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2013年高考理科数学(湖北卷)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)



学(理工类)

本试题卷共 22 题,其中 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、在复平面内,复数 z ? A. 第一象限

2i ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1? i
C. 第三象限 D. 第四象限

B. 第二象限

x ? ? ? ?1? ? 2、已知全集为 R ,集合 A ? ? x ? ? ? 1? , B ? ?x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? ,则 A ? CR B ? ? ? ? ?2? ?

A. ? x | x ? 0? C.

B. {x | 2 ? x ? 4} D. x | 0 ? x ? 2或x ? 4

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?
B. p ? ? ?q ?

?

?

3、在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围” ,q 是 “乙降落在指定范围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A. ? ?p ? ? ? ?q ? 4、将函数 y ? C.

? ?p ? ? ? ?q ?

D. p ? q

3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的

图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

?
12

B.

? 6

C.

? 3

D.

5? 6

x2 y2 y2 x2 5、已知 0 ? ? ? ,则双曲线 C1 : ? ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ? 1的 cos2 ? sin 2 ? sin ? sin ? tan 2 ? 4
A.实轴长相等 C.焦距相等 B.虚轴长相等 D. 离心率相等

?

6、已知点 A ? ?1,1? 、 B ?1, 2 ? 、 C ? ?2, ?1? 、 D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为

??? ?

??? ?

A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

25 (t 1? t 的单位: s , v 的单位: m / s )行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位; m )是 11 A. 1 ? 25ln 5 B. 8 ? 25ln 3 C. 4 ? 25ln 5 D. 4 ? 50ln 2
7、一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v ? t ? ? 7 ? 3t ?

8、一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单 几何体组成,其体积分别记为 V1 ,V2 ,V3 ,V4 ,上面两个简单几 何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4 B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 D. V2 ? V3 ? V1 ? V4

9、如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大 小的小正方体。经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它 的涂油漆面数为 X ,则 X 的均值为 E ? X ? ?

126 125 168 C. 125
A. 10、 已知 a 为常数, 函数 则

6 5 7 D. 5
B.

f ( x ) ? x ? ln x ? ax ?

有两个极值点

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,

1 2 1 B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 2 1 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? C. 2 1 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? D. 2
A.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 共 35 分. 请 将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置, 书写不 清,模棱两可均不得分. (一)必考题 11、 从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查, 发现其用电 量都在 50 到 350 度之间,频率分布直方图所示。 (I)直方图中 x 的值为 ; (II)在这些用户中,用电量落在区间 ?100, 250 ? 内的户数 为 。

12、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 。 i? 13 、 设 x, y , z ? R , 且 满 足 : x ? y ? z ? 1 ,
2 2 2

x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ?



14、 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。 如三角形数 1,3,6,10, ?, 第n 个 三角形数为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n 。记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ? k ? 3? ,以下列出了部 2 2 2

分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ?? 可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ? (二)选考题 15、 如图, 圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D , 点 D 在半径 OC 上 的射影为 E 。若 AB ? 3 AD ,则

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2

N ? n, 4 ? ? n 2
N ? n,5? ? 3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n
C


A

CE 的值为 EO



D
第 15 题图

E O

B

16 、 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 C 的 参 数 方 程 为

? x ? a cos? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? 。在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, ? ? y ? b sin ?
且 以原 点 O 为极 点, 以 x 轴正 半轴 为极轴 )中 ,直线 l 与 圆 O 的 极坐 标方 程分别 为

? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与 ? ? b 。若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O ?? 4? 2


相切,则椭圆 C 的离心率为

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 在 ?ABC 中, 角 A ,B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c 。 已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 。 (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值。

18、已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 。 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m ,使得 说明理由。

1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在, a1 a2 am

19、如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,直线 PC ? 平面 ABC , E ,

F 分别是 PA , PC 的中点。 (I)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以
证明; (II)设(I)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 Q 满足 DQ ?

????

? 1 ??? CP 。记直线 PQ 2

与平面 ABC 所成的角为 ? ,异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 ? ,二面角 E ? l ? C 的大小 为 ? ,求证: sin ? ? sin ? sin ? 。

第 19 题图 20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N 800,50 天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 。 ( I)求 p0 的值; (参考数据:若 X ? N ? , ?

?

2

? 的随机变量。记一

?

2

? ,有 P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 ,

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544 , P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974 。 )
(II)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往 返一次, A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆。 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于

A 型车 7 辆。若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙
地的运营成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆?

21、如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分 别为 2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A , B , C , D 。记 ? ?

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 。 n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由。

22、设 n 是正整数, r 为正有理数。 (I)求函数 f ( x ) ? ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1( x ? ?1) 的最小值;
? nr ?

(II)证明:

n r ?1 ? ? n ? 1? r ?1

r ?1

? n ? 1?

? n r ?1 ; r ?1

r ?1

(III)设 x ? R ,记 ? ? x? ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ? ?2? ? ? 2,? ?? ? ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 。 2 令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? 3 125 ,求 ? ?S ? ? 的值。 (参考数据: 80 ? 344.7 , 81 ? 350.5 , 124 ? 618.3 , 126 ? 631.7 )
4 3 4 3 4 3 4 3

? 3? ? ?

参考答案及其解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1、 【解析与答案】 z ?

2i ? 1 ? i ,? z ? 1 ? i 。 1? i

故选 D 【相关知识点】复数的运算 2、 【解析与答案】 A ? ? 0, ?? ? , B ? ? 2, 4 ? ,? A ? CR B ? ? 0, 2 ? ? ? 4, ?? ? 。 故选 C 【相关知识点】不等式的求解,集合的运算 3、 【解析与答案】 “至少有一位学员没有降落在指定范围” 即: “甲或乙没有降落在指定范围内” 。 故选 A。 【相关知识点】命题及逻辑连接词 4、 【解析与答案】 y ? 2 cos ? x ?

? ?

?? ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后变成
6?

? ? ? ? y ? 2 cos ? x ? ? m ? ,所以 m 的最小值是 。故选 B。 6 6 ? ?
【相关知识点】三角函数图象及其变换 5、 【解析与答案】双曲线 C1 的离心率是 e1 ?

1 ,双曲线 C2 的离心率是 cos ?

e2 ?

sin 2 ? ?1 ? tan 2 ? ? sin ?

?

1 ,故选 D cos ?

【相关知识点】双曲线的离心率,三角恒等变形

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ?CD 15 3 2 6、 【解析与答案】 AB ? ? 2,1? , CD ? ? 5,5? ,? ??? ,故选 A。 ? ? ? 2 5 2 CD
【相关知识点】向量的坐标运算,向量的投影 7、 【解析与答案】令 v ? t ? ? 7 ? 3t ?

25 ? 0 ,则 t ? 4 。汽车刹车的距离是 1? t

?

4

0

25 ? ? ? 7 ? 3t ? ? dt ? 4 ? 25ln 5 ,故选 C。 1? t ? ?

【相关知识点】定积分在实际问题中的应用 8、 【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选 C 【相关知识点】三视图,简单几何体体积 9、 【解析与答案】三面涂有油漆的有 8 块,两面涂有油漆的有 36 块,一面涂有油漆的有 54 块,没有涂有油漆的有 27 块,所以 E ? X ? ? 3 ? 【相关知识点】古典概型,数学期望

8 36 54 6 ? 2? ? 1? ? 。故选 B。 125 125 125 5

10、 【解析与答案】令 f ?( x ) ? 1 ? 2ax ? ln x ? 0 得 0 ? 2a ? 1 , ln xi ? 2axi ? 1(i ? 1, 2) 。 又 f ??

1 ? 1 ? ? x2 。 ? ? 0 ,? 0 ? x1 ? 1 ? 2a ? 2a ?

? f ( x1 ) ? x1 ln x1 ? ax12 ? x1 ? 2ax1 ? 1? ? ax12 ? ax12 ? x1 ? 0 ,
2 f ( x2 ) ? ax2 ? x2 ? x2 ? ax2 ? 1? ? ax2 ? 1 ? a ?

1 1 ?1 ? ? 2a 2

故选 D。 【相关知识点】函数导数与极值,函数的性质 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. (一)必考题 11、 【解析与答案】 ? 0.006 ? 0.0036 ? 0.0024 ? 2 ? 0.0012 ? x ? ? 50 ? 1 , x ? 0.0044

? 0.0036 ? 0.006 ? 0.0044 ? ? 50 ? 100 ? 70
【相关知识点】频率分布直方图 12、 【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示: i a 1 10 2 5 3 16 4 8 5 4

【相关知识点】程序框图 13、 【解析与答案】由柯西不等式知 1 ? 2 ? 3
2 2

?

2

?? x

2

? y 2 ? z 2 ? ? ? x ? 2 y ? 3z ? ,结合已
2

知条件得

x y z 14 3 14 x y z ,x? y?z ? 。 ? ? ,从而解得 ? ? ? 1 2 3 1 2 3 14 7

【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件) 14、 【解析与答案】观察 n 2 和 n 前面的系数,可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等 差数列,故 N ? n, 24 ? ? 11n ? 10n ,? N ?10, 24 ? ? 1000
2

【相关知识点】归纳推理,等差数列 (二)选考题

AD ?? AB ? AD ? CE CD 2 AD ?BD ? ? ? ?8 2 2 2 EO OD OA ? AD 1 ? ? ? ? 15、 【解析与答案】由射影定理知 ? AB ? AD ? ?2 ?
【相关知识点】射影定理,圆幂定理 16、 【解析与答案】直线 l 的方程是 x ? y ? m ,作出图形借助直线的斜率可得 c ? 以c ? 2 a ?c
2 2

2b ,所

?

2

?,e ?

6 3

【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化,椭圆的几何性质,直线与圆 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 【解析与答案】 (I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
(II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

a2 1 2 ? 28 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ? sin 2 A 2

? sin B sin C ?

bc 5 ? 2 4R 7

【相关知识点】二倍角公式,解三角函数方程,三角形面积,正余弦定理 18、 【解析与答案】 (I)由已知条件得: a2 ? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 , 所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3 (II)若 q ? ?1 ,
n ?2

1 1 1 1 ? ??? ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; a1 a2 am 5

m 1 1 1 9 ? ?1? ? 9 若q ? 3, ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ,不存在这样的正整数 m 。 a1 a2 am 10 ? ? ? 3? ? ? 10

【相关知识点】等比数列性质及其求和 19、 【解析与答案】 (I)? EF ? AC , AC ? 平面ABC , EF ? 平面ABC

? EF ? 平面ABC
又 EF ? 平面BEF

? EF ? l

? l ? 平面PAC
(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证。 (这一题用几何方法较快,向量的方法很 麻烦, 特别是用向量不能方便的表示角的正弦。 个人认为此题与新课程中对立体几何的处理 方向有很大的偏差。 )

【相关知识点】 20、 【解析与答案】 (I) p0 ? 0.5 ?

1 ? 0.9544 ? 0.9772 2

(II)设配备 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,运营成本为 z 元,由已知条件得

? x ? y ? 21 ?36 x ? 60 y ? 900 ? ,而 z ? 1600 x ? 2400 y ? y?x?7 ? ? x, y ? N ?

作出可行域,得到最优解 x ? 5, y ? 12 。 所以配备 A 型车 5 辆, B 型车 12 辆可使运营成本最小。 【相关知识点】正态分布,线性规划

m ?1 ? ?1 ?? ? n ? m ?1 ? ?1 ? m ? n ? ? m ? n ? ? S ? ? S n 1 2 21、 【解析与答案】 (I) ,
解得: ? ?

2 ? 1 (舍去小于 1 的根)
x2 y2 x2 y2 , ? ? 1 a ? m C : ? ? 2 2 ? 2 ? 1 ,直线 l : ky ? x a 2 m2 a n
am a ? m 2k 2
2

(II)设椭圆 C1 :

? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 ? 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y2 a 2m 2 ? 2 ?1 ? 2 m ?a
同理可得, y B ?

an a 2 ? n 2k 2

又? ?BDM 和 ?ABN 的的高相等

?

S1 BD y B ? y D y B ? y A ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B ,
2 2 a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? ? 2 ? ? ? 1? ? ? 1? ? 2 即: 2 ,解得 k ? ? 4n 2? 3 a ? ? 2n 2k 2 a 2 ? n 2k 2

? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存在这
样的直线 l 。 【相关知识点】直线与椭圆相交的问题(计算异常复杂)

? ? 22、证明: (I) f ?( x ) ? ? r ? 1??1 ? x ? ? ? r ? 1? ? ? r ? 1? ? ?1 ? x ? ? 1?
r r

? f ( x ) 在 ? ?1,0 ? 上单减,在 ? 0, ?? ? 上单增。

? f ( x ) min ? f (0) ? 0
(II)由(I)知:当 x ? ?1 时, ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1 (就是伯努利不等式了)

r ?1 r ?1 r ? ? n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1? 所证不等式即为: ? r ?1 r ?1 r ? ?n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?

若 n ? 2 ,则 n

r ?1

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?
r

r ?1

? 1? ? ? n ? r ? 1? ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? r ? 1? ? 1? ? ? 1 ? ? ????① n ?1 ? n ?
r

r

r r r ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 , ? ? ? n n ?1 n ? n?

r

r r ? 1? ,故①式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ?1 ? n?
若 n ? 1, n
r ?1

r

? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1?
r r ?1

r ?1

显然成立。
r

n

r ?1

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?

? 1? ? n ? r ? 1 ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? ? 1? r ? 1? ? ? 1 ? ? ????② n ?1 ? n ?
r

r r r ? 1? ? ?1 ? ? ? ? 1 , ? n n ?1 ? n? n

r

r r ? 1? ,故②式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ?1 ? n?
综上可得原不等式成立。 (III)由(II)可知:当 k ? N * 时,
1 4 4? 4 ? 3? 4 3? 3 3 ? k3 ? 3 ?k3 k ? k ? 1 k ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 4? 4? ? ?

r

4 4 4? ? 3 125 ? 4 3? 3 3 3 ? S ? ? ? k ? ? k ? 1? ? ? ? 125 ? 80 3 ? ? 210.225 4 k ?81 ? ? 4? ? 4 4 4 4 ? 3? ? 3 125 ? 3 3 3 3 S ? ? ?? k ? 1? ? k ? ? ? 126 ? 81 ? ? 210.9 4 k ?81 ? ? 4? ?

?? ?S ? ? ? 211


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