这一章的关键。 1.目标和目标解析 (1) 、理解直线的倾斜角和斜率的定义;掌握斜率公式,并会求 直线的倾斜角和斜率.

(2) 、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭 示,以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了 解用代数方程研究几何问题的思路, 培养学生综合运用知识解决问题 的能力。 (3) 、帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想,在教学中 充分揭示“数”与“形”的内在联系,体现数、形的统一美,激发学 生学习数学的兴趣。 本节的重点是斜率的概念和斜率公式, 点是对斜率概念的理解。 3.教学问题诊断分析 学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受,但是, 为什么要定义直线的斜率, 为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问 题却并不容易接受。学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向,而且每 一条直线的倾斜角是唯一确定的,而斜率却不这样.学生还会认为用 弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗。再有,为什么要用倾斜角 的正切定义斜率,而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题,就 要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角, 而是倾斜角的正切,即直线方程(一次函数的形式,下同)中 x 的系 数恰好就是直线倾斜角的正切。 4.教学支持条件分析 本节课需要课件的支持,尤其是几何画板的应用。

5.教学过程设计 两点确定一条直线.还有其他方法吗?或者说如果只给出一点, 要确定这条直线还应增加什么条件? 问题 1:右图为一边长很大的正方形,其对角线比 同学手中的三角板的最长边长,请问如何用手中 的三角板画出对角线?
A B D C

给予学生充分时间讨论、实验等。让学生体会直线还可以用一个点和 角确定。 问题 2:在坐标系中的一条直线,我们用怎样的角来刻画直线的方向 呢?(动画演示)

讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢?它不仅能解决我们 的问题,同时还应该是简单的、自然的。 学生:展开讨论.学生讨论过程中会有错误和不严谨之处,教师注意 引导。 通过讨论认为:应选择α角来刻画直线的方向.根据三角函数的知 识,表明一个方向可以有无穷多个角,这里只需一个角即可(开始时 可能有学生认为有四个角或两个角),当然用最小的正角.从而得到 直线倾斜角的概念。

定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为
? ,那么 ? 就叫做直线 l 的倾斜角.

特别地,当 l 与 x 轴平行或重合时,规定倾斜角为 0°. 由此定义,角的范围如何? 0°≤α<180°或 0≤α<π 问题 3:请说明工程问题中的“坡度”和直线倾斜角的关系。 通过比较、思考,引出斜率定义。
14

定义:倾斜角不是 900 的直线,它的正切叫做这条直线的斜率.
12 10 8

记作 ,即 k ? tan ? 。 当倾斜角 ? ? 90? 时,直线的斜率不存在。
-20 -15 -10 -5

6

4

2

5 -2

10

15

20

-4

结合正切函数的图象,探究斜率的范围。

-6

-8

问题 4:如果给定直线的倾斜角 ? ?? ? 90?? ,我们当然可以根据斜率的
-10 -12 -14

定义 =tanα求出直线的斜率;如果给定直线上两点坐标,直线是 确定的,倾斜角也是确定的,那么又怎么求出直线的斜率呢? 即已知两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),求直线 P1P2 的斜率. 思路分析:首先由学生提出思路,教师启发、引导, 若直线 PP2 的方向向上时,当 ? 为锐角时, ? ? ?QPP2 , x1 ? x2 , y1 ? y2 . 1 1 在 RT ?QPP2 中, k ? tan ? ? tan ?QPP2 ? 1 1
| QP2 | y2 ? y1 ? | PQ | x2 ? x1 1

当 ? 为钝角时, ? ? 1800 ?? (?QPP2 ? ? ), x1 ? x2 , y1 ? y2 . 1 在 RT ?QPP2 中, k ? tan ? ? tan(1800 ? ? ) ? ? tan ?QPP2 ? | QP2 | ? ? y2 ? y1 ? y2 ? y1 1 1
| PQ | 1 x1 ? x2 x2 ? x1

y P2 a P1 a o Q x

y P2 Q o P1 x

6.目标检测设计 1)已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率:
? ? 300 , ? ? 450 , ? ? 1200 , ? ? 1350

2)求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角: (1) C (18,8), D(4, ?4) (2) P(0, 0), Q(?1,
3)

3)已知 a、b、c 是两两不等的实数,求经过下列两点直线的倾斜角 (1) A(a, c), B(b, c) (3) P(b, b ? c), Q(a, a ? c) (3) C (a, b), D(a, c)


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